Seconde 1 Chapitre 9 : fonctions de référence. Page n ° 1 2007 2008
Les fonctions de référence sont des fonctions de base à partir desquelles sont construites d'autres fonctions.
Parce qu'elles sont simples, elles sont utilisées dans la modélisation de nombreux phénomènes issus de divers domaines : l'étude des mouvements, l'acoustique, la photographie, la construction d'ouvrages.
Les fonctions de référence possèdent des propriétés remarquables, en particulier très utiles dans l'étude des modèles qui les utilisent. Les fonctions de référence servent à la construction ou à l'étude de fonctions plus complexes. Elles sont ainsi des outils commodes pour comparer des fonctions ou les approcher de façon locale.
Les fonctions de référence et leurs courbes représentatives sont très souvent utilisées en sciences, en économie et dans la presse qui propose souvent des graphiques ou des formules pour illustrer un phénomène.
Ainsi les fonctions linéaires et les fonctions affines sont des outils pour traduire la proportionnalité et les pourcentages. La fonction carré intervient en mécanique dans les problèmes de la chute d'un corps.
1 Etude de la fonction carrée.
f ( x ) = x².
f est définie sur .
La fonction f est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ et strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 ].
Les valeurs de f ( x ) sont toujours positives.
La fonction carré est une fonction paire sur c'est à dire pour tout réel x, f ( - x ) = f ( x ).
La courbe représentative de la fonction f est appelée parabole.
Le point O est appelé le sommet de la parabole.
Pour tracer le courbe représentative, je remplis un tableau de valeurs.
Dans un repère orthogonal, l'axe des ordonnées est axe de symétrie de la parabole.
Tableau de variation.
x −∞ 0 +∞
f
0
Démonstration des propriétés ci dessus : voir feuille annexe.
Courbe : voir feuille de papier millimétrée.
E1 Savoir travailler avec la fonction carrée.
Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = x².
Exemple : si 0 < x < 1 alors 0 < x² < 1 car la fonction f est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.
De la même façon, recopier et compléter
a. si x > 3 alors x² car
b. si 1 ≤ x < 2 alors < x² < car
c. si x < - 3 alors x² car
d. si - 3 < x < - 1 alors < x² < car e. si -1 ≤ x < 3 alors < x² < car
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2 Etude de la fonction inverse.
f ( x ) = 1 x
La fonction f est définie sur *.
La fonction f est strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [ et strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 [.
Les valeurs de f ( x ) sont strictement positives pour tous les x strictement positifs.
Les valeurs de f ( x ) sont strictement négatives pour tous les x strictement négatifs.
La fonction inverse est une fonction impaire c'est à dire pour tout réel x de * on a f ( - x ) = - f ( x ).
La courbe représentative de la fonction f est appelée hyperbole.
Le point O est le centre de symétrie de l'hyperbole.
Plus précisément : la représentation graphique de la fonction inverse est constituée de deux branches symétriques par rapport à l'origine du repère.
Pour tracer le courbe représentative, je remplis un tableau de valeurs.
Tableau de variation.
x −∞ 0 +∞
f
Démonstration des propriétés ci dessus : voir feuille annexe.
Courbe : voir feuille de papier millimétrée.
E2 Savoir travailler avec la fonction inverse.
Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = 1 x . 1 . Exemple : si 1 < x < 2 alors 1
1 > 1 x > 1
2 et donc 0,5 < 1 x < 1
car la fonction f est strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [.
De la même façon, recopier et compléter
a. si x > 3 alors 1
x car
b. si 1 ≤ x < 2 alors < 1
x < car
c. si x < - 3 alors 1
x car
d. si - 3 < x < - 1 alors < 1
x < car
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2. Dans chacun des cas suivants, comparer 1 a et 1
b puis justifier.
e. a = 2 et b = 5 f. a = - 2 et b = - 3 g. a = -1 et b = 3
E3 Etude de la fonction qui à x fait correspondre x3.
Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = x3. 1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f.
2. a. Démontrer que x13 − x23 = ( x1 − x2 ) ( x1² + x1x2 + x2² ) pour tous x1 et x2 réels.
b. Déterminer, alors, le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle . 3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
4. Déterminer le signe des valeurs f ( x ).
5. Démontrer que la fonction f est une fonction impaire sur . 6. Compléter le tableau des valeurs suivant :
x -2,5 -2,25 -2 -1,75 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 0
y
7. Sur une feuille de papier millimétrée, représenter la courbe représentative de la fonction f.
E4 Etude de la fonction racine carrée.
Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = x.
1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f.
2. a. Démontrer que x − 1 x = 2
2 1
2 1
x x
x x
+
− pour tous réels x1 et x2 strictement positifs.
b. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.
3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
4. Déterminer le signe des valeurs f ( x ).
5. Compléter le tableau des valeurs suivant :
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
6. Sur une feuille de papier millimétrée, représenter la courbe représentative de la fonction f.
