E445 – Zig et Puce fêtent 2013 [*** à la main]
1ère réjouissance [*]
Zig trace un segment de 20 cm de longueur et Puce de son côté trace un segment de 13 cm de longueur. Puce partage en trois son segment puis Zig fait de même avec le sien. On obtient ainsi six segments. S’il est possible de les partager en deux sous-ensembles de trois segments chacun et de construire deux triangles non dégénérés dont les longueurs des côtés sont celles des segments, Zig est le vainqueur. A contrario, Puce est le vainqueur. Qui a une stratégie gagnante ?
Résoudre l’énigme avec des segments de longueurs p et z respectivement tracés par Puce et Zig. Puce partage son segment en trois puis Zig fait de même avec le sien. Déterminer en fonction du ratio p/z celui des deux qui a une stratégie gagnante.
Solution proposée par Paul Voyer Q1
Puce définit a≥b≥c.
Zig a une stratégie gagnante : il définit d=a, e=f=(20-d)/2>c - Si c<6.5, alors abc est un triangle non dégénéré. def aussi.
- Si c≥6.5, adc et efb sont des triangles isocèles non dégénérés.
Q2
On peut supposer a ≥ p/2.
Alors la méthode précédente est applicable pour tout z≥p et Zig gagne.
Dès que z<p, Puce peut prendre a=(z+p)/2, et gagner.
2ème réjouissance [***]
Zig et Puce tracent les bords d’un rectangle de dimensions 20 x 13 sur le quadrillage d’une feuille de papier dont les lignes horizontales et verticales sont séparées d’une unité. Chacun à tour de rôle trace les côtés d’un carré de dimension quelconque qui repose sur les lignes du quadrillage à l’intérieur du rectangle - bords inclus - et qui est extérieur à tous les carrés déjà tracés mais peut avoir un point commun ou un segment commun avec l’un quelconque d’entre eux. La partie se poursuit jusqu’au moment où un joueur perd la partie car il n’a plus la place pour tracer un carré. Zig joue en premier. Quel est le perdant ?
Solution
Si Zig commence par le carré (1,5), (1,16), (12,16), (12,5), il laisse une situation symétrique : deux rectangles 4x13 et un rectangle 1x12 de longueur paire.
Dès lors, Zig va répéter en miroir les coups de Puce, ce qui est toujours possible, et donc gagner.
