E571. Un joli tour de cartes
Ce mois-ci, vous êtes invité à décrypter un joli tour de cartes.
Puce informe le public que Zig, pour le moment dans sa loge, va dans quelques instants réaliser un véritable tour de magie avec un jeu de 32 cartes.
Dans un premier temps, Puce convainc le public que les cartes ne sont ni biseautées ni truquées puis il décrit le déroulement du tour de cartes :
1) Le public choisira une carte (désignée par X) dont je prendrai connaissance.
2) Un premier volontaire dans la salle viendra mélanger les 32 cartes autant de fois qu’il le désire avant de les étaler sur une table en quatre rangées de huit cartes, faces invisibles.
3) Un deuxième volontaire choisira à sa convenance un nombre de cartes qu’il retournera faces visibles.
4) Je retournerai une seule carte qu’elle soit face visible ou face invisible.
5) Je quitterai la scène avant l’arrivée de Zig et j’irai au fond de la salle afin qu’on ne puisse pas me soupçonner de communiquer une quelconque information à mon partenaire.
6) Zig arrivera sur scène et au bout de quelques secondes annoncera à voix forte le nom de la carte X. S’il dit juste, vous êtes invités à l’applaudir chaleureusement.
Le scénario se déroule jusqu’au point 3) inclus comme annoncé par Puce et après le passage du deuxième volontaire, on a le tableau T1 suivant :
Conformément au point 4), Puce retourne le valet de coeur qui est au bout de la première rangée, ce qui donne le tableau T2 qui sera le seul tableau vu par Zig :
Zig arrive sur scène et comme prévu après quelques secondes de réflexion annonce que la carte X choisie par le public est la Dame de Coeur.
Applaudissements nourris...
Par quelle « alchimie » purement mathématique, Zig a-t-il pu identifier de manière certaine la carte choisie par le public ?
Solution de Paul Voyer
Numérotons les cartes de 0 à 31 (convention entre Zig et Puce).
Par exemple, les cartes sont 7 trèfle=0, 8 trèfle, ... , as trèfle, 7 carreau, 8 carreau, …, as carreau, 7 cœur, … as cœur, 7 pique, … as pique = 31.
La carte X vaut x.
Affectons aux 32 positions du tableau les valeurs 0 à 31.
La somme des entiers d'un tableau dont toutes les faces sont visibles vaut 0 modulo 32. De même si elles sont toutes cachées.
Cela ne mène à rien car le retournement d'une carte a deux effets distincts selon que sa face est visible ou cachée.
Au contraire de l'addition modulo 32, l'opération "ou exclusif" sur l'écriture binaire de ces numéros de position va nous donner la solution.
Cette opération est associative et commutative. Son résultat est compris entre 0 et 31. Elle porte le nom de NIM-addition ou nimber https://fr.wikipedia.org/wiki/Nimber.
Le retournement d'une carte a le même effet, que sa face soit visible ou cachée.
Appliquée à l'ensemble des 32 cartes, la NIM-somme vaut 0 si toutes les faces sont cachées, de même si elles sont toutes visibles.
Quelque soit la configuration visible-cachée des cartes, le retournement de la carte occupant la position portant le numéro de la NIM-somme rend nulle cette dernière.
On veut qu'à la fin, la NIM-somme du tableau T2 porte le numéro de la carte X, afin que Zig puisse l'identifier.
Pour cela, il suffit que Puce retourne dans T1 la carte qui a la position ayant pour numéro le "ou exclusif binaire" de la NIM-somme de T1 et du numéro de la carte X.
Ce ou exclusif binaire peut être considéré comme le produit :
- du ou exclusif binaire avec la carte occupant la position NIM-somme de T1 (résultat = 0) - et du ou exclusif avec le numéro de la carte X (résultat = X).
