Il faut d’autres arguments pour ´etudier l’approximation par des nombres alg´ebriques

Congr`es International sur l’Alg`ebre, la Th´eorie des Nombres et leurs applications

Oujda, 11-14 Mai 2006

http ://www.iro.umontreal.ca/∼azizi/CIATNA2006/

Approximation diophantienne et applications

Michel Waldschmidt

Institut de Math´ematiques de Jussieu+CIMPA http ://www.math.jussieu.fr/∼miw/

12 Mai 2006

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Approximation diophantienne et applications Michel Waldschmidt

Congr`es International sur l’Alg`ebre, la Th´eorie des Nombres et leurs applications

Oujda, 11-14 Mai 2006

http ://www.iro.umontreal.ca/∼azizi/CIATNA2006/

1 Approximation Diophantienne dans la vie courante 2 Nombres de Liouville et syst`emes dynamiques 3 Probl`eme de Mahler et informatique th´eorique 4 Conjecture de Schanuel et probl`eme des trois corps

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R´esum´e

De nombreux ph´enom`enes de la vie courante font intervenir des approximations diophantiennes. D`es qu’un ph´enom`ene est p´eriodique, il conduit `a des questions arithm´etiques sur le tore.

Les fractions continues constituent l’outil le mieux adapt´e `a l’´etude de l’approximation d’un nombre r´eel par des nombres rationnels.

Il faut d’autres arguments pour ´etudier l’approximation par des nombres alg´ebriques. Les premiers sont apparus dans le m´emoire fondateur de Liouville en 1844, o`u il ´etablit une propri´et´e d’approximation rationnelle des nombres alg´ebriques qui lui permet de construire les premiers exemples de nombres transcendants.

La th´eorie connaˆıt actuellement d’int´eressants d´eveloppements, il reste cependant beaucoup de questions ouvertes. Nous ferons un tour du sujet sans pr´etendre ˆetre exhaustif. Nous mettrons l’accent sur les applications.

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Approximation Diophantienne dans la vie courante

• M´ecanique c´eleste :

P´eriodes des orbites de Saturne (Divisions de Cassini) Stabilit´e du syst`eme solaire

Syst`emes plan´etaires ; questions de r´esonance en astronomie.

• Petits diviseurs et syst`emes dynamiques (H. Poincar´e)

• Engrenages

• Calendriers : ann´ees bissextiles

• Ph´enom`enes presque p´eriodiques. Quasi-cristaux

• Acoustique des salles de concert

• Transmission de donn´ees. Radars

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Number Theory in Science and communication

M.R. Schroeder.

Number theory in science and communication: with applications in cryptography, physics, digital information, computing and self similarity

Springer series in information sciences71986.

4th ed. (2006) 367 p.

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Number Theory in Science and communication par M.R. Schroeder

Number Theory in Science and Communicationis a well-known introduction for non-mathematicians to this fascinating and useful branch of applied mathematics . It stresses intuitive understanding rather than abstract theory and highlights important concepts such as continued fractions, the golden ratio, quadratic residues and Chinese remainders, trapdoor functions, pseudoprimes and primitive elements.

Their applications to problems in the real world are one of the main themes of the book.This revised fourth edition is augmented by recent advances in primes in progressions, twin primes, prime triplets, prime quadruplets and quintruplets, factoring with elliptic curves, quantum factoring, Golomb rulers and “baroque” integers.

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Acoustique des salles de concert, d’apr`es M.R. Schroeder

Eigenfrequenzstatistik und Angerungsstatistik in R¨aumen, Acustica4(1954), 45–68.

• Entiers qui sont sommes de trois cubes.

• Transform´ee de Fourier discr`ete.

• R´esidus quadratiques, racines primitives.

• Mesure des r´eponses acoustiques dans des salles de concert pleines.

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Fractions continues

Soitx∈R.

• On ´ecrit

x= [x] +{x} avec[x]∈Zet0≤{x}<1.

• Sixn’est pas entier, alors{x}$= 0et on pose x1= 1/{x}, de sorte que

x= [x] + 1 x1

avec[x]∈Zetx1>1.

