E615 Un vrai tour de force
Le premier tour est assez simple à expliquer : Diophante voit 5 nombres, et peut donc déjà éliminer ceux-là. Il reste donc 120 possibilités, c’est à dire le nombres de permutations possibles de 5 nombres. Il suffit donc de convenir d’un codage pour l’ordre dans lequel on présente les nombres, par exemple si a<b<c<d<e a,b,c,d,e=1, a,b,c,e,d=2,…e,d,c,b,a=120
Le second est plus complexe : si Hippolyte transmet 5 nombres à Diophante, il a là encore 120 possibilités de codage. Comme il y a 205 nombres possibles, il faut trouver encore 85 possibilités en ne transmettant que quatre des cinq nombres.
Or la somme des quatre nombres modulo 205 est différente pour chacune des 5 combinaisons ; et l’ordre des quatre nombres permet 24 possibilités de codage.
Raisonnons sur un cas plus simple ; avec seulement 4 nombres au départ, il y a 24 possibilités de codage en les transmettant tous; en choisissant 3 nombres sur 4, on peut déterminer 4 sommes différentes, et 6 codages. On peut assez
facilement trouver 6 nombres (a1,a2,…,a6)=(0,1,3,7,12,20) dont les différences 2 à 2 modulo n>40 sont toutes distinctes. Si s1,…s4 désignent les 4 sommes modulo n, on ne peut avoir ai+sk=aj+sl pour k≠l que pour un couple i,j au maximum : les ai+sk permettent donc de définir 6+5+4+3=18 valeurs différentes, et avec les 24 codages à 4 cartes, cela fait n=42 nombres qu’il est possible de définir ainsi.
Si l’on revient au cas de 5 nombres, on ne peut trouver suffisamment de nombres avec des différences distinctes, mais on doit pouvoir trouver un ensemble d’au moins 23 nombres (les 11 premiers, où chaque différence n’apparaît qu’une fois, doivent être 0, 1, 3, 7, 12, 20, 30, 44, 65, 80 et 96) parmi lesquels chaque
différence n’apparaît pas plus de 3 fois, ce qui donnerait 23+20+17+14+11=85 nombres différents possibles en ajoutant les 5 sommes de 4 nombres.
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