UPMC 3M270 Algèbre 2018-2019
TD 3
1 Actions de groupes
Exercice 1. 1) Déterminer les orbites des actions naturelles de Sn et deAn sur l’ensemble des entiers entre1 etn.
2) SoitH le sous-groupe deSn engendré par la transposition(1 2). Déterminer les orbites de l’action naturelle deH sur l’ensemble des entiers entre1 etn.
3) SoitH le sous-groupe deSn engendré par le n-cycle(1 2 . . . n). Déterminer les orbites de l’action naturelle deH sur l’ensemble des entiers entre1 etn.
Exercice 2. Déterminer les orbites pour l’action naturelle de GLn(R), de SLn(R), et deOn(R)surRn.
Exercice 3. Dans chacun des cas suivants, montrer qu’on obtient une action de groupe, déterminer les stabilisateurs, les orbites, et écrire l’équation aux classes.
1) L’action d’un groupe finiGsur lui-même par translation à gaucheg·x = gx.
2) L’action d’un groupe finiGsur lui-même par conjugaison g·x = gxg−1.
3) L’action deGsurG/H parg0·(gH) = g0gH, oùH est un sous-groupe d’indice fini d’un groupeG.
4) L’action deGpar conjugaison sur l’ensemble des conjugués deH.
Exercice 4. 1) Montrer que le groupe des isométries d’un triangle équilatéral est isomorphe àS3. 2) Soitn∈N∗. Décrire le groupe diédralDn des isométries d’un polygone régulier àncôtés.
3) Décrire le groupe des isométries d’un cube.
Exercice 5. SoientGun groupe etX un ensemble. On suppose donnée une action deGsurX. Montrer qu’il existe alors un morphisme de groupesG−→S(X). Réciproquement, montrer que tout morphisme de groupesG−→S(X) induit une action deGsurX.
Exercice 6. Théorème de Cayley. SoitG un groupe fini d’ordre n. Montrer qu’il existe un morphisme de groupes injectif deGdansSn.Indication : on pourra utiliser l’action deGsur lui-même par translation à gauche.
Exercice 7. SoitGun groupe fini agissant sur un ensembleX.
1) On suppose que l’action soit sans point fixe, que l’ordre de Gsoit égal à 15 et queX soit de cardinal17.
Déterminer le nombre d’orbites et leur cardinal.
2) On suppose maintenant queGsoit d’ordre33etX de cardinal19. Montrer que l’action considérée possède des points fixes.
Exercice 8. Formule de Burnside.SoitGun groupe fini agissant sur un ensemble finiX. Pour tout élémentgdeG, on noteχ(g)le nombre de points fixes deg.
1) Montrer que le nombre d’orbites est donné par
1
#G
P
g∈G
χ(g) .
Indication : on pourra dénombrer l’ensemble S = {(g, x)∈G×X, g·x=x}de deux manières différentes.
2) Application : combien de colliers distincts de huit perles bleues, rouges, ou vertes peut-on réaliser ?Indication : on pourra compter les orbites des coloriages d’un octogone sous l’action du groupe diédral associé.
Exercice 9. SoitGun groupe d’ordrenagissant transitivement sur un ensembleX de cardinal l.
1) Montrer que tous les stabilisateurs d’éléments sont conjugués.
2) Montrer quel divisen.
3) Montrer que l’union
S = S
x∈X
Stab(x)
est de cardinal au plusn−l+ 1.
4) On suppose que l’on aitl≥2. Montrer qu’il existe au moinsl−1éléments deGsans point fixe.
5) Application : montrer qu’un groupe fini n’est jamais la réunion des conjugués d’un sous-groupe propre.
Montrer que ceci est toutefois possible pour un groupe infini.
Exercice 10. Soitpun nombre premier. On appellep-groupe tout groupe dont l’ordre est une puissance dep.
1) SoitGunp-groupe agissant sur un ensemble finiX. On pose
XG = {x∈X, ∀g∈G, g·x=x} . Montrer que l’on a#X ≡#XG modp.
2) En déduire que le centre d’unp-groupe n’est jamais trivial.
3) Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes d’ordrep2.
4) Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’un p-groupe soit simple. En déduire la forme, à isomorphisme près, desp-groupes simples.
Exercice 11. Lemme de Cauchy.Soient Gun groupe fini etpun facteur premier de l’ordre de G. On va montrer queGpossède au moins un élément d’ordrep.
1) Montrer que l’on fait agirZ/pZsur{(x0, . . . , xp−1)∈Gp, x0. . . xp−1= 1}en posant
m·(x0, . . . , xp−1) = (xm, . . . , xp−1+m) , les indices étant pris modulop.
2) Conclure en écrivant l’équation aux classes.
Exercice 12. 1) Soientnun entier naturel non nul etGun groupe ayant un sous-groupe d’indicen. Montrer queG a un sous-groupe distingué d’indice divisantn!.Indication : on pourra considérer un morphisme deGdansSn.
2) On supposeGfini, et on noteple plus petit diviseur premier de l’ordre deG. Montrer qu’un sous-groupeH deGd’indicepest nécessairement distingué (dansG).
Exercice 13. Une action d’un groupeGsur un ensemble X est dite n-transitive, pour un entier naturelnnon nul, si pour tousn-uplets(x1, . . . , xn)et(y1, . . . , yn)d’éléments deX, il existe un élémentgdeGtel que l’on ait
g·xi = yi
pour tout entierientre1et n. Il est important de noter queg ne dépend pas dei.