• Six1n’est pas entier, on posex2= 1/{x1}:

x= [x] + 1 [x1] + 1

x2

avecx2>1.

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Fractions continues (suite)

On posea0= [x]etai= [xi]pouri≥1.

• En poursuivant on obtient ainsi l’´ecriture

x= [x] + 1

[x1] + 1 [x2] + 1

. ..

=a0+ 1

a1+ 1

a2+ 1 . ..

avec un d´eveloppement fini si et seulement sixest rationnel.

• On ´ecrit ce d´eveloppement

x= [a0; a1, a2, a3. . .]

• Remarque : siak≥2, alors

[a0;a1, a2, a3, . . . , ak] = [a0;a1, a2, a3, . . . , ak−1,1].

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Fractions continues (exemples)

• Les d´eveloppements

[1], [2], [1; 2], [1; 1,2], [1; 1,1,2], [1; 1,1,1,2]. . . sont ceux des quotients

F2/F1 F3/F2 F4/F3 F5/F4 F6/F5 F7/F6

% % % % % % . . .

1 2 3/2 5/3 8/5 13/8

des nombres de Fibonacci cons´ecutifs

(Fn)_n≥0= 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, . . .

• Le d´eveloppement[1; 1,1,1,1. . .]est celui du nombre d’or Φ=1 +√5

2 = lim

n→∞

Fn+1

Fn

= 1,6180339887499. . . qui v´erifie

Φ= 1 +1 Φ·

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Fractions continues (autres exemples)

• La fraction continue de√

2 = 1,4142135623731. . .est

√2 = [1; 2,2,2, 2, 2, . . .]

car √

2 = 1 + 1

√2 + 1·

• La fraction continue dee= 2,718281828459. . .est e= [2; 1, 2, 1,1,4,1, 1, 6, 1,1,8,1, 1, 10, 1. . .]

• Celle deπ= 3,1415926535898. . .s’´ecrit

π= [3; 7, 15, 1, 292,1, 1, 1,2,1,3,1, 14, 2, 1, 1. . .]

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Approximation rationnelle delog₂3

• Le logarithme en base2de3:

log₂3 = (log 3)/log 2 = 1,58496250072. . . est lasolutionxde l’´equation2^x= 3

• Les approximations rationnellesa/bdelog₂3 correspondent `a des puissances de2proches de puissances de3:

log₂3)a/b, 2^a)3^b.

• Le d´eveloppement en fraction continue log₂3 = [1; 1,1,2,2,3,1,5, . . .] fournit des valeurs num´eriques qui jouent un rˆole important dans les gammes musicales.

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Approximations de log₂3 = 1,58496250072. . .

•

[1; 1,1] = [1; 2] =3 2= 1,5 3²= 9, 2³= 8, (3/2)²= 2,25)2 deux quintes font un peu plus qu’un octave.

•

[1; 1,1,2] = 1 + 1 1 + 1

1 +1 2

=8 5= 1,6

3⁵= 243, 2⁸= 256, (3/2)⁵= 7,59375)2³= 8 cinq quintes font presque trois octaves.

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Approximation delog₂3 = [1; 1,1,2,2,3,1,5, . . .]

•

[1; 1,1,2,2] = 1 + 1

1 + 1

1 + 1 2 +1

2

=19 12

3¹²= 531 441, 2¹⁹= 524 288, (3/2)¹²= 129,463· · ·)2⁷= 128.

Douze quintes font `a peine plus que sept octaves.

• Comma de Pythagore : 3¹²

2¹⁹ = 1,01364. . .

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Math´ematiques et musique

G. Assayag, H.G. Feichtinger, J.F. Rodrigues (Ed.), Mathematics and musics,

A Diderot Mathematical Forum.

Springer 2002.

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Approximation delog₂5 = 2,32192809488. . .

log₂5 = (log 5)/log 2 = [2; 3,9,2,2,4,6. . .] [2; 3] = 7/3 = 2,333. . . , 5³= 125, 2⁷= 128

• Trois tierces majeures couvrent presque une octave : (5/4)³= 1,953125)2.

