Première STG Chapitre 9 : Fonctions de référence. Page n ° 1 2007 2008
Les fonctions de référence sont des fonctions de base à partir desquelles sont construites d'autres fonctions.
Parce qu'elles sont simples, elles sont utilisées dans la modélisation de nombreux phénomènes issus de divers domaines : l'étude des mouvements, l'acoustique, la photographie, la construction d'ouvrages.
Les fonctions de référence possèdent des propriétés remarquables, en particulier très utiles dans l'étude des modèles qui les utilisent. Les fonctions de référence servent à la construction ou à l'étude de fonctions plus complexes. Elles sont ainsi des outils commodes pour comparer des fonctions ou les approcher de façon locale.
Les fonctions de référence et leurs courbes représentatives sont très souvent utilisées en sciences en économie et dans la presse qui propose souvent des graphiques ou des formules pour illustrer un phénomène.
Ainsi les fonctions linéaires et les fonctions affines sont des outils pour traduire la proportionnalité et les pourcentages. La fonction carré intervient en mécanique dans les problèmes de la chute d'un corps.
1 Etude de la fonction f ( x ) = x².
f est définie sur .
La fonction f est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ et strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 ].
Les valeurs de f ( x ) sont toujours positives.
La courbe représentative de la fonction f est appelée parabole.
Le point O est appelé le sommet de la parabole.
Pour tracer le courbe représentative, je remplis un tableau de valeurs.
Dans un repère orthogonal, l'axe des ordonnées est axe de symétrie de la parabole.
Tableau de variation.
x −∞ 0 +∞
f
0
Démonstration des propriétés ci dessus : voir feuille annexe.
Courbe : voir feuille de papier millimétrée.
E1 Savoir travailler avec la fonction carré.
N ° 1
On considère les fonctions f et g définies sur [ - 3 ; 2 ] par f ( x ) = x² et g ( x ) = -x + 2.
1. Dresser les tableaux de variation de f et de g.
2. Tracer, point par point, avec un pas de 0,5 pour les valeurs de x, les courbes Cf et Cg représentant respectivement les fonctions f et g dans le plan rapporté à un repère orthonormal
( unité graphique : 1 cm ).
3. A l'aide du graphique, comparer les nombres :
a ) f ( - 3 ) et g ( - 3 ) b ) f ( 0 ) et g ( 0 ) c ) f ( 1 ) et g ( 1 ).
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N ° 2
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x².
1. Dresser le tableau de variation de f.
2. Recopier et compléter les inégalités suivantes par l'un des symboles : " ≤ " , " < " , " ≥ " , ou " > ".
Puis justifier.
A ) Si x > 2 alors x² … 4 car ….
B ) Si x < - 2 alors x² … 4 car …
C ) Si x ≥ 3 alors x² … 9 car…
D ) Si x > 0,5 alors x² … 0,25 car…
E ) Si x < - 1 alors x² … 1 car …
F ) Si x ≤ 0 alors x² … 0 car…
2 Etude de la fonction inverse.
La fonction f est définie sur *.
La fonction f est strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [ et strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 [.
Les valeurs de f ( x ) sont positives pour tous les x positifs.
Les valeurs de f ( x ) sont négatives pour tous les x négatifs.
La courbe représentative de la fonction f est appelée hyperbole.
Le point O est le centre de symétrie de l'hyperbole.
Pour tracer le courbe représentative, je remplis un tableau de valeurs.
Tableau de variation.
x −∞ 0 +∞
f
Démonstration des propriétés ci dessus : voir feuille annexe.
Courbe : voir feuille de papier millimétrée.
E2 Savoir travailler avec la fonction inverse.
N ° 3
On considère les fonctions f et g définies sur ] 0 ; 2 ] par f ( x ) = 1
x et g ( x ) = 2x − 1.
1. Dresser les tableaux de variation de f et de g.
2. Tracer, point par point, les courbes Cf et Cg représentant respectivement les fonctions f et g dans le plan rapporté à un repère orthogonal ( unité graphique : 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée ).
Première STG Chapitre 9 : Fonctions de référence. Page n ° 3 2007 2008
3. A l'aide du graphique, répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes.
Si l'affirmation est fausse, la corriger.
a ) Si x > 1 alors f ( x ) > 1 b ) Si x < 1 alors f ( x) < 1 c ) Si x > 1 alors f ( x) > g ( x ) d ) Si 0 < x ≤ 1 alors f ( x ) ≥ 1 e ) Si x < 2 alors f ( x ) > 0,5.
N ° 4 Soit f la fonction définie sur ] - ∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = 1 x . 1. Dresser le tableau de variation de f.