1) Une actionn-transitive est-elle(n−1)-transitive ? Est-elle(n+ 1)-transitive ?
2) Montrer que l’action naturelle deGL2(R)sur l’ensemble des droites du plan est3-transitive.
2 Sous-groupes de Sylow
Exercice 14. SoitG un groupe d’ordrepq, oùpet q sont deux nombres premiers vérifiant p < q et q non congru à 1 modulop. Montrer queGpossède un uniquep-Sylow et un uniqueq-Sylow. En déduire queGest cyclique. Que peut-on dire dans le cas oùqest congru à1modulop? Donner un exemple.
Exercice 15. 1) Montrer qu’un groupe d’ordre63n’est jamais simple. Indication : utiliser les théorèmes de Sylow.
2) Montrer qu’un groupe d’ordre30n’est jamais simple. Indication : compter les éléments d’ordres2,3, et5.
3) Montrer qu’un groupe d’ordre36n’est jamais simple.Indication : le faire agir sur l’ensemble de ses3-Sylow.
Exercice 16. Soientpetqdeux nombres premiers, ainsi que αet β deux entiers naturels non nuls.
1) On suppose que l’on ap > q. Montrer qu’un groupe d’ordrepαq n’est jamais simple.
2) On suppose que l’on apα < q+ 1. Montrer qu’un groupe d’ordre pαqβ n’est jamais simple.
3) On suppose que(q−1)! n’est pas divisible parpα. Montrer qu’un groupe d’ordre pαqn’est jamais simple.
Exercice 17. Soientp,q, etr trois nombres premiers vérifiantp < q < r. Soit Gun groupe d’ordrepqr. On note respectivement np, nq, etnrle nombre de p-Sylow, deq-Sylow, et der-Sylow deG.
1) Montrer que siGest simple, alors on anp≥q, ainsi quenq ≥ret nr = pq.
2) En déduire queGn’est pas simple.
Exercice 18. Soient Gun groupe d’ordre pair au moins égal à 4 et S un2-Sylow de G. On suppose S cyclique.
Montrer que G n’est pas simple. Indication : considérer une action de G sur lui-même et utiliser le morphisme de signature.
Exercice 19. Soientpun nombre premier impair etGun groupe d’ordre2p.
1) Montrer queGcontient deux sous-groupesK=haid’ordrepet H =hbid’ordre2tels que l’on ait
G = HK = {hk, h∈H, k∈K} . 2) Montrer qu’il existe un entieri entre1 etp−1 tel que l’on ait
bab = ai , puis que pdivisei2−1.
3) En déduire queGest soit cyclique, soit diédral (i.e.isomorphe àDp).
Exercice 20. SoitGun groupe simple.
1) Montrer que tout morphisme de groupes non trivial deGdans un autre groupe est injectif.
2) On suppose queGsoit fini, simple, et d’ordre168. SoitH un sous-groupe de Gd’indicem≥2.
a) Construire un morphisme de groupes deGdansSm. En déduire quemest au moins égal à7.
b) CombienGpossède-t-il d’éléments d’ordre7?
c) Montrer que le nombre de 3-Sylow de G est égal à 7 ou à 28. En déduire que G ne possède pas d’éléments d’ordre21.
3) On suppose queGsoit d’ordre280. Montrer queGne peut pas être simple.
Exercice 21. SoitGun groupe de cardinal n = pαm, oùpest un nombre premier ne divisant pasm.
1) SoientP etQdeuxp-Sylow distincts deG. Montrer que l’on a
P∩Q = Q∩NG(P) , oùNG(P)est le normalisateur deP dansG.
2) On suppose à présent que l’ensembleX desp-Sylow deGsoit de cardinalp+ 1. Montrer queP agit surX par conjugaison. Déterminer l’orbite deP, vu comme élément deX, et son stabilisateur. Faire de même pourQ.
3) Montrer que l’intersection deP et de Qest de cardinalpα−1.
Exercice 22. Soientpetqdeux nombres premiers distincts, ainsi quenetmdeux entiers naturels, etGun groupe d’ordrepnqm. On suppose queGpossède un uniquep-SylowHpet un uniqueq-SylowHq. Montrer queGest isomorphe à G/Hp×G/Hq.
Exercice 23. On suppose qu’il existe un groupe simpleGd’ordre90.
1) CombienGpossède-t-il de5-Sylow ?
2) Combien G possède-t-il de 3-Sylow ? Quelle est l’intersection de deux 3-Sylow distincts ? Indication : on pourra considérer les ordres possibles pour le centralisateur d’un élément dans une telle intersection.
3) Conclure.
Exercice 24. On suppose qu’il existe un groupe simpleGd’ordre180.
1) CombienGpossède-t-il de5-Sylow ?
2) CombienGpossède-t-il de3-Sylow ? Quelle est l’intersection de deux3-Sylow distincts ? 3) Conclure.
Exercice 25. Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre252.
Exercice 26. 1) Montrer que les éléments d’ordre2sont deux à deux conjugués dansA5. 2) Montrer qu’un sous-groupe distingué deA5 contenant un5-cycle les contient tous.
3) Montrer queA5 est simple.
Exercice 27. SoitGun groupe simple d’ordre 60. On va montrer que Gest isomorphe à A5. 1) Montrer que le nombre de5-Sylow deGest égal à6.
2) Montrer que le nombre de3-Sylow deGest égal à4 ou10.
3) Montrer que ce nombre vaut10.
4) Trouver le nombre de2-Sylow deG, et conclure.
