Variations et courbes représentatives de fonctions
Classe de 1ère
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I - Sens de variation
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
• f est croissante sur I si, et seulement si pour tout x de I, f ′(x)>0.
• f est décroissante sur I si, et seulement si pour tout x de I, f ′(x)60.
• f est constante sur I si, et seulement si pour tout x de I, f ′(x)=0.
Exemple : Considérons la fonction f définie sur IR par : f (x)= x3
3 + x2
2 −2x−1 f est dérivable sur IR avec f ′(x)=x2+x−2.
Résolvons l’équation x2+x−2=0.
∆=12−4×1×(−2)=1+8=9 L’équation possède donc deux solutions :
x1= −1−p 9
2 = −2 et x2= −1+p 9
2 =1
On sait alors que f ′(x) est positive sur les intervalles ]− ∞;−2] et [1;+∞[ et qu’elle est négative sur l’intervalle [−2; 1].
De plus f (−2)= 7
3 et f (1)= −13 6 .
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On peut donc établir le tableau de variation suivant pour la fonction f : x
f ′(x)
f (x)
−∞ −2 1 +∞
+ 0 − 0 +
+∞
+∞
7 3 7 3
−136
−136
−∞
−∞
Et sa représentation graphique :
~i 0
~j
Cf
−2
1
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II - Extremum
Propriété : (admise)
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvertI
Si la dérivée f ′ de f s’annule et change de signe en un réel a de I alors f admet un extremum local en a.
Exemples : 1) Le tableau de variation de la fonction f définie précédemment nous permet d’affir- mer, par exemple que :
• f admet un maximum en -2 sur IR−
• f admet un minimum en 1 sur IR+
2) La fonction g(x)= x2 est définie et dérivable sur IR avec g′(x)=2x.
Or g′ s’annule et change de signe enx =0 donc elle admet un extremum local en 0.
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