Approximation d’un probl` eme d’´ evolution

Analyse, s´eance 7 : exercices

LES SYST` EMES HYPERBOLIQUES

Objectifs

Nous ´etudions l’approximation num´erique de l’´equation hyperbolique pr´esent´ee en cours. Cet exemple nous permet de pr´esenter les principes de l’approximation des probl`emes conservatifs. Ensuite nous ´etudions les probl`emes pos´es par l’approximation d’un syst`eme conser vatif.

Approximation d’un probl` eme d’´ evolution

Mod`ele math´ematique : rappel

On reprend le probl`eme avec r = 0, et, pour ´eviter un conflit de notation, on remplace h(x) par η(x). Le probl`eme s’´ecrit abstraitement (avec x_min = 0,x_max =L, ˆu(x) =u0(x)) :







∂u

∂t =η(x)∂u

∂x u(x,0) = ˆu(x)

(1)

Comme nous l’avons vu en cours il ne faut pas poser de conditions aux limites. On cherche la solution entre 0 etT. Nous allons d´efinir une approximation de ce probl`eme par la m`ethode des diff´erences finies.

Discr´etisation Notation :

– On d´ecoupe l’intervalle [0, L] en N + 1 intervalles de pash= _N^L₊₁. – On choisit un pas de discr´etisation en temps τ.

– On pose xi =ih,ui(t) =u(xi, t).

Question 1

Dans cette question on suppose pour simplifier η(x) = C ≥ 0. Comme nous l’avons vu en cours,on peut dans ce cas poser une condition aux limites en x = L, u(L, t) = u0(t). Le

principe de la m´ethode des diff´erences finies est de calculer une approximation ui(t) de la valeur deu(x, t) au pointxi en rempla¸cant l’´equation exacte par une approximation par des diff´erences finies, il y a plusieurs choix naturels :

∂u

∂x = ui−ui−1

h

∂u

∂x = u_i+1−u_i h

∂u

∂x = u_i+1−u_i−1 2h

•Quel est l’avantage de la troisi`eme formule ? On en d´eduit trois sch´emas d’approximation : u^k+1_i −u^k_i

τ =η u^k_i −u^k_i−1 h u^k+1_i −u^k_i

τ =η u^k_i+1−u^k_i h u^k+1_i −u^k_i

τ =η u^k_i+1−u^k_i−1 2h

• En examinant la d´ependance de la valeur en (ih,(k+ 1)τ) par rapport aux donn´ees ant´erieures montrer que le premier sch´ema est absurde.

• Montrer que les deux autres sch´emas, sch´ema de Lax etsch´ema centr´e, ne sont coh´erents que si les pas v´erifient la condition C.F.L. : ^{τ η}_h ≤1.

Sous cette condition montrer que le sch´ema de Lax est stable, c’est `a dire ici qu’une pertur- bation a un effet d´ecroissant.

• Quel est l’ordre de consistance de ces deux sch´emas ?

Comment peut-on modifier le troisi`eme sch´ema pour am´eliorer la consistance ? Question 2

Avec les mˆemes hypoth`eses que dans la question pr´ec´edente nous allons construire un sch´ema en contrˆolant mieux les approximations. On suppose v´erifi´ee la condition C.F.L : ^{τ η}_h ≤ 1.

On consid`ere la droite caract´eristique passant par le point (ih,(k+ 1)τ). Elle coupe la droite t=kτ en un pointGsitu´e entre les pointsA= (ih, kτ) etB= ((i+ 1)h, kτ). On d´efinit une valeur approch´ee uG de u au point G par interpolation lin´eaire entre les valeurs u^k_i et u^k_i+1. Comme les valeurs de u(x, t) sont constantes sur les caract´eristiques on d´efinitu^k+1_i =u_G.

• Construire le sch´ema. Quel sch´ema retrouve-t-on ?

• En utilisant la mˆeme id´ee retrouver le sch´ema dit deLax Friedrich u^k+1_i − ^u

k i−1+u^k_i+1

2

τ =ηu^k_i+1−u^k_i−1 2h

Comment peut-on en suivant la mˆeme m´ethode construire un sch´ema plus pr´ecis ?

((i+1) h, k ττ)) ((i+1) h, k ττ))

((i − 1) h, k ττ))

(i h, (k+1) ττ))

X X X

X

G G A

A BB

Fig. 1 – Points de calcul et caract´eristiques Question 3

On reprend le casη(x) =a(ν−x), aveca >0, ν >0 et on supprime les conditions au bord.

On suppose que les pas v´erifient ^{τ η}_h ≤1.

• Reprendre la construction de la question pr´ec´edente pour obtenir un sch´ema pour cette

´equation.

• Reprendre la construction pour obtenir sch´ema pour l’´equation g´en´erale ´etudi´ee en cours avec σ= 0 et r 6= 0 ?

•Comment d´efinir un sch´ema pour l’´equation g´en´erale avecσ 6= 0 qui soit valable pour toutes les valeurs de σ?

Approximation de l’´ equation des ondes

Nous avons vu que l’´equation des ondes pouvaient se r´e´ecrire sous la forme d’un syst`eme hyperbolique. Une premi`ere id´ee pour construire une approximation de ce syst`eme est d’adap- ter les constructions pr´ec´edentes au cas d’un syst`eme hyperbolique en tenant compte des diff´erentes courbes caract´eristiques. Nous allons ici suivre la m´ethode directe des diff´erences finies et l’analyser `a l’aide des principes ´energ´etiques.

