A433 – Ne pas s’emballer…dans les emballages[**** à la main]
Solution
Soient a, b et c les dimensions entières de chaque carton d’emballage avec a < b < c et x le i côté de la boite cubique de la catégorie n° i.
Par hypothèse x = 1 3 v et x2 3 2x1= 1,25992105.. x d’une part,1 x3= 3 w et x4 3 3x3 = 1,44224957.. x d’autre part. 3
On exprime successivement que le remplissage d’un carton avec les cubes de côté x est le 1 double de celui obtenu avec les cubes de côté x et le remplissage d’un carton avec les cubes 2 de côté x est le triple de celui obtenu avec les cubes de côté 4 x . 3
D’où l’équation (1) :
1 3 1 3 1 3 1
1
1 2x
. c x 2 . b x 2 2.2v. a x
. c x . b x
v. a qui se ramène à
1 3 1 3 1 3 1
1
1 2x
. c x 2 . b x 2 4. a x . c x . b x
a
Et l’équation (2) :
3 3 3 3 3 3 3
3
3 3x
. c x 3 . b x 3 3w. a x
. c x . b x
3.w. a qui se ramène à
3 3 3 3 3 3 3 3
3 3x
. c x 3 . b x 3
a x
. c x . b x
a
C’est la deuxième équation qui est la plus simple à traiter. Pour que les deux membres soient identiques, il faut et il suffit que respectivement
x3
a =
3 3 3x
a puis
x3
b =
3 3 3x
b et
x3
c =
3 3 3x
c .
Déterminons dans un tableau croisé (k,w) pour w variant entre 2 et 20 et k>1, les cas où
x3
k
=
3 3 3x
k avec x3= 3 w.Ce recensement se fait manuellement sans difficulté et les cases
correspondantes du tableau croisé sont coloriées en vert ci-après . A l’intérieur de chacune des cases figure la valeur commune
x3
k et
3 3 3x
k qui est égale au nombre de boites rangées
parallèlement au côté de dimension k.
Par exemple, pour k = 3, on vérifie que pour w variant de 5 à 9,
x3
3 =
3 3 3x
3 =1.
Pour les valeurs de w comprises entre 2 et 20, il faut donc au moins trois valeurs de k pour lesquelles on observe des cases vertes dans une même colonne. On constate qu’il y a une seule configuration possible pour w = 9dm3, a = 3 dm, b = 4 dm et c = 6 dm. Chaque carton d’emballage a donc un volume de 72dm3 .On vérifie qu’avec les boites cubiques de volume w = 9dm3, le coefficient de remplissage est égal à (9*1*1*2)/72 = 25% tandis qu’avec les boites de volume 3w = 27dm3, le coefficient de remplissage est bien le triple, à savoir (27*1*1*2)/72 = 75%.
Il s’agit maintenant de vérifier que la carton d’emballage qui a ces dimensions (3,4,6)dm satisfait bien l’équation (1) avec un volume v à déterminer.
Le tableau ci-après donne le calcul de chacun des deux membres et l’on observe qu’il existe une valeur unique de v = 2dm3 pour laquelle ils sont identiques. Il y a 2*3*4 = 24 cubes de volume 2dm3 qui remplissent les deux tiers du carton ( c’est à dire 48/72 ) à comparer à 1*2*3 = 6 cubes de volume 4dm3 qui remplissent seulement le tiers du carton ( c’est à dire 24/72)
Conclusion : les dimensions de chaque carton d’emballage sont donc (3,4,6)dm et les volumes des boites cubiques sont respectivement de 9, 27, 2 et 4 dm3.
