E624 Le plus beau tour de cartes [***** à la main]
Solution de Daniel Collignon
Pour réaliser ce tour de cartes, Hippolyte et Diophante ont convenu au préalable d’un code.
Voyons les différentes composantes de ce code pour bien cerner le « truc ».
D’après le principe de Dirichlet, parmi 5 cartes, il y en a nécessairement 2 de même couleur.
Hippolyte alignera en première position l’une de ces 2 cartes, ce qui permettra à Diophante d’en déduire la couleur de l’autre carte qui sera bien entendu la carte à deviner (notons que cet aspect peut rendre fragile le tour s’il est exécuté plusieurs fois devant le même public).
Ensuite l’ordre dans lequel les 3 autres cartes sont alignées est important.
Considérons la relation d’ordre total suivante :
As < … < Dix < Valet < Dame < Roi (ordre assez habituel) Carreau < Cœur < Pique < Trèfle (ordre alphabétique)
Cela permet de départager les cartes de même hauteur tel que As de Carreau < As de Cœur.
De cette façon, les 3 cartes alignées peuvent être réordonnées en les notant 1 < 2 < 3, 1 désignant la plus petite carte au sens de la relation d’ordre définie…
Il y a ainsi 3! = 6 permutations possibles, ce qui permet de « coder » un nombre entre 1 et 6.
Pour ce codage, utilisons l’ordre lexicographique (1 = 123, 2 = 132…6 = 321) qui est assez facile à retenir.
Soient x =/= y les hauteurs (sous la forme d’un nombre entre 0 = As et 12 = Roi) des 2 cartes de même couleur. Deux nombres sont distants d’au plus 6 modulo 13, plus précisément :
* si 1 <= y-x <= 6 modulo 13, alors la carte à deviner sera celle de hauteur y
* sinon 1 <= x-y <= 6 modulo 13, alors la carte à deviner sera celle de hauteur x
L’idée est donc de partir de la hauteur de la première carte et d’y ajouter modulo 13 le nombre issu du transcodage de l’ordre dans lequel sont posées les 3 autres cartes.
Remarquons qu’avec la méthode exposée, la carte à deviner de l’exemple donnerait 10 de Trèfle, puisque que l’ordre est 213 = 3 et 7+3 = 10.
Cela n’est pas très grave car il y a énormément de convention dans ce tour, et il est aisé de construire des variantes. Néanmoins j’ai quand même l’impression d’avoir fait de « bons » choix au sens où ils me paraissaient assez naturel d’un point de vue mnémotechnique…
Autres commentaires
Ce tour de cartes a donné lieu à une abondante documentation en majeure partie accessible sur Internet.
Jean Paul Delahaye responsable de la rubrique Logique et Calcul de la revue Pour la Science lui a consacré un article très complet et très clair dans le numéro 340 de février 2006. Voir Le merveilleux tour des cinq cartes pages 90 à 94.On consultera par ailleurs avec beaucoup d’intérêt
- le site de Jean Paul Davalan où est présentée une simulation du tour lui-même:
http://perso.orange.fr/jean-paul.davalan/jeux/cartes/cinq/index.html - ainsi que les articles suivants écrits en anglais :
- The best card trick de Michaël Kleber
- Fitch Cheney’s five card trick de Colm Mulcahy - A mathemagical card trick de Norman Do
- Using a card trick to teach discrete mathematics de Shai Simonson et Tara S. Holm On y trouvera la formule selon laquelle avec un jeu de n cartes il est possible de deviner d cartes à condition que n d !+d-1. Ainsi avec d = 5, il est possible de faire le tour avec 124 cartes.
