NOM :
Exercice 1 (5 minutes) (3 pt)
On connaît une fonction f par son tableau de variations, donné ci-dessous :
Valeurs et variations de la variable libre t - 15 - 12 7 10
→
Valeurs et variations de f(t) 14 15 5 - 3
On sait par ailleurs que les croissances ou décroissances de f sont strictes et que la représentation graphique de f est d’un seul tenant (sans trou), Remplis le tableau ci-dessous
1) Quel est la plus grande valeur de
f(t) ? Î 2) Quel est la plus petite valeur de f(x) ? Î
3) Compléter à l’aide de < ou de > Î f(2,3) ….. f(2,4) Justifie ta réponse. Ð
4) Combien y a - t -il de nombres a dans [- 15 ; 10] et tels que f(a) = 4. Î
Exercice 2 (15 minutes) (8 pt)
Soit f la fonction affine dont la représentation graphique a 2
− 3 pour coefficient directeur et 5 comme ordonnée à l’origine, g la fonction définie sur R et telle que g(t) = t – 3, et c est la fonction « élévation au carré ».
On construit la fonction h par la chaîne ci-dessous :
sur [-10 ; 7], g( )→ c( )→ f( )→
1) Complète le schéma Î
( ) ( ) ( )
g c f
x→ ... → ... → ...
2) A l’aide de tableaux de valeurs, de représentations graphiques, et d’un peu d’expérience, on conjecture que h est strictement croissante sur [-10 ; 3] et strictement décroissante sur [3 ; 7].
a) Pour confirmer les sens de variations de la fonction h sur [-10 ; 3], on propose la méthode ci-dessous. Il s’agit de citer les théorèmes, propriétés employés. On admet que la conjecture est exacte sur [3 ; 7].
Preuve que h est strictement croissante sur [-10 ; 3]
Soit a ∈[-10 ; 3], b ∈ [-10 ; 3] et a < b alors (1)
g(a) < g(b) ≤ 0 donc (2)
(a – 3)2 > (b – 3)2
donc (3)
h(a) < h(b).
c.q.f.d.
Propriétés, théorèmes … utilisés dans (1)
(2)
(3)
valeurs et variations de x
-10 … 7
→
b) Compléter le tableau suivant (pas de valeur approchée ; les résultats seront écrits sous forme de quotients
d’entiers irréductibles). valeurs et variations de h(x) …
… … 3) Pour représenter la fonction h sur l’écran graphique
de la calculatrice, en cohérence avec le tableau de variations (« pour tout voir »), comment organiser sa
« fenêtre » (window) ? Î Exercice 3 (15 minutes) (3 pt)
Dans ce problème, l’unité de longueur est le centimètre et l’unité d’aire, le centimètre carré.
On veut construire des pièces par découpes simples et par pliages (suivant le schéma ci-contre) dans des feuilles de métal, très minces et rectangulaires : on coupe suivant les traits pleins, on plie suivant les pointillés. Chaque pièce obtenue a la forme d’une boîte à fond rectangulaire, sans couvercle, mais, pour permettre un écoulement « dirigé » de liquide, les bords n’ont pas la même hauteur.
NOM :
Deux des bords opposés ont une même hauteur de 3 cm, les deux autres ont une hauteur de 2 cm.
On veut que l’aire du fond de pièce (un rectangle) soit égale à 390 cm2, et que la dimension x du côté de hauteur 3 (cm) de la pièce soit comprise entre 10 (cm) et 40 (cm) inclus.
Dans ces conditions, on admet que l’aire d’une feuille de métal, avant découpe, est une fonction de x, notée a, définie sur [10 ; 40], et a(x) =
(
x 4)
390 6x
+ +
.
Il s’agira de trouver toutes les valeurs possibles à attribuer à x pour obtenir une aire de la feuille de métal égale à 625. (c’est un peu moins que l’aire d’une feuille au format A4).
1) Ecrire un tableau de valeurs en allant de 5 en 5 pour les valeurs de x de 10 à 40. Les valeurs de a(x) correspondantes seront écrites sous forme décimale (troncatures à la deuxième décimale si nécessaire).
2) On admet que la représentation graphique de la fonction a est une partie de la courbe représentée ci- dessous. L’axe des abscisses est gradué de 5 en 5, l’axe des ordonnées est gradué de 50 en 50. Tracer avec soin et en rouge sur ce dessin la partie de la courbe représentant graphiquement la fonction a.
3) On veut trouver toutes les valeurs de x telles que a(x) = 625.
a) Résoudre graphiquement cette question sur le dessin ci-dessus, en faisant apparaître sur le graphique, tous les traits (en vert) utiles à une bonne compréhension de la démarche.
Solution(s) lue(s)
b) En utilisant la calculatrice, écrire un encadrement d’amplitude un dixième de chaque solution (il est inutile de chercher à faire mieux).