• Autre cons´equence : 2¹⁰= 1024)10³

• Informatique :kilo octets

• Acoustique :multiplier l’intensit´e par10, c’est ajouter10 d´ecibels.

•Multiplier l’intensit´e park, c’est ajouterdd´ecibels avec 10^d=k¹⁰

•Comme10³)2¹⁰, doubler l’intensit´e, c’est (`a peu pr`es) ajouter3d´ecibels.

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Suites de Farey

• La suite de Farey d’indicenest la suite finie croissante des fractionsa/bavec0≤a < b≤net(a, b) = 1.

• Par exemple la suite de Farey d’indice6est 0

1, 1 6, 1

5, 1 4, 1

3, 2 5, 1

2, 3 5, 2

3, 3 4, 4

5, 5 6·

• Exemple d’application : si on veut approcherπpar un nombre rationnel dont le d´enominateur est≤6, la fraction continueπ= [3; 7,15,1,292. . .]ne donne que l’approximation3, alors que l’´el´ement1/6de la suite de Farey d’indice6le plus proche deπ−3fournit l’approximation3 + (1/6) = 19/6 = 3,166. . .qui est meilleure.

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Approximation diophantienne

Une des applications les plus classiques de la th´eorie des fractions continues et des suites de Farey concerne l’approximation diophantienne de nombres r´eels par des nombres rationnels.

Soitξun nombre r´eel.

• Le principe des tiroirs de Dirichlet permet de montrer que pour tout nombre r´eelQ >1existep/q∈Qavec 1≤q < Qv´erifiant

!!

!!ξ−p q

!!

!!< 1 qQ·

• Il en r´esulte que siξest irrationnel, alors il existe une infinit´e dep/q∈Qv´erifiant

!!

!!ξ−p q

!!

!!< 1 q²·

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Fractions continues, suites de Farey et approximation diophantienne

• La th´eorie des fractions continues aussi bien que celle des suites de Farey permet de d´emontrer (th´eor`eme de A. Hurwitz) que siξest un nombre r´eel irrationnel, alors il existe une infinit´e dep/q∈Qv´erifiant

!!

!!ξ−p q

!!

!!< 1

√5q²·

• Le nombre d’orΦmontre que le th´eor`eme de Hurwitz est optimal.

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Probl`eme de Brahmagupta (628)

• Brahmasphutasiddhanta: r´esoudre en entier l’´equation x²−92y²= 1

• Si(x, y)est une solution, alors (x−√

92y)(x+√

92y) = 1, doncx/yest une bonne approximation rationnelle de√

92 = 9,591663046625. . ..

• Le d´eveloppement en fractions continues de√ 92est

√92 = [9; 1, 1,2,4,2,1, 1, 18]

r´ef´erence :http ://wims.unice.fr/wims/

• La th´eorie pr´edit qu’une solution est obtenue `a partir du nombre rationnel

[9; 1,1,2,4, 2, 1, 1] =1151 120.

• En effet1151²−92·120²= 1 324 801−1 324 800 = 1.

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Bhaskara II (12`e si`ecle)

• Lilavati

• (Bijaganita, 1150)x²−61y²= 1

• x= 1 766 319 049,y= 226 153 980.

M´ethode cyclique (Chakravala) de Brahmagupta.

• √

61 = [7; 1, 4,3,1,2,2, 1, 3,4,1,14]

[7; 1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14,1,4,3,1,2,2,1,3,5] =1 766 319 049 226 153 980

• [7; 1,4,3,1,2,2,1,3,5] =29 718 3 805

• 29 718²= 883 159 524, 61·3805²= 883 159 525 solution dex²−61y²=−1.

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Narayana (14`e si`ecle)

• Narayana cows (Tom Johnson)

• x²−103y²= 1 x= 227 528,y= 22 419.

227 528²−103·22 419²= 51 768 990 784−51 768 990 783 = 1.

