4 Corps de Nombres

Universit´ e P. et M. Curie (Paris VI), Michel Waldschmidt Deuxi` eme semestre 2007/2008 date de mise ` a jour: 12/03/2008 Master de sciences et technologies 1` ere ann´ ee - Mention : Math´ ematiques et applications Sp´ ecialit´ e : Math´ ematiques Fondamentales MO11 : Th´ eorie des nombres (12 ECTS)

Sixi` eme fascicule : 24/03/2008

4 Corps de Nombres

4.1 Norme, trace, discriminant

Rappelons que tous les anneaux consid´ er´ es sont commutatifs et unitaires. Les ´ el´ ements inver- sibles (on dit encore les unit´ es) d’un anneau A forment un groupe multiplicatif not´ e A ^× .

Soient A un anneau, M un A-module libre de type fini et u un endomorphisme de M . On note Tr(u), N(u) et P _u (X) la trace, la norme et le polynˆ ome caract´ eristique de u respectivement. Dans une base (e ₁ , . . . , e _n ) de M sur A, si A = a _ij

1≤i,j≤n d´ esigne la matrice attach´ ee ` a u, on a Tr(u) =

n

X

i=1

a ii et N(u) = det(A).

D’autre part en d´ esignant par I l’endomorphisme identit´ e de M on a

P _u (X) = det(XI − u) = X ⁿ − Tr(u)X ⁿ⁻¹ + · · · + (−1) ⁿ N(u).

Quand u 1 et u 2 sont des endomorphismes de M on a

Tr(u ₁ + u ₂ ) = Tr(u ₁ ) + Tr(u ₂ ) et N(u ₁ ◦ u ₂ ) = N(u ₁ )N(u ₂ ).

Supposons de plus que M est un anneau - on le notera B. Soit donc B un anneau contenant A qui est un A-module libre de rang fini. Pour x ∈ B l’application

[x] : B −→ B y 7−→ xy

est un endomorphisme du A-module B et l’application x 7→ [x] est un homomorphisme d’anneaux de B dans l’anneau des endomorphismes de B.

La norme, la trace et le polynˆ ome caract´ eristique de [x] sont appel´ es norme, trace et polynˆ ome caract´ eristique de x de B sur A et not´ es respectivement

N _B/A (x), Tr _B/A (x) et P _B/A (x; X ).

On a donc, pour x et y dans B,

N _B/A (xy) = N _B/A (x)N _B/A (y) (4.1)

et

Tr _B/A (x + y) = Tr _B/A (x) + Tr _B/A (y).

Soit L/K une extension finie de corps et soit m = [L : K] son degr´ e. La norme de L sur K d´ efinit un homomorphisme du groupe multiplicatif L ^× de L dans le groupe multiplicatif K ^× de K et la trace un homomorphisme du groupe additif L dans le groupe additif K.

Lemme 4.2. Soit L/K une extension s´ eparable de degr´ e n. Soit N une extension finie de L, normale sur K et soient σ ₁ , . . . , σ _n les diff´ erents K-isomorphismes de L dans N . Alors pour α ∈ L on a

Tr _L/K (α) =

n

X

i=1

σ _i (α), N _L/K (α) =

n

Y

i=1

σ _i (α) et

P _L/K (α; X) =

n

Y

i=1

X − σ _i (α) .

D´ emonstration. Soit d le degr´ e de α sur K et

P (X) = X ^d + a ₁ X ^d−1 + · · · + a _d ∈ K[X ]

son polynˆ ome irr´ eductible sur K. Supposons dans un premier temps que α est un ´ el´ ement primitif de l’extension L/K , c’est-` a-dire que L = K(α) ou encore que d = n. Quand on prend {1, α, . . . , α <sup>d−1</sup> } comme base de L sur K, la matrice associ´ ee ` a l’endomorphisme [α] est

M α =















0 0 · · · 0 −a d

1 0 · · · 0 −a d−1

0 1 · · · 0 −a d−2

.. . .. . . . . .. . .. . 0 0 · · · 1 −a ₁













 .

Par cons´ equent le polynˆ ome caract´ eristique de [α] est le polynˆ ome irr´ eductible de α sur K. Le fait qu’il s’´ ecrive

d

Y

i=1

X − σ i (α) provient du Th´ eor` eme 2.19.