2. Recopier et compléter les inégalités suivantes. Puis justifier.
A ) Si 1 < x < 4 alors … < 1
x < … car ….
B ) Si - 1 < x < - 0,5 alors … < 1
x < … car … C ) Si 0,2 < x < 0,4 alors … < 1
x < … car…
D ) Si -0,5< x < -0,1 alors … < 1
x < … car…
E ) Si -3 < x < - 2 alors … < 1
x < … car … 3 Etude de la fonction qui à x fait correspondre x3.
f est définie sur .
La fonction f est strictement croissante sur .
Les valeurs de f ( x ) sont positives pour tous les x positifs.
Les valeurs de f ( x ) sont négatives pour tous les x négatifs.
L'origine O du repère est le centre de symétrie de la courbe représentative de f.
Pour tracer le courbe représentative, je remplis un tableau de valeurs.
Tableau de variation.
x −∞ +∞
f
E3 Savoir travailler avec la fonction cube.
N ° 5
Soit f, g et h les fonctions définies sur par f ( x ) = x², g ( x ) = 5x − 4 et h ( x ) = x3. On note Cf , Cg , Ch leurs courbes représentatives dans le plan rapporté à un repère.
Pour chaque proposition, déterminer si elle est exacte ; dans le cas contraire, la corriger.
1 ) Cf est une hyperbole.
2 ) Cg est une droite.
3 ) g est une fonction strictement croissante sur . 4 ) h est une fonction strictement décroissante sur . 5 ) Pour tout x de , f ( x ) et g ( x ) sont positifs.
6 ) Pour tout x de , h ( x ) est négatif.
7 ) L'équation f ( x ) = 1 a deux solutions dans . 8 ) L'équation h ( x ) = - 1 a une solution réelle.
Première STG Chapitre 9 : Fonctions de référence. Page n ° 4 2007 2008
N ° 6
On considère les fonctions f et g définies sur [ -1 ; 1 ] par f ( x ) = x² et g ( x ) = x3. 1. Dresser les tableaux de variation de f et de g.
2. Tracer, point par point, avec un pas de 0,25, les courbes Cf et Cg représentant respectivement les fonctions f et g dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( unité graphique : 5 cm ).
3. A l'aide du graphique, comparer les nombres
a ) f ( - 1 ) et g ( - 1 ) b ) f ( 0,5 ) et g ( 0,5 ) c ) f ( 1 ) et g ( 1 ).
4 Etude de la fonction qui à x fait correspondre x.
f est définie sur [ 0 ; + ∞ [.
La fonction f est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ . Les valeurs de f ( x ) sont toujours positives.
Pour tracer le courbe représentative, je remplis un tableau de valeurs.
Tableau de variation.
x 0 +∞
f
0 E4 Savoir travailler avec la fonction racine carrée.
N ° 7 Soit f, g et h les fonctions définies respectivement sur [ 0 ; + ∞ [ ; ] - ∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞ [ et par f ( x ) = x ; g ( x ) = 1
x et h ( x ) = 3 − 2x.
On note Cf , Cg , Ch leurs courbes représentatives dans le plan rapporté à un repère.
Pour chaque proposition, déterminer si elle est exacte ; dans le cas contraire, la corriger.
1 ) Cg est une hyperbole.
2 ) g est une fonction strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [.
3 ) f est une fonction strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.
4 ) h est strictement décroissante sur . 5 ) Pour tout x de ] 0 ; + ∞ [ , h ( x ) ≥ 0.
6 ) La solution de l'équation h ( x ) = 3 est 0.
7 ) L'ensemble des solutions de l'inéquation f ( x ) > 0 est [ 0 ; + ∞ [.
8 ) L'ensemble des solutions dans ] - ∞ ; 0 [ de l'inéquation g ( x ) < - 1 est ] - 1 ; 0 [.
N ° 8 On considère les fonctions f , g, et h définies respectivement sur [ -2 ; 2 ] , [ - 2 ; 0 [ U ] 0 ; 2 ] et [ 0 ; 4 ] par f ( x ) = x² et g ( x ) = 1
x et h ( x ) = x.
1. Dresser les tableaux de variation de f, g et h.
2. Tracer, point par point, avec un pas de 0,5 les courbes Cf et Cg et Ch représentant respectivement les fonctions f, g et h dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( unité graphique : 2 cm ).
3. A l'aide du graphique, comparer les nombres
a ) f ( - 2 ) et g ( - 2 ) b ) f ( 0,5 ) et g ( 0,5 ) c ) f ( 2 ) et g ( 2 ) d ) f ( 0,5 ) et h ( 0,5 ) e ) h ( 0,5 ) et g ( 0,5 ) f ) h ( 1,5 ) et g (1,5 ).
