E615 – Un vrai tour de force pour un second tour de cartes [** à la main et ***** à la main et avec ordinateur]
Solution
1ère partie : Diophante devine un nombre N quelconque compris entre 1 et 125.
On sait que le nombre de façons de ranger cinq cartes différentes est le nombre de
permutations de cinq objets pris cinq par cinq soit 5 ! = 120. A partir des entiers a, b, c, d et e écrits par le premier spectateur sur cinq cartes différentes avec a < b < c < d < e, on peut établir une correspondance biunivoque entre un entier N compris entre 1 et 120 et une permutation bien déterminée des cinq nombres. En se reportant à la table ci-après, on dira, par exemple que N = 57 est représenté par les cinq cartes mises dans l’ordre c, b, d, a et e , et N=101 par les cartes mises dans l’ordre e, a, d, b et c.
Les nombres figurant sur les cinq cartes étant par hypothèse différents du sixième nombre annoncé par le spectateur, cinq places sont en quelque sorte libérées dans le tableau ci-dessus et sont occupées par les nombres 121 à 125 qui les remplacent.
Supposons que le spectateur ait écrit sur les cinq cartes les nombres 17,46, 68, 79 et 112.La nouvelle table se présente comme suit :
Supposons que le sixième nombre soit 39. Alors Hippolyte fait parvenir à Diophante les cartes numérotées 17,46, 68, 79 et 112 dans l’ordre 46, 79, 68,17 et 112. Si ce sixième nombre est 122, alors les cinq cartes sont rangées dans l’ordre 46, 112, 68, 79, 17.
2ème partie : Diophante devine un nombre N quelconque compris entre 1 et 205.
La possibilité pour Hippolyte de ne transmettre que quatre cartes, introduit des degrés de liberté supplémentaires. Avec quatre cartes, il y a 4 ! = 24 permutations possibles. Selon que Diophante reçoit cinq ou quatre cartes, on peut dénombrer au total 120 + 24 = 144
permutations différentes auxquelles on peut associer autant de valeurs possibles du sixième nombre à deviner. Une analyse plus fine montre qu’en combinant les deux mécanismes et en tenant compte des « trous » laissés par les nombres écrits sur les cinq cartes , on peut au mieux deviner la valeur de 148. On est très loin de 205.
L’astuce consiste à faire intervenir un ensemble E de 23 nombres entiers différents que Diophante et Hippolyte ont concoctés et mémorisés avant la séance.
Les 23 nombres de E sont compris entre 0 et le nombre N maximal à deviner. Pour tout élément e de E et pour tout entier positif x, on note {E+x} l’ensemble obtenu en faisant la somme e+x modulo N. La propriété fondamentale de E est que pour tout x, le recouvrement de E et de {E+x} est au maximum de 3 éléments.
Un exemple de cet ensemble E est le suivant : 0, 1, 2, 4, 8, 15, 20, 32, 63, 81, 100, 105, 110, 128, 132, 141, 147, 173, 181, 187, 189, 190, 203. Un programme informatique très simple permet de vérifier que les occurrences des différences en valeur absolue des termes pris deux à deux ne dépassent jamais 3. On démontre facilement que cette propriété reste vraie pour tout couple d’entiers (x,y) avec x y et que les ensembles {E+x} et {E+y} ont au plus 3 éléments en commun.
Un exemple permet de comprendre le mode opératoire. Supposons que N=205 et que les cinq nombres écrits par le spectateur sont 37,79,103,129 et 175.
Il y a 5 quadruplets possibles de 4 nombres (79,103,129,175), (37,103,129,175),
(37,79,129,175), (37,79,103,175) et (37,79,103,129). On calcule d’abord pour chacun d’eux la somme S(i,4) des 4 nombres qui les constituent. D’où les sommes S(1,4) = 486 = 79 + 103 + 129 + 175, puis S(2,4) = 444 = 37 + 103 + 129 + 175, etc….