Dans le cas g´ en´ eral on note d = [K(α) : K] et m = [L : K(α)], de sorte que n = md et on prend une base (e 1 , . . . , e m ) de L sur K(α). Dans la base {e i α ^j ; 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j < d} de L sur K la matrice de [α] s’´ ecrit comme un bloc diagonal diag M α , . . . , M α

. Donc P _L/K (α; X ) = P(X ) ^m ,

Tr _L/K (α) = mTr _K(α)/K (α), N _L/K (α) = N _K(α)/K (α) ^m .

Enfin la suite (σ 1 (α), . . . , σ n (α)) est form´ ee des d conjugu´ es de α sur K, chacun ´ etant r´ ep´ et´ e m

fois.

Lemme 4.3. Soit L/K une extension finie s´ eparable. L’application

L × L → K

(x, y) 7→ Tr _L/K (xy) est une forme bilin´ eaire sym´ etrique non d´ eg´ en´ er´ ee sur L.

Il en r´ esulte que l’application qui ` a x ∈ L associe y 7→ Tr L/K (xy) est un isomorphisme du K-espace vectoriel L sur son dual Hom K (L, K).

D´ emonstration du lemme 4.3. Que ce soit une forme bilin´ eaire sym´ etrique est clair. Dire qu’elle est non d´ eg´ en´ er´ ee signifie que si x ∈ L est tel que Tr _L/K (xy) = 0 pour tout y ∈ L, alors x = 0.

Cela r´ esulte du lemme 4.4 suivant.

Lemme 4.4 (Lemme de Dedekind sur l’ind´ ependance lin´ eaire des caract` eres). Soient G un groupe, k un corps, σ 1 , . . . , σ n des homomorphisms deux-` a-deux distincts de G dans le groupe multiplicatif k ^× . Alors σ 1 , . . . , σ n sont lin´ eairement ind´ ependants sur k dans l’espace vectoriel k ^G .

D´ emonstration. On d´ emontre le r´ esultat par r´ ecurrence sur n. Pour n = 1 il est trivial. Supposons n ≥ 2. Soient a 1 , . . . , a n des ´ el´ ements de k tels que

n

X

i=1

a i σ i (x) = 0 pour tout x ∈ G.

Alors pour tout x ∈ G et tout y ∈ G on a

n

X

i=1

a i σ i (x)σ i (y) = 0.

Comme σ _n 6= σ ₁ il existe y ∈ G tel que σ _n (y) 6= σ ₁ (y). En utilisant la relation

n

X

i=2

a _i σ _i (y) − σ ₁ (y)

σ _i (x) = 0

avec l’hypoth` ese de r´ ecurrence, on en d´ eduit a n = 0, puis a 1 = . . . = a n = 0.

Remarque. Sous l’hypoth` ese suppl´ ementaire que la caract´ eristique de K est soit nulle, soit premi` ere avec [L : K], le fait que la forme bilin´ eaire (x, y) 7→ Tr _L/K (xy) soit non d´ eg´ en´ er´ ee se d´ eduit aussi de la relation

Tr L/K (α ⁿ ) + a 1 Tr L/K (α ⁿ⁻¹ ) + · · · + a n−1 Tr L/K (α) + a n [L : K] = 0

quand le polynˆ ome irr´ eductible de α sur K est X ⁿ + a ₁ X ⁿ⁻¹ + · · · + a _n−1 X + a _n ∈ K[X] : comme a _n 6= 0, l’un des nombres Tr _L/K (α ⁱ ), (1 ≤ i ≤ n) n’est pas nul.

D´ efinition. Soient A ⊂ B deux anneaux. On suppose que B est un A-module libre de rang n. On d´ efinit une application D _B/A : B ⁿ → A appel´ ee discriminant de B sur A par

D _B/A (x 1 , . . . , x n ) = det Tr _B/A (x i x j )

1≤i,j≤n .

Lemme 4.5. Soient A = a ij

1≤i,j≤n une matrice n × n ` a coefficients dans A. On pose

y _j =

n

X

i=1

a _ij x _i , (1 ≤ j ≤ n).

Alors

D _B/A (y ₁ , . . . , y _n ) = (det A) ² D _B/A (x ₁ , . . . , x _n )

D´ emonstration. Cela r´ esulte du fait que l’application (x, y) 7→ Tr B/A (xy) est bilin´ eaire.

Donc si x ₁ , . . . , x _n sont lin´ eairement d´ ependants sur A, alors D _B/A (x ₁ , . . . , x _n ) = 0 (on a suppos´ e A int` egre).

