Racines carrées – Nombres réels (exercices) Exercice 1 :
Un nombre rationnel a une écriture décimale illimitée dont on sait qu’elle est périodique.
L’objectif de l’exercice est de déterminer toutes les décimales d’un tel rationnel.
1. Quelle est l’écriture décimale illimitée de 2
3 , de 131 6 ? 2. On cherche l’écriture décimale illimitée de 21
17 .
a. Effectuer à la main la division de 21 par 17 en entourant les restes successifs.
b. Combien au maximum, peut-on obtenir de restes différents ? c. Que se passe-t-il lorsqu’on retrouve un reste déjà obtenu ? d. En déduire l’écriture décimale illimitée de 21
17 .
3. En utilisant la méthode précédente, donner l’écriture décimale illimitée de 123
13 ? Quelle est sa période ?
Exercice 2 :
Le but de cet exercice est de trouver une écriture fractionnaire d’un nombre rationnel dont on connaît l’écriture décimale ;
Soit x le rationnel dont l’écriture décimale est :0,231231231231…….
231 est la période de l’écriture décimale de x.
1. a. Ecrire 10
3x en fonction de x.
b. En résolvant l’équation trouvée en a, déduire une écriture de x sous la forme d’un quotient de deux entiers .
2. Soit y le rationnel dont l’écriture décimale est : 5,231231231231…
Ecrire y en fonction de x et en déduire une écriture de y sous la forme d’un quotient de deux entiers.
3. Soit z le nombre rationnel dont l’écriture décimale est : 7,456231231231231….
Ecrire 10
3z en fonction de x et en déduire une écriture de z sous la forme d’un quotient de deux entiers.
Exercice 3 :
Le résultat de la division de 23 par 99 est x= 0,232323…, nombre rationnel dont l’écriture décimale est infinie périodique. Sa période est 23 de longueur 2.
1. Effectuer de même la division pour y = 4
37 . Quelle est sa période ?sa longueur ? Quel est le 10
echiffre de sa partie décimale ?son 125
echiffre ?
2. On donne z = 0,363636…. de période 36. Calculer 100z, puis lui soustraire z. Quelle est
l’écriture fractionnaire du rationnel z ?
Exercice 4 :
Donner la valeur exacte de chacun des nombres :
25 36 9 100 250000 10 4 4
9 25
100 7 Exercice 5 :
Ecrire les nombres sous la forme a b où a et b sont des entiers, b positif le plus petit possible :
50 54 108 112 48 75 300 56 128 810 1440 242 2 8 3 1200
Exercice 6 :
Simplifier l’écriture de chaque nombre : a = 3
27 b= 180
20 c= 125
500 d = 7
63 e = 50 9 f= 3 × 25
144 g = 384 6 h = 4 × 1
4 i= 1 2
64
81 k= 44
2 Exercice 7 :
Ecrire sous la forme la plus simple possible :
A = 2 × 8 B= 10 × 100 C = 3 × 12 D = 80 × 8 E = 75 × 32 F = 99 × 165 G = 27 × 15 E = 63 × 14 Exercice 8 :
Ecrire sous la forme la plus simple possible a= 330 × 66
6 b= 2 × 3 × 21 × 1
6 c= 45 × ( – 20 ) d = – 63 × 14
Exercice 9 :
Ecrire sous la forme la plus simple possible
A = 3 3 + 2 3 + 5 3 - 7 3 B= - 11 + 10 11 – 7 11 -2 11 C = 3
2 7 – 2
3 7 D = (3 – 5 3 ) – ( 6 3 -7 ) Exercice 10 :
A = 18 + 50 - 8 + 32 B = 2 50 + 3 162 – 5 8 C= 28 + 63 - 700 + 112 D = 44 – 2 99 + 5 539
25
Exercice 11 :
Ecrire sous la forme a + b c, où a,b et c sont des entiers avec c positif le plus petit possible.
A= 3 2 + 2 4 – 2 2 B = ( 3 + 5) ( 3 – 5) C= ( 7 - 11 ) ( 7 + 11 )
D = ( 2 + 5)
2E= (2 7 – 5)(2 7 + 5) F= ( 5 + 2 ) ( 5 – 7)
G= ( 2 + 3 ) ( 8 + 4 2 ) H= ( 2 - 3)
2Exercice 12 :
Développer et réduire :
A = ( 4 + 5 2 )
2+ (2 2 - 3 ) (3 2 + 5 ) B = ( 9 - 3 7 )
2- (2 11 - 3 ) (8 -11 2 )
Exercice 13 :
Ecrire sans radical au dénominateur : A = 1
3 B = 2
7 C = 1
11 - 5
8 D = 2
2 + 5 E = 1
3 - 5 F = 7 + 1
3 - 2 G = 5
3 + 2 - 1 5 + 6
Exercice 14 :
Placer les nombres donnés dans le schéma ci-dessous : 3,521 5 - 152 000 6,31 x 1014 3
4
4
3 5,437 437 …. - π 12
Exercice 15 :
Compléter les phrases ci-dessous en utilisant les symboles ∈ ou ∈ :
-15,3 x 104 …ZZ -3,525252 …D 3
4… IQ 7… IQ - π 2 …IR 5
7…D 7
5…D 35
7…IN 225x 10-12…D
Exercice 16 :
Compléter le tableau suivant, pour déterminer le plus petit ensemble auquel appartient chacun des nombres donnés.
Exercice 17 :
Pour chaque nombre, cocher les cases correspondant aux ensembles auxquels ce nombre appartient :
-3,5 1
3
2 -3 4
4,5 π 0
-3 5
3 7 IN
ZZ D I Q IR
Exercice 18 :
Déterminer la nature de chacun des nombres suivants : 1. 5
4
17
3 - 7 -12 5
2. 21
7 16 -24
3 8 π
3π 3. 51
2
27
75 10 57
20
35 9 Exercice 19 :
Regrouper les réels égaux et donner leur nature : -1
5 5
2 -0,2 2
2
-3 15
-35
-14 2,5 1 2
18 -90 Exercice 20 :
Ecrire sans radicaux les expressions suivantes :
2 2 2
2
2 2
2 2
) 3 2 ) ( )
1 ( ) 2 ( )
) 3 2 ( ) 1 ( ) )
1 ( ) 1 ( )
x d x
x x
c
x x
b x
x x a
+ −
−
+
− +
+
−
+
Exercice 21 :
Rendre rationnel le dénominateur :
b a b
b l a
b a
a k b
b a j a
a a i a h g f e d c b a
−
−
−
− +
+
−
− +
− +
− +
) ) ) )
15 2 6
3 ) 2
50 12 ) 2
2 3 ) 3
3 2 ) 2
2 4
3 ) 2
3 12 ) 4
2 3 ) 3
2 3 ) 2
b a b a y ab x w v u
y x
y t x
y x x y
y y x s x
y x
y r x
y x
y q x
p o n m
+
− +
− +
−
− +
+
− +
+ +
− +
−
− +
−
− +
− +
+
− +
+
−
−
−
−
−
) 2
6 3 2
3 ) 2
10 15 3
5 3 ) 4
5 3 2
5 3 ) 2
5 3 2 ) 5
3 2
3 ) 2
) ) )
12 8
3 2 2 ) 2
3 3
3 12 ) 3
2 3
2 3 3 ) 2
1 2
2 ) 2
Exercice 22 :
Dégager les conditions d’existence des expressions suivantes :
7 ) 5 5
) 1
) 2 1 ( ) 1
3 )
7 5 ) 6
2 )
3 ) 3
)
4 ) )
2 2
