E615 – Un vrai tour de force pour un second tour de cartes [** à la main et ***** à la main et avec ordinateur]
Solution de Daniel Collignon
1ère partie
Pour réaliser ce tour de cartes, Hippolyte et Diophante ont convenu au préalable d’un code.
Voyons les différentes composantes de ce code pour bien cerner le « truc ».
L’ordre dans lequel les 5 cartes sont alignées est important.
Il y a 5! = 120 permutations possibles, ce qui permet de « coder » tout nombre entre 1 et 120.
Pour ce codage, utilisons l’ordre lexicographique (1 = 12345, 2 = 12354, …120 = 54321).
Côté mnémotechnique, ce n’est pas évident donc il faut fournir une méthode rapide pour effectuer mentalement ce transcodage.
Servons nous du fait que tout entier 0<=k<=n!-1 s’écrit de manière unique sous la forme a1*(n-1)! + … + an*0! où pour tout 1<=i<=n, 0<=ai<=n-i (en particulier an=0).
Par exemple quelle permutation code 100 ? 99 = 4*4! + 0*3! + 1*2! + 1*1! + 0*0! = (40110)
A chaque coefficient on compte les rangs des chiffres restants en comptant depuis 0, ainsi : 12345 4 => 5, 1234. 0 => 1, .234. 1 => 3, .2.4. 1 => 4, .2… 0 => 2
D’où 51342
La même démarche peut être utilisée à l’envers, partant de 51342.
2 => 0 .2…, 4 => 1 .2.4., 3 => 1 .234., 1 => 0 1234., 5 => 4 12345
Si vraiment on ne parvient pas à jongler avec ce moyen mnémotechnique, il est toujours possible de « compter » :
De 12345 à 45321, il y a 4*4! = 96 permutations 51234 (97), 51243 (98), 51324 (99) et 51342 (100).
Pour aller jusqu’à 125, il suffit de convenir de coder une permutation correspondant à l’un des 4 nombres présentés. Comme tous les nombres sont ordonnés puisque distincts, on peut convenir que 121 correspondra au cas où la permutation code le plus petit nombre présenté…
et 125 où la permutation code le plus grand nombre présenté.
Voyons cela sur un exemple :
Si Hippolyte donne 102 98 100 101 99 à Diophante.
La permutation correspond à 51342, donc 100 qui est le 3ème nombre présenté, donc Diophante annoncera 120+3 = 123.