Si {x ₁ , . . . , x _n } et {y ₁ , . . . , y _n } sont deux bases de B comme A-module, alors la matrice de passage A est inversible, donc det A est une unit´ e de A. En particulier l’id´ eal principal de A engendr´ e par le discriminant D _B/A (x 1 , . . . , x n ) d’une base ne d´ epend pas de la base {x 1 , . . . , x n } : on le note D _B/A et on l’appelle id´ eal discriminant de B sur A.

Si A = Z le d´ eterminant det A d’une matrice de passage entre deux bases de B sur Z est ±1, donc son carr´ e est +1 et le discriminant D _B/Z (x 1 , . . . , x n ) d’une base de B sur Z ne d´ epend pas de la base {x 1 , . . . , x n }. C’est le discriminant absolu de B, que l’on note D B .

Lemme 4.6. Soient A ⊂ B deux anneaux ; on suppose que B est un A-module libre de rang n et que l’id´ eal D _B/A n’est pas l’id´ eal {0}. Soit (x 1 , . . . , x n ) ∈ B ⁿ . Alors D _B/A (x 1 , . . . , x n ) engendre l’id´ eal D _B/A si et seulement si {x 1 , . . . , x n } est une base de B comme A-module.

D´ emonstration. Par d´ efinition de l’id´ eal discriminant D _B/A , si {x ₁ , . . . , x _n } est une base de B comme A-module, alors D _B/A (x ₁ , . . . , x _n ) est un g´ en´ erateur de l’id´ eal D _B/A

Inversement supposons que D _B/A (x 1 , . . . , x n ) engendre l’id´ eal D _B/A . Soit {e 1 , . . . , e n } une base de B sur A. On ´ ecrit x i = P n

j=1 a ij e j (1 ≤ i ≤ n) et on note d x = D _B/A (x 1 , . . . , x n ), d e = D _B/A (e ₁ , . . . , e _n ) et a = det(a _ij ). D’apr` es le lemme 4.5 on a d <sub>x</sub> = a <sup>2</sup> d <sub>e</sub> . Par hypoth` ese d _x et d _e engendrent le mˆ eme id´ eal D _B/A . Donc d x = ud e avec u ∈ A ^× . Alors (a ² − u)d e = 0. Comme l’id´ eal principal D _B/A contient un ´ el´ ement non nul et que A est int` egre, il en r´ esulte que a <sup>2</sup> est inversible, donc que a est aussi une unit´ e de A, donc la matrice (a ij ) est inversible, son inverse ´ etant une matrice ` a coefficients dans A et par cons´ equent {x 1 , . . . , x n } est une base de B sur A.

Proposition 4.7. Soit L/K une extension s´ eparable de degr´ e n, soit N une extension finie de L, normale sur K , x 1 , . . . , x n des ´ el´ ements de L et soient σ 1 , . . . , σ n les diff´ erents K-isomorphismes de L dans N . Alors

D _L/K (x ₁ , . . . , x _n ) =

det σ _h (x _j )

1≤h,j≤n

2

. De plus (x 1 , . . . , x n ) est une base de L sur K si et seulement si

D _L/K (x ₁ , . . . , x _n ) 6= 0.

D´ emonstration. On utilise le lemme 4.2 : Tr _L/K (x i x j ) =

n

X

h=1

σ h (x i )σ h (x j ).

Donc

D L/K (x 1 , . . . , x n ) = det Tr L/K (x i x j )

= det σ h (x i )

det σ h (x j )

= det(σ h (x j ) 2

. Pour compl´ eter la d´ emonstration il reste ` a voir que la matrice σ h (x j )

est r´ eguli` ere. Si b 1 , . . . , b n

sont des ´ el´ ements de N tels que b 1 σ 1 (x j ) + · · · + b n σ n (x j ) = 0 pour 1 ≤ j ≤ n, alors b 1 σ 1 (x) +

· · · + b n σ n (x) = 0 pour tout x ∈ B et d’apr` es le lemme 4.4 il en r´ esulte b 1 = · · · = b n = 0.

Soit P un polynˆ ome non nul ` a coefficients dans un corps K et soit E une extension de K dans laquelle P est compl` etement d´ ecompos´ e :

P (X) = a 0 n

Y

i=1

(X − x i ),

o` u n est le degr´ e de P , a 0 son coefficient directeur et x i ∈ E. Nous avons d´ ej` a d´ efini le discriminant de P par

D(P ) = a ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ ₀ Y

1≤i<j≤n

(x i − x j ) ² = (−1) ^n(n−1)/2 a ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ ₀ Y

1≤i,j≤n, i6=j

(x i − x j ).