On calcule ensuite la somme modulo 205 de S(i,4) avec chaque élément e(k) de E pour k=1 à 23. Il y a donc 5*23 = 115 termes à calculer. D’où le tableau appelé T ci-après :
Par exemple la somme de S(3,4) = 420 et de e(13) = 110 donne 420 + 110 = 530 = 120 modulo 205.
Comme prévu, certains termes apparaissent deux fois ou plus. Les 19 paires et les 2 triplets correspondants sont repérés par des couleurs identiques.
Après élimination des doublons, on peut exprimer 115 – 19 – 2*2 = 92 nombres différents. A chacun de ces nombres repérés par la ligne i et la colonne k, on peut associer la k-ième des 24 permutations possibles de 4 nombres pris 4 à 4 en utilisant le second tableau ci-après :
A titre d’exemple, si le sixième nombre à deviner est 91, Hippolyte constate qu’à
l’intersection de la ligne S(1,4) = 486 et de la sixième colonne, la somme S(1,4) + e(6) est égale à 486 + 15 = 501 = 91 modulo 205. Il transmet donc à Diophante les 4 cartes
comportant les nombres 79,103,129 et 175 avec un ordre correspondant à la permutation n°6 qui est de la forme (1,4,3,2). Les 4 cartes sont alors classées dans l’ordre (79,175,129,103).
Si le sixième nombre est 204, il est en couleur jaune tant sur la 1ère ligne S(1,4) = 486 que sur la 4ème ligne S(4,4) = 394, Hippolyte peut choisir soit les 4cartes (79,103,129,175) classées dans l’ordre (3,1,4,2) qui s’exprime sous la forme (129,79,175,103) soit les 4 cartes
(37,79,103,129) classées sous la forme (37,129,103,79).
Dans le pire des cas, que se passe-t-il ? En considérant les cinq quadruplets i = 1 à 5, les sommes de la forme S(1,4)+e(k) ont au plus 3 termes communs avec les sommes de la forme S(2,4) + e(k) d’où 23 + 20 =43 nombres distincts susceptibles d’être utilisés pour deviner le sixième nombre. Le 3ième quadruplet génère au plus 3 termes communs avec chacun des deux premiers quadruplets soit au minimum 23 – 3 – 3 =17 nombres distincts des 43 autres.. D’où le nombre minimal de nombres distincts susceptibles d’être utilisés égal à 23 + 20 + 17 + 14 + 11 = 85.
Quatre cartes permettent donc d'identifier au minimum 85 nombres distincts. Par ailleurs, on peut utiliser les cinq cartes pour identifier 120 nombres différents. Hippolyte qui a déterminé tous les éléments distincts de T sait que s'il communique à Diophante les cinq cartes, ce dernier peut lui aussi déterminer le tableau T. La liste des nombres compris entre 1 et 205 qui ne sont pas dans T comporte N' termes avec N' inférieur ou égal à 120. Diophante est en
mesure de la déterminer et de classer ces nombres dans l'ordre croissant afin d'utiliser une table équivalente à celle donnée dans la première partie pour deviner le sixième nombre.
Globalement on obtient bien N = 120 + 85 = 205 et la stratégie d'Hippolyte et de Diophante se résume ainsi : sur la base des cinq nombres donnés par le deuxième spectateur, Hippolyte établit le tableau T et en déduit la liste exhaustive par ordre croissant des nombres qui peuvent être codés à l'aide de quatre nombres seulement. Si c'est le cas, Diophante reçoit quatre cartes dans un ordre tel qu'il peut sans ambiguïté déterminer le sixième nombre. Si ce n'est pas le cas, Hippolyte transmet cinq cartes après avoir classé les nombres compris entre 1 et 205 et qui ne font pas partie du tableau T. Il y a N' nombres avec un maximum de 120 nombres de cette catégorie et les N' permutations possibles permettent à Diophante de trouver le sixième nombre sans aucune hésitation comme dans la première partie.
Le problème reste ouvert et il y a probablement des ensembles E constitués de 24 éléments différents tels que le recouvrement avec tout ensemble {E+x} est de 3 éléments. Dès lors, N >
205 serait accessible….