• √

103 = [10; 6, 1,2,1,1,9, 1, 1,2,1,6,20]

• [10; 6,1,2, 1, 1,9,1,1,2, 1, 6] =227 528 22 419

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R´ef´erence sur l’histoire de la th´eorie des nombres

Andr´e Weil Number theory. :

An approach through history. From Hammurapi to Legendre.

Birkh¨auser Boston, Inc., Boston, Mass., (1984) 375 pp.

MR 85c :01004

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R´eseaux ´electriques et fractions continues

La r´esistanceUdu circuit

◦−−→•#−−→^1/SR•



#^1/T

◦−−→•−−→• est donn´ee par

1

U = 1

S+ 1

R+1 T

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R´eseaux ´electriques, fractions continues et d´ecomposition d’un carr´e en carr´es

• La r´esistance d’un r´eseau en ´echelle est donn´ee par un d´eveloppement en fractions continues :

[R0;S1, R1, S2, R2. . .] pour le circuit

◦−−→^R0•#−−→^1/SR11•−−→^R2• · · ·



#^1/S2

◦−−→•−−→•−−→• · · ·

Ri: r´esistances en s´eries

1/Sj: r´esistances en parall`ele

• Par exemple les r´eseaux avecRi=Sj= 1auront pour r´esistance les nombres de Fibonacci.

• Les r´eseaux ´electriques et les fractions continues ont permis de donner la premi`ere solution au probl`eme de d´ecomposer un carr´e entier en carr´es entiers distincts.

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Solution de la quadrature du carr´e

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Le th´eor`eme d’approximation diophantienne de Liouville

Th´eor`eme(Liouville, 1844).

Soitαun nombre r´eel alg´ebrique. Il existe une constante κ>0telle que, pour tout nombre rationnelp/qdistinct deα avecq≥2, on ait !!!!α−p

q

!!

!!≥ 1 q^κ·

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Existence et construction de nombres transcendants

Corollaire.

Soitξun nombre r´eel. Supposons que pour toutκ>0il existe un nombre rationnelp/qavecq≥2tel que

0<

!!

!!ξ−p q

!!

!!< 1 q^κ· Alorsξest transcendant.

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Nombres de Liouville

• D´efinition : unnombre de Liouvilleest un nombre r´eel tel que pour toutκ>0il existe un nombre rationnelp/q avecq≥2satisfaisant

0<

!!

!!ξ−p q

!!

!!< 1 q^κ·

• Un nombre r´eel irrationnel qui n’est pas de Liouville est appel´ediophantien(par les sp´ecialistes de syst`emes dynamiques). On dit aussi qu’ilv´erifie une condition diophantienne: il existeκ≥2etC >0tels que

!!

!!ξ−p q

!!

!!≥C q^κ·

• J.C. Yoccoz :Conjugaison diff´erentiable des

diff´eomorphismes du cercle dont le nombre de rotation v´erifie une condition diophantienne. Ann. scient. ´Ec.

Norm. Sup. 4^`es´erie, t.17(1984), 333-359.

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Diff´eomorphismes du cercle : nombre de rotation

• Un diff´eomorphisme du cercleT¹=R/Zpeut ˆetre vu comme une application diff´erentiablef:R→Rtelle que f−IdRsoitZ–p´eriodique.

• Lenombre de rotationdefest

%(f) = lim

n→∞

1 n

$fⁿ(x)−x%

o`uf<sup>n</sup>est len-i`eme it´er´e def.

• %(f)est rationnel si et seulement sifadmet une orbite p´eriodique.

• fest topologiquement conjugu´e `a la rotation d’anglep/q si et seulement sif^qest la rotation d’anglep

• %(f) =p/qsi et seulement sif^q−IdR−pa un z´ero sur R.

• H. Poincar´e (1885) :M´ecanique c´eleste, syst`emes dynamiques.

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Diff´eomorphismes du cercle : historique

• A. Denjoy (1932) :construction de diff´eomorphismes de classeC¹de nombre de rotationαqui ne soient pas conjugu´es `a la rotationRα.

• V.I. Arnold (1961) :construction de diff´eomorphismes analytiques de nombre de rotation irrationnel pour lesquels la conjugaison n’est pas absolument continue : la perte de r´egularit´e est due auxpetits d´enominateurs.