De la d´ efinition on d´ eduit D(P ) = 0 si et seulement si P a au moins une racine multiple. La th´ eorie de Galois §2.8 montre que D(P) est un ´ el´ ement de K. De la proposition 4.7, on d´ eduit que si P ∈ K[X ] est un polynˆ ome unitaire irr´ eductible de degr´ e n et si L = K(α) est un corps de rupture de P sur K, avec P (α) = 0, alors

D(P ) = D L/K (1, α, . . . , α ⁿ⁻¹ ).

Exercice. V´ erifier que le discriminant du polynˆ ome aX ² + bX + c est b ² − 4ac et que celui de X ³ + pX + q est −4p ³ − 27q ² .

4.2 Entiers alg´ ebriques

Proposition 4.8. Soient A un anneau int` egre, K un corps contenant A et α ∈ K. Les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :

(i) α est racine d’un polynˆ ome unitaire ` a coefficients dans A.

(ii) Le sous-anneau A[α] de K engendr´ e par α sur A est un A-module de type fini.

(iii) A[α] est contenu dans un sous-anneau de K qui est de type fini comme A-module.

Exemple : Le sous-anneau de C engendr´ e par 1/2 : Z[1/2] =

a/2 ⁿ ; a ∈ Z, n ∈ Z _≥0 n’est pas un Z-module de type fini, alors que Z[i] = Z+Zi et Z[ √

2] = Z+Z √

2 sont des Z-modules de type fini.

D´ emonstration. Supposons la propri´ et´ e (i) v´ erifi´ ee ; soit

X ⁿ + a ₁ X ⁿ⁻¹ + · · · + a _n−1 X + a _n ∈ A[X]

un polynˆ ome unitaire ` a coefficients dans A ayant α comme racine. De la relation α ⁿ = −a 1 α ⁿ⁻¹ − · · · − a _n−1 α − a n

on d´ eduit par r´ ecurrence sur m

α ^m ∈ A + Aα + · · · + Aα ⁿ⁻¹ pour tout m ≥ 1,

donc A[α] = A + Aα + · · · + Aα ⁿ⁻¹ et par cons´ equent l’anneau A[α] est un A-module de type fini.

L’implication (ii)⇒(iii) est triviale.

Supposons la propri´ et´ e (iii) v´ erifi´ ee. Soit B un sous anneau de K contenant A[α]. On suppose que B est un A-module de type fini et on ´ ecrit B = Ax 1 + · · · + Ax m . Pour 1 ≤ i ≤ m le fait que αx i appartienne ` a B entraˆıne qu’il existe des ´ el´ ements a ij de A (1 ≤ j ≤ m) tels que

αx i =

m

X

j=1

a ij x j .

Posons M = a ij

1≤i,j≤m et soit I la matrice identit´ e m × m. La matrice αI − M est associ´ ee ` a un endomorphisme de K <sup>m</sup> dont le noyau contient (x <sub>1</sub> , . . . , x <sub>m</sub> ). Soit P ∈ A[X] le d´ eterminant de la matrice XI − M . Alors P est un polynˆ ome unitaire qui admet α comme racine. D’o` u (i).

D´ efinition. On dit que α ∈ K est entier sur A s’il v´ erifie les propri´ et´ es ´ equivalentes de la propo- sition 4.8.

Par exemple si A est un corps, un ´ el´ ement de K est entier sur A si et seulement s’il est alg´ ebrique sur A.

Corollaire 4.9. L’ensemble des ´ el´ ements de K entiers sur A est un sous-anneau de K.

D´ emonstration. Si α et β sont des ´ el´ ements de K entiers sur A, alors l’anneau A[α, β] est un sous- A-module de type fini de K (un syst` eme g´ en´ erateur fini est form´ e d’´ el´ ements α ⁱ β ^j ), donc tous ses

´ el´ ements sont entiers sur A.

D´ efinition. L’ensemble des ´ el´ ements de K qui sont entiers sur A est appel´ e la fermeture int´ egrale de A dans K.

De la proposition 4.8 on d´ eduit que la relation d’int´ egralit´ e est transitive :

Corollaire 4.10. Soient K un corps, A un sous-anneau de K, A 0 la fermeture int´ egrale de A dans K et B un sous-anneau de A 0 contenant A. Alors la fermeture int´ egrale de B dans K est A 0 .

