Le but de ce probl` eme est l’´ etude de la fonction f : x ÞÑ x

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DEVOIR MAISON n

1 Pour Vendredi 27 Septembre 2019

PROBL` EME

Le but de ce probl` eme est l’´ etude de la fonction f : x ÞÑ x

²

2 ln p e

^x

x q .

Pr´ eliminaires

1. (a) Prouver que : @ t P

R

, e

^t

¥ 1 t.

(b) En d´ eduire que @ t P

R

, e

^t

¡ t puis te

^t

¡ 1.

(c) Pour tout r´ eel t tel que t ¡ 1, prouver que ln p 1 t q ¤ t.

(d) En d´ eduire que : @x P

R, lnp1

xe

^x

q ¤ xe

^x

.

Partie I - ´ Etude de la fonction

1. Montrer que f est d´ efinie sur

R

.

2. (a) Prouver que pour tout x de

R

, f p x q x

²

2x 2 ln p 1 xe

^x

q . (b) En d´ eduire la limite de f en 8 .

(c) Montrer que pour tout x 0, f pxq x

²

1 2 lnpxq p x q

²

2 ln

1 e

^x

x

. (d) D´ eterminer la limite de la fonction f en 8 .

3. Prouver que f est d´ erivable sur

R

et montrer que :

@ x P

R

, f

¹

p x q 2 p x 1 qp e

^x

x 1 q e

^x

x 4. Dresser le tableau de variation complet de la fonction f .

5. Dans un rep` ere orthonormale (unit´ e : 3cm), on consid` ere la parabole p

P

q d’´ equation y x

²

2x et la courbe repr´ esentative de f not´ ee p

C

q .

Montrer que p

P

q et p

C

q sont asymptotes en 8 . ´ Etudier les positions relatives des deux courbes.

6. Tracer, dans le mˆ eme rep` ere l’allure des courbes p

P

q et p

C

q . On portera pr´ ecis´ ement toutes les infor- mations r´ ecolt´ ees jusqu’ici.

Partie II - ´ Etude d’une suite d’int´ egrales

Soit n un entier naturel, on pose : u

_n

»

_n

0

xe

^x

dx et I

_n

2 »

_n

0

ln p 1 xe

^x

q dx 1. (a) D´ emontrer que la suite pu

n

q

nPN

est croissante.

(b) Pour n P

N

, calculer u

_n

. On pourra d’abord calculer la d´ eriv´ ee de h : x ÞÑ p x 1 q e

^x

. (c) D´ eterminer la limite de p u

_n

q .

2. (a) L’aide du domaine (en unit´ e d’aire) limit´ e par les droites d’´ equation x 0, x n, la parabole p

P

q et la courbe p

C

q est d´ efinie par :

A

»

_n

0

r f p x q p x

²

2x qs dx I

_n

En utilisant la question

1.

des pr´ eliminaires, prouver que @ n P

N

, I

n

¥ 2u

n

. (b) Prouver que la suite pI

n

q est d´ ecroissante et minor´ ee.

(c) En d´ eduire que la suite p I

_n

q converge, vers une limite ` ¥ 2.

Lyc´ ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI - 2019-2020

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DEVOIR MAISON n

1 Pour Vendredi 27 Septembre 2019

EXERCICE 1

-

Une simplification pas si simple On pose pour tout x de

R

, f p x q arcsin p sin x q arccos p cos x q .

1. ´ Etudier la p´ eriodicit´ e de f .

2. Pour x P r π, π s , simplifier l’expression de f (on effectuera des disjonctions de cas au besoin).

3. Tracer la courbe repr´ esentative de la fonction f.

EXERCICE 2

^-

Deux fonctions ´ egales ? (Facultatif )

On d´ efinit les fonctions f et g par : f p x q arctan

1 2x

²