• M. Hermann (1978) : Proc. ICM Helsinki+1979 Publ.

IH´ES : lien avec la condition diophantienne.

• J-C. Yoccoz (1983) :Si le nombre de rotation d’un diff´eomorphisme du cerclefde classeC^∞satisfait une condition diophantienne,fest conjugu´e `a une rotation.

Le r´esultat est optimal pour la conjugaisonC^∞.

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Raffinements du th´eor`eme de Liouville

• Liouville (1844): siαest un nombre alg´ebrique de degr´e d, alors pour tout nombre rationnelp/q$=α, on a

!!

!!α−p q

!!

!!≥c(α) q^d ·

• Thue (1909): remplacec(α)/q^dparc(α,&)/q^κo`u κ= (d/2) + 1 +&.

• Siegel (1921):κ= 2√ d+&.

• Gel’fond et Dyson (1947):κ=√ 2d+&.

• Roth (1954):κ= 2 +&.

• Schmidt (1970): th´eor`eme du sous-espace.

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Le th´eor`eme du sous-espace de W.M. Schmidt (´enonc´etr`es simplifi´e)

Pourx= (x0, . . . , xm−1)∈Z^m, on pose

|x|= max{|x0|, . . . ,|xm−1|}.

Th´eor`eme(W.M. Schmidt – 1970).

Soitm≥2. SoitL0, . . . , L_m−1un ensemble demformes lin´eaires ind´ependantes enmvariables `a coefficients complexes alg´ebriques. Soit&>0. Alors l’ensemble

{x= (x0, . . . , xm−1)∈Z^m; |L0(x)· · ·Lm−1(x)|≤|x|^−#} est contenu dans la r´eunion d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels propres deQ^m.

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Une cons´equence du th´eor`eme du sous-espace de Schmidt

Corollaire(Thue-Siegel-Roth).

Pour tout nombre alg´ebriqueα, pour tout&>0, l’ensemble desp/q∈Qsatisfaisant|α−p/q|≤q^−2−#est fini.

• D´emonstration.

Prendre dans le th´eor`eme du sous-espace de Schmidt m= 2,L0(x0, x1) =x0,L1(x0, x1) =αx0−x1. La condition

|L0(x)L1(x)|≤|x|^−#

correspond `a

q|qα−p|≤q^−#.

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Le th´eor`eme du sous-espace de W.M. Schmidt (´enonc´e simplifi´e)

Th´eor`eme(W.M. Schmidt – 1970).

Soientm≥2un entier positif,Sun ensemble fini de places deQcontenant la place `a l’infini. Pour chaquev∈Ssoit L0,v, . . . , Lm−1,vun syst`eme demformes lin´eaires

ind´ependantes enmvariables `a coefficients alg´ebriques dans le compl´et´e deQenv. Soit&>0. Alors l’ensemble des x= (x0, . . . , x_m−1)∈Z^mpour lesquels

&

v∈S

|L0,v(x)· · ·L_m−1,v(x)|v≤|x|^−#

est contenu dans la r´eunion d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels propres deQ^m.

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Th´eor`eme de Ridout Corollaire(Ridout).

Pour tout nombre alg´ebriqueα, pour tout&>0, l’ensemble desp/q∈Qavecq= 2^ket|α−p/q|< q^−1−#est fini.

• D´emonstration.

Dans le th´eor`eme du sous-espace de Schmidt, prendrem= 2, S={∞, 2},

L0,∞(x0, x1) =L0,2(x0, x1) =x0,

L_1,∞(x0, x1) =αx0−x1, L1,2(x0, x1) =x1. Pour(x0, x1) = (q, p)avecq= 2^k, on a

|L_0,∞(x0, x1)|∞=q, |L_1,∞(x0, x1)|∞=|qα−p|,

|L0,2(x0, x1)|2=q⁻¹, |L1,2(x0, x1)|2=|p|2≤1.

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Transcendance delogαete^β

Th´eor`eme(Hermite–Lindemann).