D´ emonstration. Soit B 0 la fermeture int´ egrale de B dans K. Un ´ el´ ement de A 0 est entier sur A,

donc sur B, et par cons´ equent appartient ` a B 0 . Pour voir l’inclusion dans l’autre sens, on consid` ere

un ´ el´ ement x de B 0 , il est entier sur B, donc racine d’un polynˆ ome unitaire ` a coefficients dans

B. Soient b 1 , . . . , b m les coefficients de ce polynˆ ome ; le sous–anneau A[b 1 , . . . , b m ] de B est un

A–module de type fini, il en est de mˆ eme de A[b 1 , . . . , b m , x], donc par la proposition 4.8 on en

d´ eduit que x est entier sur A, ce qui montre B 0 ⊂ A 0 .

D´ efinition. La clˆ oture int´ egrale d’un anneau est la fermeture int´ egrale de cet anneau dans son corps des fractions.

La clˆ oture int´ egrale de A est un anneau qui contient A et qui est contenu dans la fermeture int´ egrale de A dans K, pour tout corps K contenant A.

D´ efinition. Un anneau est dit int´ egralement clos s’il est ´ egal ` a sa clˆ oture int´ egrale.

Un anneau factoriel est int´ egralement clos : en effet, si A est un anneau factoriel de corps des fractions K et si α ∈ K est racine d’un polynˆ ome unitaire ` a coefficients dans A :

α ⁿ + a ₁ α ⁿ⁻¹ + · · · + a _n = 0,

on ´ ecrit α = p/q avec p et q dans A sans facteurs irr´ eductibles communs et de la relation p ⁿ + a ₁ p ⁿ⁻¹ q + · · · + a _n q ⁿ = 0

on d´ eduit que q divise p, donc que q est inversible et α ∈ A.

En particulier un anneau principal est int´ egralement clos. On en d´ eduit par exemple qu’un nombre rationnel qui est entier sur Z est dans Z.

L’anneau Z[2i] = Z + 2iZ n’est pas int´ egralement clos, puisque son corps des fractions Q(i) contient i, qui est racine du polynˆ ome X ² + 1, donc est entier sur Z[2i], mais n’appartient pas ` a Z[2i].

D´ efinition. On appelle nombre alg´ ebrique tout nombre complexe qui est alg´ ebrique sur Q et entier alg´ ebrique tout nombre complexe qui est entier sur Z.

Si α est un nombre alg´ ebrique, dont le polynˆ ome irr´ eductible sur Q est X ⁿ + a ₁ X ⁿ⁻¹ + · · · + a _n ∈ Q[X ],

l’unique polynˆ ome irr´ eductible de Z[X ] qui s’annule au point α et dont le coefficient directeur soit positif est

dX ⁿ + da 1 X ⁿ⁻¹ + · · · + da n ∈ Z[X], (4.11) o` u d est le plus petit commun multiple des d´ enominateurs des nombres a 1 , . . . , a n . Nous appellerons ce polynˆ ome (4.11) le polynˆ ome minimal de α sur Z.

Si α est un entier alg´ ebrique, alors les valeurs propres de [α] sont des entiers alg´ ebriques, donc le polynˆ ome caract´ eristique de α sur Z est ` a coefficients dans Z ; en particulier N _K/Q (α) et Tr _K/Q (α) sont dans Z.

Le lemme de Gauss 2.24 montre que pour un nombre alg´ ebrique α les conditions suivantes sont

´ equivalentes :

(i) α est entier (sur Z)

(ii) Le polynˆ ome minimal de α sur Z est unitaire.

(iii) Le polynˆ ome irr´ eductible de α sur Q a ses coefficients dans Z.

(iv) Le polynˆ ome minimal de α sur Z co¨ıncide avec son polynˆ ome irr´ eductible sur Q.

Quand on parle du polynˆ ome irr´ eductible ou du polynˆ ome minimal d’un nombre alg´ ebrique, on omet souvent de pr´ eciser “sur Q” et “sur Z” respectivement.

Le corollaire 4.9 montre que les entiers alg´ ebriques forment un sous-anneau de C, dont le corps

des fractions est le corps Q des nombres alg´ ebriques. Si α est un nombre alg´ ebrique, l’ensemble des

entiers d ∈ Z tels que dα soit entier alg´ ebrique est un id´ eal non nul de Z : il contient le coefficient directeur du polynˆ ome minimal de α sur Z.