Exercice 4 (25 minutes) : les justifications sont à écrire à la suite de cet énoncé et au dos de cette feuille. (6 pt) Ici J = [0 ; 100]. Une fonction g est telle que, pour x dans J, g(x) = x
2x 3+ (écriture n°1).
1) Prouver, par le calcul algébrique, que, pour x dans J, on peut aussi écrire g(x) = 1 3 2 2(2x 3)−
+ (écriture n°2). Remarque : les théorèmes essentiels doivent être cités.
2) Mettre chaque écriture de f sous la forme d’une chaîne de fonctions. Chaque maillon de la chaîne doit être l’un des maillons suivants : →a( )+b (dans ce cas, a et b doivent être précisés), ( )2→ , ( )
1
→ ,
( )→
, +
→
, ×
→
(ces deux derniers cas interviennent dans les chaînes à deux rangs).
Remarque : aucune « preuve » n’est demandée, mais il n’est pas inutile de contrôler ce que l’on fait … sur un brouillon.
3) On choisit a et b dans J tels que a > b. Lequel de g(a) et de g(b) est le plus grand ? Prouver l’affirmation.
NOM :
Suite exercice 3 Résolution algébrique, dans [10 ; 40], de l’équation :
(
x 4)
390 6x
+ +
= 625.
On admet que les solutions de cette équation sont les mêmes que celle de 6x2 – 211x + 1560 = 0, et on pose f(x) = 6x2 – 211x + 1560.
Prouver que f(x) peut aussi s’écrire
211 2 7081
6 x 12 24
− −
.
Résoudre algébriquement, dans [10 ; 40], l’équation 6x2 – 211x + 1560 = 0.
NOM :
Suite exercice 3 Résolution algébrique, dans [10 ; 40], de l’équation :
(
x 4)
390 6x
+ +
= 625.
On admet que les solutions de cette équation sont les mêmes que celle de 6x2 – 211x + 1560 = 0, et on pose f(x) = 6x2 – 211x + 1560.
Prouver que f(x) peut aussi s’écrire
211 2 7081
6 x 12 24
− −
.
Résoudre algébriquement, dans [10 ; 40], l’équation 6x2 – 211x + 1560 = 0.
Eléments pour un corrigé Exercice 1 (5 minutes) (3 pt)
On connaît une fonction f par son tableau de variations, donné ci-dessous :
Valeurs et variations de la variable libre t - 15 - 12 7 10
→
Valeurs et variations de f(t)
14 15 5 - 3
On sait par ailleurs que les croissances ou décroissances de f sont strictes et que la représentation graphique de f est d’un seul tenant (sans trou), Remplis le tableau ci-dessous
1) Quel est la plus grande valeur de
f(t) ? Î 15
2) Quel est la plus petite valeur de f(t) ? Î
-3
3) Compléter à l’aide de < ou de > Î f(2,3) > f(2,4) Justifie ta réponse. Ð
2,3 et 2,4 sont dans l’intervalle [-12 ; 7], et 2,3 < 2,4 et f est strictement décroissante sur [-12 ; 7].
4) Combien y a - t -il de nombres a dans [- 15 ; 10] et tels que f(a) = 4. Î 2
Exercice 2 (15 minutes) (8 pt)
Soit f la fonction affine dont la représentation graphique a 2
− 3 pour coefficient directeur et 5 comme ordonnée à l’origine, g la fonction définie sur R et telle que g(t) = t – 3, et c est la fonction « élévation au carré ».
On construit la fonction h par la chaîne ci-dessous :
sur [-10 ; 7], g( )→ c( )→ f( )→
1) Complète le
schéma Î x g( ) x 3 c( ) (x 3)2 f( ) 2(x 3)2 5
→ − → − → −3 − +
2) A l’aide de tableaux de valeurs, de représentations graphiques, et d’un peu d’expérience, on conjecture que h est strictement croissante sur [-10 ; 3] et strictement décroissante sur [3 ; 7].
a) Pour confirmer les sens de variations de la fonction h sur [-10 ; 3], on propose la méthode ci-dessous. Il s’agit de citer les théorèmes, propriétés employés. On admet que la conjecture est exacte sur [3 ; 7].
Preuve que h est strictement croissante sur [-10 ; 3]
Soit a ∈[-10 ; 3], b ∈ [-10 ; 3] et a < b alors (1)
g(a) < g(b) ≤ 0 donc (2)
(a – 3)2 > (b – 3)2
donc (3)
h(a) < h(b).
c.q.f.d.