Question 4

Soit uune solution du probl`eme des cordes vibrantes (u(x, t) est la position d’un point xau tempst ),avec une position initiale connue et sans vitesse initiale :



























∂²u

∂t² =c²∂²u

∂x²

u(x,0) =u⁰(x) ∀x∈[0, L]

∂u

∂t(x,0) = 0 ∀x∈[0, L]

u(0, t) = ∂u

∂x(L, t) = 0 ∀t∈[0, T]

(2)

Ce sont les ´equations d’une moiti´e de corde, de longueur 2L si le probl`eme est sym´etrique, c’est peu naturel, mais c’est ici plus simple pour la suite. Notre objectif ici est de pr´esenter l’approximation num´erique d’un syst`eme hyperbolique.Voir le polycopi´e pour une m´ethode plus naturelle en ce qui concerne l’´equations des cordes vibrantes o`u l’on conserve la position u comme inconnue.

•Montrer que, si on pose v= ^∂u_∂t etw=c^∂u_∂x, le couple (v, w) est solution du probl`eme :































∂v

∂t =c∂w

∂x

∂w

∂t =c∂v

∂x

v(x,0) = 0 ∀x∈[0, L]

w(x,0) =cdu⁰

dx (x) ∀x∈[0, L]

v(0, t) =w(L, t) = 0 ∀t∈[0, T]

(3)

On retrouve la positionu `a partir de la connaissance dew par une int´egration.

•D´emontrer la propri´et´e deconservation de l’´energie totale pour le syst`eme (3) :

L

Z

0

(v²+w²)dx=C (4)

La conservation de l’´energie garantit que la solution est stable vis `a vis d’une perturbation des donn´ees.

Question 5

On d´ecoupe l’intervalle [0, L] enN + 1 intervalles de longueurh= _N+1¹ . On pose : vj(t) =v(jh, t), wj(t) =w(jh, t)

V(t) = (v1,· · ·, v_j,· · ·, v_N+1)^t

W(t) = (w0,· · ·, wj,· · ·, wN)^t

On construit une semi-dicr´etisation en espace de l’´equation (3) en utilisant la m´ethode des diff´erences finies ; on calcule une approximation en rempla¸cant dans l’equation (3) les d´eriv´ees exactes par leur approximation par diff´erences finies :

































 dv_j(t)

∂t =c w_j(t)−w_j−1(t)

h j= 1,· · ·, N + 1 dw_j(t)

∂t =cv_j+1(t)−v_j(t)

h j= 0,· · ·, N v0(t) = 0, w_N+1(t) = 0

w_j(0) = du⁰

dx (jh) v_j(0) = 0 du_j

∂t (0) = 0

(5)

• En d´eduire que le couple (V(t),W(t)) est solution d’un syst`eme diff´erentiel :

























 dV

dt =M W dW

dt =−M^tV V(0) = 0 W(0) =W⁰

(6)

o`uMest une matrice que l’on pr´ecisera etW0 = (^du_dx⁰(h), ...,^du_dx⁰(N h))^test le vecteur associ´e aux positions initiales.

Noter que nous avons discr´etis´e l’op´erateur _∂x^∂ de deux fa¸cons diff´erentes, pour obtenir une matrice antisym´etrique. Ce qui apparaˆıt comme une subtilit´e ici, mais apparaˆıtrait de fa¸con naturelle si nous avions utilis´e une formulation variationnelle.

Question 6

On introduit des notations globales : X=

µ V W

¶

, X⁰ = µ 0

W0

¶

, A=

µ 0 M

−M^t 0

¶

(7) ce qui permet de r´e´ecrire le syst`eme sous la forme :





 dX

dt =A X X(0) =X⁰

(8)

o`u la matrice A est antisym´etrique.

• V´erifier que ce syst`eme est bien conservatif comme le probl`eme initial :

<X(t),X(t)>=C

Noter l’importance d’avoir obtenu une matrice antisym´etrique. On discr´etise par rapport au temps le syst`eme diff´erentiel (8) avec le pas de tempsτ et les points de discr´etisationt_k =kτ; on utilise l’approximation au premier ordre :

dX

dt ≈ X^k+1−X^k

τ (9)

A l’aide de cette approximation, on construit les sch´emas de r´ecurrence suivants : – sch´ema explicite d’Euler :

X^k+1 =X^k+τA X^k (10) – sch´ema implicite d’Euler :

X^k+1 =X^k+τA X^k+1 (11) – m´ethode du trap`eze:

X^k+1 =X^k+ τ

2A(X^k+1+X^k) (12)

L’initialisation des sch´emas est faite avecX0.

• Quels sont les ´eventuels probl`eme de mise en oeuvre ?

• Quel est le sch´ema le plus pr´ecis ? Question 7

On pose kUk=p

<U|U>. Si on perturbe la condition initiale, la perturbationδU^k qui en r´esulte v´erifie les sch´emas. On dit que le sch´ema est stable ou instable selon que kδUk^kreste born´e ou explose.

•Montrer quekδU^kkest croissant pour le sch´ema explicite (calculer< δU^k|δU^k>), d´ecroissant pour le sch´ema implicite (calculer < δU^k+1|δU^k+1 >), constant pour le sch´ema des trap`ezes (montrer que la matrice de l’it´eration (I− ^τ₂A)⁻¹(I+ ^τ₂A) est orthogonale).

S.L

CENTRALE