On appelle corps de nombres une extension finie de Q. D’apr` es le th´ eor` eme de l’´ el´ ement primitif 2.21, un corps de nombres est un sous-corps de C de la forme Q(α) avec α nombre alg´ ebrique. Le degr´ e d’un corps de nombres est son degr´ e sur Q. Un corps quadratique est une extension de Q de degr´ e 2, un corps cubique une extension de Q de degr´ e 3, un corps biquadratique une extension de degr´ e 4. . .

L’anneau des entiers d’un corps de nombres K est l’intersection de K avec l’anneau des entiers alg´ ebriques. On le notera Z _K . Le corps des fractions de Z _K est K et Z _K est un anneau int´ egralement clos (cf. Corollaire 4.10).

Les ´ el´ ements inversibles (unit´ es) de l’anneau Z K forment un groupe multiplicatif Z ^× _K ; ce sont les ´ el´ ements de Z K de norme ±1.

Quand K est un corps de nombres, on utilise des expressions comme “unit´ es de K”, “id´ eaux de K”, “discriminant de K” pour parler des unit´ es, des id´ eaux ou du discriminant de l’anneau des entiers de K.

D´ efinition. Soit α un nombre alg´ ebrique. On appelle norme absolue de α (resp. trace absolue de α) la norme (resp. la trace) N Q(α)/Q (α) (resp. Tr Q(α)/Q (α)). On les note respectivement N(α) et Tr(α).

Du lemme 4.2 on d´ eduit que si α est un nombre alg´ ebrique dont le polynˆ ome irr´ eductible sur Q est

P(X ) = X ^d + a ₁ X ^d−1 + · · · + a _d ∈ Q[X], alors

N(α) = (−1) ^d a _d et Tr(α) = −a ₁ .

Plus g´ en´ eralement, si K est un corps de nombres de degr´ e n sur Q, α un ´ el´ ement de K, d le degr´ e de α sur Q et α 1 , . . . , α d les conjugu´ es de α dans C, alors

N _K/Q (α) = (α 1 · · · α d ) ^n/d et Tr _K/Q (α) = n

d (α 1 + · · · + α d ).

Soit k un corps quadratique. Il existe un entier d ∈ Z sans facteur carr´ e tel que k = Q( √ d).

Soit α un ´ el´ ement de k, alors α est racine du polynˆ ome X ² − X Tr _k/Q (α) + N _k/Q (α), donc α est entier si et seulement si Tr _k/Q (α) et N _k/Q (α) sont dans Z.

Soit α = x + y √

d ∈ k, avec x et y dans Q. On a Tr _k/Q (α) = 2x et N _k/Q (α) = x ² − dy ² . Si α est entier, alors les nombres a = 2x et b = x ² − dy ² sont dans Z. Comme d n’est pas divisible par 4, le nombre c = 2y est aussi dans Z. Alors de la relation a ² − dc ² = 4b on d´ eduit que soit a et c sont pairs, soit a et c sont impairs et dans ce dernier cas d ≡ 1 (mod 4). Par cons´ equent l’anneau Z k des entiers de k est

Z _k =







Z + Z √

d si d ≡ 2 ou 3 (mod 4) Z + Z 1 + √

d

2 si d ≡ 1 (mod 4).

Ainsi Z k = Z + Zα o` u α est une des deux racines du polynˆ ome X ² − d si d ≡ 2 ou 3 (mod 4), et

l’une des deux racines du polynˆ ome X ² − X − (d − 1)/2 si d ≡ 1 (mod 4).

Le discriminant D k de k est le discriminant D Z

de l’anneau des entiers de k :

D k =



 

 

 



 

 

 

 det

2 0 0 2d

= 4d si d ≡ 2 ou 3 (mod 4)

det

2 1

1 (1 + d)/2

= d si d ≡ 1 (mod 4).

Ainsi le discriminant est toujours congru ` a 0 ou 1 modulo 4 et le corps quadratique s’´ ecrit aussi k = Q( p

D k ).

Le groupe des racines de l’unit´ es d’un corps de nombres quadratique k est {1, i, −1, −i} si k a pour discriminant −4 — c’est-` a-dire k = Q(i)—, c’est {1, %, % <sup>2</sup> , −1, −%, −% <sup>2</sup> } si k a pour discriminant −3, o` u % est une racine primitive cubique de l’unit´ e (c’est-` a-dire pour k = Q( √

−3)) enfin les seules racines de l’unit´ e dans Z _k sont {±1} sinon.