• Siαest un nombre alg´ebrique non nul etlogαune d´etermination non nulle de son logarithme, alorslogαest transcendant.

• Siβest un nombre alg´ebrique non nul, alorse^βest transcendant.

• Cons´equence :Siaetbsont des entiers positifs, alors loga$=b.

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Probl`eme de Mahler (1967)

Probl`eme.

Siaetbsont des entiers positifs, a-t-on

|b−loga|> e^−cb avec une constante absoluec?

• Heuristique :on peut mˆeme esp´erer mieux :

|b−loga|> b^−c.

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R´eponses partielles au probl`eme de Mahler (1967)

• K. Mahler (1953, 1967), M. Mignotte (1974), F. Wielonsky (1997) :

|b−loga|> b^−20b

• M´ethode :les d´emonstrations reprennent les arguments de Hermite (1873) reposant sur les approximants de Pad´e, avec des raffinements et des d´eveloppements ult´erieurs.

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Extension du probl`eme de Mahler aux nombres rationnels

• Travail en commun avec Yu.V. Nesterenko (1996) : minoration de|b−loga|pouraetbnombres rationnels.

• D´emonstration :utilise les arguments de la m´ethode de Gel’fond–Schneider–Baker avec les d´eterminants d’interpolation de M. Laurent.

• Raffinement par S. Khemira (2005)

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Enonc´es Diophantiens´

Th´eor`eme(S. Khemira – 2005).

PouraetbdansQavecb$= 0, on a

|b−loga|≥exp{−1,3·10⁵(logA)(logB)} o`uA= max{H(a), A0},B= max{H(b),2}.

• La hauteur d’un nombre rationnelp/qest d´efinie par H(p/q) = max{|p|, q).

• Le nombreA0peut ˆetre explicit´e.

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Travail en commun avec Nesterenko, 1995 Th´eor`eme.

Soientαetβdeux nombres alg´ebriques non nuls etlogαune d´etermination non nulle du logarithme deα. On pose K=Q(α,β)etD= [K:Q]. SoientAetEdeux nombres r´eels positifs satisfaisantE≥eet

logA≥max$

h(α), D⁻¹logE , D⁻¹|β|E% . Alors

|β−logα|≥exp'

−105500·D²logA

$h(β) + log₊logA+ logD+ logE%$

DlogD+ logE%

·(logE)⁻²( .

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Erreurs d’arrondis en calculs num´eriques

M.R. Schroeder : l’inverse de la matrice )1 1

1 1 +&

*

est 



 1 +1

& −1

&

−1

&

1

&







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Calculer sans erreurs d’arrondis avec les op´erations

´el´ementaires

Strat´egie pour ne pas introduire d’erreurs d’arrondis dans la division : utilisation des fractions de Farey.

Un ordinateur ne connaˆıt qu’un ensemble fini de nombres, tous rationnels, disonsa/bavec(a, b) = 1et−N≤a≤N, 1≤b≤N. On choisit un entierm≥N²+ 1. On remplace chaque fractiona/bavec(b, m) = 1par l’entier modulomqui est congru `aab<sup>−1</sup>modulom, o`ub⁻¹est l’inverse debmodulo m. On abolit ainsi la division !

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Probl`emes d’arrondis en informatique pour les fonctions ´el´ementaires

Applications en informatique th´eorique : Muller, J-M. ; Tisserand, A.

Towards exact rounding of the elementary functions. Alefeld, Goetz (ed.) et al.,

Scientific computing and validated numerics.

Proceedings of the international symposium on scientific computing, computer arithmetic and validated numerics SCAN-95, Wuppertal, Germany, September 26-29, 1995.

Berlin : Akademie Verlag. Math. Res. 90, 59-71 (1996).

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Applications en informatique th´eorique

Computer Arithmetic

— Projet Ar´enaire

http ://www.ens-lyon.fr/LIP/Arenaire/

Validated scientific computing

Arithmetic, reliability, accuracy, and speed

Improvement of the available arithmetic on computers, processors, dedicated or embedded chips

Getting more accurate results or getting them more quickly Power consumption, reliability of numerical software.

