E440. Un jeu de Zig et Puce
Problème proposé par Michel Lafond
Zig et Puce jouent au jeu suivant : sur la table, il y a 8 cartes numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Chacun à tour de rôle prend une carte présente sur la table et la garde en main. A la fin, chacun multiple les valeurs des 4 cartes qu’il a en main. Celui dont le produit est le plus proche de 300 gagne.
Zig commence. Qui gagnera ?
Solution proposée par Patrick Gordon
Pour gagner, il n'est pas nécessaire de s'approcher de 300. On peut gagner, par exemple, avec 1 2 3 4 (produit = 24), car l'autre joueur a alors 8! / 24 = 1.680, qui est beaucoup plus loin de 300.
Un examen systématique des C84
= 70 mains finales pour un joueur donné (peu importent celles de l'autre car seul comptent les produits) montre que :
a) celle comportant 1 2 3 4 (il n'y en a qu'une),
b) celles comportant 1 2 3 et l'un ou l'autre des nombres de 5 à 8 (il y en a 4), c) celles comportant 1 2 4 et l'un ou l'autre des nombres de 5 à 8 (il y en a 4), d) celles comportant 2 4 et deux quelconques des nombres de 5 à 8 (il y en a 6), e) celles comportant 2 3 et deux des nombres de 5 à 8 sauf la paire (5,6) (il y en a 5), f) ainsi que 1 2 5 6, 1 2 5 7,…
sont gagnantes.
L'intuition est donc que Zig, qui commence, devrait s'assurer du 2.
Notons p, q, r, s les nombres successifs que prend Puce.
Si p ≠ 1, Zig prend le 1. Zig a alors 1 et 2. Puce a le p et prend q.
Si p et q ≠ 3, Zig prend le 3 et, quoi que joue Puce, Zig gagne (règle b – exemple : p = 4, q = 6; Zig prend 5; Puce ne peut plus prendre que 7 ou 8 et Zig prendra l'autre).
Si p = 3 et q ≠ 4, Zig prend le 4 et, quoi que joue Puce, Zig gagne (règle c).
Si p ≠ 3 et q = 4, Zig prend le 3 et, quoi que joue Puce, Zig gagne (règle b).
Si p = 3 et q = 4 ou vice-versa, les joueurs sont à : Zig a 1 et 2; Puce a 3 et 4. Zig doit, pour gagner, prendre le 5 ainsi que le 6 ou le 7 (règle f). Il prend le 5. Si Puce prend le 6 ou le 7, Zig prend l'autre et gagne. Si Puce ne prend ni le 6 ni le 7, Zig prend l'un des deux et gagne.
Si p = 1, Zig prend le 3. Puce prend q. Zig a alors le 2 et le 3 et Puce a le 1 et le q. Pour gagner, Zig doit atteindre 2 3 x y avec x et y {5, 6, 7, 8} mais autres que la paire (5,6) (règle e).
Si q = 4, il reste en jeu tous les nombres de 5 à 8. Zig prend par exemple 7 et, quoi que joue Puce, Zig gagne.
Si q ≠ 4, il reste en jeu tous les nombres de 5 à 8, sauf q et Zig doit, pour gagner, prendre deux des nombres de 5 à 8 sauf la paire (5,6).
Si q = 5 ou 6, Zig prend 7 ou 8 et, quoi que joue Puce, Zig gagne.
Si q = 7 ou 8, Zig prend l'autre et, quoi que joue Puce, Zig gagne.
En définitive donc, Zig commence par prendre le 2 et gagne quoi que fasse Puce.
Annexe
1 2 3 4 5 6 7 8 Zig Puce Zig Puce
1 1 1 1 24 1680 276 1380 1104
1 1 1 1 30 1344 270 1044 774
1 1 1 1 36 1120 264 820 556
1 1 1 1 42 960 258 660 402
1 1 1 1 48 840 252 540 288
1 1 1 1 40 1008 260 708 448
1 1 1 1 48 840 252 540 288
1 1 1 1 56 720 244 420 176
1 1 1 1 64 630 236 330 94
1 1 1 1 60 672 240 372 132
1 1 1 1 70 576 230 276 46
1 1 1 1 80 504 220 204 -16
1 1 1 1 84 480 216 180 -36
1 1 1 1 96 420 204 120 -84
1 1 1 1 112 360 188 60 -128
1 1 1 1 60 672 240 372 132
1 1 1 1 72 560 228 260 32
1 1 1 1 84 480 216 180 -36
1 1 1 1 96 420 204 120 -84
1 1 1 1 90 448 210 148 -62
1 1 1 1 105 384 195 84 -111
1 1 1 1 120 336 180 36 -144
1 1 1 1 126 320 174 20 -154
1 1 1 1 144 280 156 20 -136
1 1 1 1 168 240 132 60 -72
1 1 1 1 120 336 180 36 -144
1 1 1 1 140 288 160 12 -148
1 1 1 1 160 252 140 48 -92
1 1 1 1 168 240 132 60 -72
1 1 1 1 192 210 108 90 -18
1 1 1 1 224 180 76 120 44
1 1 1 1 210 192 90 108 18
1 1 1 1 240 168 60 132 72
1 1 1 1 280 144 20 156 136
1 1 1 1 336 120 36 180 144
1 1 1 1 120 336 180 36 -144
1 1 1 1 144 280 156 20 -136
1 1 1 1 168 240 132 60 -72
1 1 1 1 192 210 108 90 -18
1 1 1 1 180 224 120 76 -44
1 1 1 1 210 192 90 108 18
1 1 1 1 240 168 60 132 72
1 1 1 1 252 160 48 140 92
1 1 1 1 288 140 12 160 148
1 1 1 1 336 120 36 180 144
1 1 1 1 240 168 60 132 72
1 1 1 1 280 144 20 156 136
1 1 1 1 320 126 20 174 154
1 1 1 1 336 120 36 180 144
1 1 1 1 384 105 84 195 111
1 1 1 1 448 90 148 210 62
1 1 1 1 420 96 120 204 84
1 1 1 1 480 84 180 216 36
1 1 1 1 560 72 260 228 -32
1 1 1 1 672 60 372 240 -132
1 1 1 1 360 112 60 188 128
1 1 1 1 420 96 120 204 84
1 1 1 1 480 84 180 216 36
1 1 1 1 504 80 204 220 16
1 1 1 1 576 70 276 230 -46
1 1 1 1 672 60 372 240 -132
1 1 1 1 630 64 330 236 -94
1 1 1 1 720 56 420 244 -176
1 1 1 1 840 48 540 252 -288
1 1 1 1 1008 40 708 260 -448
1 1 1 1 840 48 540 252 -288
1 1 1 1 960 42 660 258 -402
1 1 1 1 1120 36 820 264 -556
1 1 1 1 1344 30 1044 270 -774
1 1 1 1 1680 24 1380 276 -1104
diff. écarts (bleu : Zig gagne) produits
main finale de Zig écarts à 300