Quand d est n´ egatif, il est facile de v´ erifier que le groupe des unit´ es du corps k = Q( √ d) est fini : il est compos´ e des racines de l’unit´ e. Nous verrons au § 4.4 que pour d > 0 le groupe Z ^× _k des unit´ es de Z _k est un Z-module de rang 1.

Proposition 4.12. Soit K un corps de nombres de degr´ e n. Alors l’anneau des entiers Z K de K est un Z-module libre de rang n.

D´ emonstration. La conclusion signifie qu’il existe n ´ el´ ements e 1 , . . . , e n de Z K , lin´ eairement ind´ ependants sur Q, tels que

Z K = Ze 1 + · · · + Ze n .

Soit f ₁ , . . . , f _n une base de K sur Q form´ ee d’´ el´ ements de Z _K (partant d’une base quelconque il suffit de multiplier par un d´ enominateur pour obtenir une telle base).

La forme bilin´ eaire (x, y) 7→ Tr _K/Q (xy) ´ etant non d´ eg´ en´ er´ ee (lemme 4.2), il existe une base f ₁ ^∗ , . . . , f _n ^∗ de K sur Q telle que Tr _K/Q (f _i f _j ^∗ ) = δ _ij (symbole de Kronecker). Soit a ∈ Z, a > 0 tel que af _j ^∗ soit entier alg´ ebrique pour 1 ≤ j ≤ d.

Pour x ∈ K on ´ ecrit

x = x 1 f 1 + · · · + x d f d

avec x 1 , . . . , x d dans Q et on a Tr K/Q (xf _j ^∗ ) = x j . Maintenant si x ∈ Z K on a xaf _j ^∗ ∈ Z K , donc Tr _K/Q (xaf _j ^∗ ) = ax _j ∈ Z. On en d´ eduit

Zf 1 + · · · + Zf d ⊂ Z K ⊂ 1

a Zf 1 + · · · + Zf d .

Pour conclure on utilise alors les r´ esultats du §4.3 suivant sur la structure des modules sur un anneau principal (proposition 4.15).

Il r´ esulte de la Proposition 4.12 que tout id´ eal de Z K est un Z–module libre de rang n. Une base de Z K comme Z–module est une base d’entiers de K, son discriminant ne d´ epend pas de la base, c’est le discriminant du corps de nombres K.

Soient k un corps de nombres et n son degr´ e. D’apr` es le th´ eor` eme de l’´ el´ ement primitif 2.21, il

existe α ∈ k tel que k = Q(α). On d´ ecompose le polynˆ ome irr´ eductible P ∈ Q[X] de α dans R[X ] :

soient r 1 le nombre de facteurs irr´ eductibles de degr´ e 1 et r 2 le nombre de facteurs irr´ eductibles de degr´ e 2. Ainsi r 1 + 2r 2 = n. Notons α 1 , . . . , α r

les racines r´ eelles de P :

P (X) =

r

Y

i=1

(X − α j )

r

+r

Y

j=r

+1

(X ² + b j X + c j ).

Pour r 1 + 1 ≤ j ≤ r 1 + r 2 le polynˆ ome X ² + b j X + c j a deux racines complexes conjugu´ ees, que l’on note α j et α r

+j = α j . Ainsi la d´ ecomposition de P en facteurs irr´ eductibles dans C est

P(X ) =

n

Y

i=1

(X − α _j ).

Il y a n Q-isomorphismes σ ₁ , . . . , σ _n de k dans C, qui sont d´ etermin´ es respectivement par σ _j (α) = α _j (1 ≤ j ≤ n).

Pour 1 ≤ j ≤ r ₁ l’image σ _j (k) de k par σ _j est dans R, tandis que σ _r

_+j et σ _r

_+r

_+j sont complexes conjugu´ es pour 1 ≤ j ≤ r ₂ . L’ensemble {σ ₁ , . . . , σ _r

} des plongements r´ eels et celui {σ _r

₊₁ , . . . , σ _r

_+2r

} des plongements non r´ eels ne d´ ependent pas du choix de l’´ el´ ement primitif α.

Le plongement canonique de k est l’application Q-lin´ eaire injective σ : k → R ^r

× C ^r

d´ efinie par σ(x) = σ 1 (x), . . . , σ r

+r

(x)

.

Le seul choix qui ne soit pas intrins` eque est celui entre un plongement non r´ eel et son conjugu´ e.