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La conjecture de Schanuel Conjecture(Schanuel).

Soientx1, . . . , xndes nombres complexes lin´eairement ind´ependants surQ. Alors parmi les2nnombres

x1, . . . , xn, e^x1, . . . , e^xn,

il y en a au moinsnqui sont alg´ebriquement ind´ependants.

• Hypoth`ese : sia1x1+· · ·+anxn= 0avec desai

rationnels, alorsa1=· · ·=an= 0.

• Conclusion :1 il existey1, . . . , yndans l’ensemble x1, . . . , xn, e^x1, . . . , e^xn2

tels que, pour tout polynˆome non nulPennvariables `a coefficients rationnels, on ait P(y1, . . . , yn)$= 0.

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La conjecture de Schanuel (suite)

• Autre forme de la conclusion : le degr´e de transcendance surQdu corps

Q$

x1, . . . , xn, e^x1, . . . , e^xn% est≥n.

• Cas particuliers connus:

•Th´eor`eme de Lindemann-Weierstrasssur l’ind´ependance alg´ebrique dee^β1, . . . , e^βn

•Ind´ependancelin´eairede logarithmes sur le corps des nombres alg´ebriques (A. Baker).

• Cons´equences de la conjecture de Schanuel: ind´ependance alg´ebrique de logarithmes de nombres alg´ebriques, non annulation de r´egulateurs.

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Cons´equence de la conjecture de Schanuel Conjecture(sur l’ind´ependance alg´ebrique de logarithmes de nombres alg´ebriques).

Soientλ1, . . . ,λndes nombres complexes lin´eairement ind´ependants surQ. On supposee^λi∈Qpour1≤i≤n.

Alors les nombresλ1, . . . ,λnsont alg´ebriquement ind´ependants.

• Posonsαi=e^λi (1≤i≤n). Si on ´ecrit (abusivement) λi= logαi, l’´enonc´e dit que des logarithmes

logα1, . . . ,logαnsont alg´ebriquement ind´ependants d`es qu’ils sont lin´eairement ind´ependants.

• La conjecture de Schanuel contient bien d’autres cons´equences, comme l’ind´ependance alg´ebrique de familles de nombres telles que

e,π, log 2, logπ, e^π,2^√2, e^e,π^e, π^π, log logπ, π^ππ. . .

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Conjecture sur l’ind´ependance alg´ebrique de logarithmes de nombres alg´ebriques, d’apr`es D. Roy

Conjecture.

Soit

L=1

logα;α∈Q^×2

= exp⁻¹(Q^×)⊂C leQ-espace vectoriel des logarithmes de nombres alg´ebriques et soitV une sous-vari´et´e alg´ebrique deCⁿd´efinie sur le corps des nombres alg´ebriques. Alors

V∩Lⁿ= 3

W⊂V

W∩Lⁿ,

o`uWd´ecrit l’ensemble des sous-espaces vectoriels deCⁿ d´efinis surQet contenus dansV.

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Le probl`eme des trois corps et la conjecture de Schanuel

Lien avec le probl`eme des trois corps : Ax, James

Transcendence and differential algebraic geometry.

Actes Congr. internat. Math. 1970,1, 483-485 (1971).

Zbl 0232.14008

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Conjecture de Schanuel, d’apr`es J. Ax

SoitGle groupe alg´ebriqueGⁿ_a×Gⁿ_mproduit dencopies du groupe additifGaparncopies du groupe multiplicatifGm. On d´esigne parAle graphe de l’exponentielle

exp_G:Cⁿ→(C^×)ⁿ

c’est un sous-groupe analytique deG(C) =Cⁿ×(C^×)ⁿ. SoitV un sous-ensemble alg´ebrique deGd´efini surQde dimension inf´erieure `an. Soitp∈V∩A.

Conjecture(de Schanuel vue par Ax).

Il existe un sous-groupe alg´ebrique propreLdeCⁿtel que L×exp(L)soit un sous-groupe alg´ebrique deGcontenantp.

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