Propriétés, théorèmes … utilisés dans
(1) toute fonction affine sur J dont le « coefficient directeur » est strictement positif, est strictement croissante sur J
et calcul de g(3)
(2) la fonction « carrée » est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0]
(3) toute fonction affine sur J dont le « coefficient directeur » est strictement négatif, est strictement décroissante sur J
et substitution (déf. de h) valeurs et variations de x
-10 3 7
→
b) Compléter le tableau suivant (pas de valeur approchée ; les résultats seront écrits sous forme de quotients
d’entiers irréductibles). valeurs et variations de h(x)
5 323
3
− 17 3
−
3) Pour représenter la fonction h sur l’écran graphique de la calculatrice, en cohérence avec le tableau de variations (« pour tout voir »), comment organiser sa
« fenêtre » (window) ? Î
Par exemple :
xmin = -10 xmax = 7 pas : 1 ymin = -110 ymax = 10 pas : 10
Exercice 3 (15 minutes) (3 pt)
Dans ce problème, l’unité de longueur est le centimètre et l’unité d’aire, le centimètre carré.
On veut construire des pièces par découpes simples et par pliages (suivant le schéma ci-contre) dans des feuilles de métal, très minces et rectangulaires : on coupe suivant les traits pleins, on plie suivant les pointillés. Chaque pièce obtenue a la forme
Eléments pour un corrigé
d’une boîte à fond rectangulaire, sans couvercle, mais, pour permettre un écoulement « dirigé » de liquide, les bords n’ont pas la même hauteur.
Deux des bords opposés ont une même hauteur de 3 cm, les deux autres ont une hauteur de 2 cm.
On veut que l’aire du fond de pièce (un rectangle) soit égale à 390 cm2, et que la dimension x du côté de hauteur 3 (cm) de la pièce soit comprise entre 10 (cm) et 40 (cm) inclus.
Dans ces conditions, on admet que l’aire d’une feuille de métal, avant découpe, est une fonction de x, notée a, définie sur [10 ; 40], et a(x) =
(
x 4)
390 6x
+ +
.
Il s’agira de trouver toutes les valeurs possibles à attribuer à x pour obtenir une aire de la feuille de métal égale à 625. (c’est un peu moins que l’aire d’une feuille au format A4).
1) Ecrire un tableau de valeurs en allant de 5 en 5 pour les valeurs de x de 10 à 40. Les valeurs de a(x) correspondantes seront écrites sous forme décimale (troncatures à la deuxième décimale si nécessaire).
Valeurs de x 10 15 20 25 30 35 40
Valeurs de a(x) 630 608 612 626,4 646 668,57 693
2) On admet que la représentation graphique de la fonction a est une partie de la courbe représentée ci- dessous. L’axe des abscisses est gradué de 5 en 5, l’axe des ordonnées est gradué de 50 en 50. Tracer avec soin et en rouge sur ce dessin la partie de la courbe représentant graphiquement la fonction a.
3) On veut trouver toutes les valeurs de x telles que a(x) = 625.
a) Résoudre graphiquement cette question sur le dessin ci-dessus, en faisant apparaître sur le graphique, tous les traits (en vert) utiles à une bonne compréhension de la démarche.
Solution(s) lue(s)
Environ 11 et 24 b) En utilisant la calculatrice, écrire un encadrement d’amplitude un
dixième de chaque solution (il est inutile de chercher à faire mieux). En appelant α la plus petite solution et β la plus grande, 10,5 < α < 10,6 et 24,5 < β < 24,6
Eléments pour un corrigé
Exercice 4 (25 minutes) : les justifications sont à écrire à la suite de cet énoncé et au dos de cette feuille. (6 pt) Ici J = [0 ; 100]. Une fonction g est telle que, pour x dans J, g(x) = x
2x 3+ (écriture n°1).
1) Pour x dans J, 1 3 2 2(2x 3)−
+ = (2x 3) 3 2(2x 3)
+ −
+ (th.1 et th.2) donc (développement et th.1) 1 3
2 2(2x 3)− + = x
2x 3+ d’où (écriture n°1) 1 3
2 2(2x 3)− + = g(x).
Th.1 : pour tous b et c non nuls, a ac b =bc Th.2 : pour tout b non nul, a c a c
b b b
+ = +
2) Ecriture n°1
Sur J,
( )
( ) ( )1
2 3
× +
→
→
→ →
Ecriture n°2
Sur J, ( ) ( ) ( )
1 3 1
2 +3 −2 +2
→ → →
3) On choisit a et b dans J tels que a > b. Lequel de g(a) et de g(b) est le plus grand ? Prouver l’affirmation.
Soit a et b dans J tels que a > b, alors (déf.) a > b > 0 donc (th.1)
2a + 3 > 2b + 3 > 3 d’où (th.2)
1 1
2a 3<2b 3 + + d’où (th.3)
3 1 1 3 1 1
2 2a 3 2 2 2b 3 2
− + + > − + + soit, par définition de g,
g(a) > g(b).
Déf. : traduction de l’appartenance à un intervalle
Th.1 : toute fonction affine sur J dont le « coefficient directeur » est strictement positif, est strictement croissante sur J
Th.2 : la fonction « inverse » est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.
Th.3 : toute fonction affine sur J dont le « coefficient directeur » est strictement négatif, est strictement décroissante sur J
Eléments pour un corrigé