On identifie C ` a R ² par z = <(z) + i=(z) et on note encore σ l’application Q-lin´ eaire de k dans R ⁿ qui envoie x ∈ k sur

σ 1 (x), . . . , σ r

(x), < σ r

+1 (x)

, = σ r

+1 (x)

, . . . , < σ r

+r

(x)

, = σ r

+r

(x) . Le couple (r 1 , r 2 ) est la signature du corps de nombres k. Le degr´ e de k est alors r 1 + 2r 2 . Lemme 4.13. Le signe du discriminant absolu d’un corps de nombres k de signature (r ₁ , r ₂ ) est (−1) ^r

.

D´ emonstration. . Dans le d´ eveloppement du d´ eterminant de la matrice des σ _i (α _j ) (cf. proposition 4.7), les nombres r´ eels on des carr´ es positifs, les nombres imaginaires purs ont des carr´ es n´ egatifs et il y en a r ₂ . Voir [C], Prop. 4.8.11.

Exercice. Soit T un polynˆ ome unitaire irr´ eductible de degr´ e n de Z[X] et K = Q(θ). On d´ esigne par D(T ) le discriminant de T et par D K celui du corps de nombres K.

a) Montrer que le discriminant de 1, θ, . . . , θ ⁿ⁻¹ est D(T ).

b) Soit f l’indice de Z[θ] dans Z K . V´ erifier D(T ) = D K f ² . R´ ef´ erence : [C], § 4.4.

Une famille (α 1 , . . . , α n ) de n ´ el´ ements dans un corps de nombres de degr´ e n est une base d’entiers de K si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

(i) Les α i sont entiers

(ii) Le discriminant D(α 1 , . . . , α n ) est ´ egal au discriminant de K.

Exercice. Montrer que le discriminant d’un corps de nombres est congru ` a 0 ou 1 modulo 4 Indication : en utilisant la proposition 4.7 d´ evelopper le d´ eterminant de la matrice des σ i (α j ) et regrouper les termes de signature paire et ceux de signature impaire pour ´ ecrire le discriminant sous la forme (P − N) ² = (P + N ) ² − 4P N et v´ erifier que P + N et P N sont des entiers.

En d´ eduire que si T est un polynˆ ome unitaire irr´ eductible dans Z[X ] de discriminant D qui est soit sans facteur carr´ e et congru ` a 1 modulo 4, soit de la forme 4d avec d sans facteur carr´ e et congru

`

a 1 modulo 4, si θ est une racine de T dans une extension de Q, alors (1, θ, . . . , θ ⁿ⁻¹ ) est une base d’entiers de Q(θ).

4.3 Structure des modules sur les anneaux principaux

Dans la d´ emonstration de la Proposition 4.12, nous avons utilis´ e un th´ eor` eme sur la structure des sous-modules d’un module libre de type fini sur un anneau principal. En voici l’´ enonc´ e.

Quand A est un anneau (int` egre, rappelons-le) et M un A-module, on d´ efinit le rang de M comme le nombre maximal (≤ ∞) d’´ el´ ements de M lin´ eairement ind´ ependants sur A. Si K est le corps des fractions de A, et si M est un A-module libre, il poss` ede une base, et on peut plonger M dans un K-espace vectoriel V . Le rang de M est donc le nombre d’´ el´ ements d’une base de M comme A-module, et plus g´ en´ eralement le rang d’un sous-module N de M est la dimension du K-espace vectoriel engendr´ e par N dans V .

Proposition 4.14. (Modules sur les anneaux principaux.) Soit A un anneau principal, soit M un A-module libre de rang m et soit N un sous-A-module de M . Alors N est libre de rang n ≤ m. De plus il existe une base {e 1 , . . . , e m } de M comme A-module et des ´ el´ ements a 1 , . . . , a n de A tels que {a 1 e 1 , . . . , a n e n } soit une base de N sur A et que a i divise a i+1 dans A pour 1 ≤ i < n.

Les id´ eaux a 1 A ⊃ a 2 A ⊃ · · · ⊃ a n A de A sont appel´ es facteurs invariants du sous-A-module N de M : ils ne d´ ependent pas de la base (a 1 , . . . , e n ) de M v´ erifiant les conditions de la proposition 4.15.

D´ emonstration. Voir [S] § 1.5.

R´ ef´ erences :

[C] H. Cohen. A course in computational algebraic number theory, Graduate texts in Math. 138, Springer Verlag (1993),

[S] P. Samuel, Th´ eorie alg´ ebrique des nombres, Hermann, Collection M´ ethodes, 1967.