Probl` eme I : alg` ebre

Devoir maison n˚2

MP Clemenceau 2020-2021 Pour le vendredi 16 octobre 2020

Exercice

1. D´eterminer le plus petit entier naturel non nulptel que 3^p≡1 modulo 11.

2. En utilisant des congruences modulo 11, d´emontrer que, pour tout entier naturel n, l’entier 3ⁿ⁺²⁰¹²−9×5²ⁿ est divisible par 11.

Probl` eme I : alg` ebre

On consid`ere l’ensemble E des matrices de la forme :A(a, b, c) =





a b c b a b c b a



 o`u (a, b, c)∈IR³

1) Montrer que E est un espace vectoriel. Montrer qu’il est de dimension finie, `a pr´eciser en donnant une base.

2) SoientAetB deux matrices de E, calculer AB.

Est-ce un ´el´ement deE?

3) On consid`eref l’endomorphisme de IR<sup>3</sup> canoniquement associ´e `aA(a, b, c). (a) Donner le d´eterminant def.

(b) Trouver les valeursλv´erifiant : il existe un vecteur non nulx∈IR³ tel quef(x) =λx.

On note E_λ=

x∈IR³/ f(x) =λx . 4) Cas b=c

(a) Donner les espaces E_λ associ´es aux valeurs trouv´ees pr´ec´edemment. On donnera une base de chacun des espaces.

(b) Montrer que ce sont des espaces suppl´ementaires.

(c) En utilisant les vecteurs trouv´es dans les questions pr´ec´edentes, construire une base de IR³et donner la matrice def dans cette base.

(d) Caract´eriser l’application dans la cas a=−¹₃ et b=c=²₃. 5) Cas g´en´eral

(a) On consid`ere les vecteurs, donn´es dans la base canonique par

e₁= (1,0,−1) e₂= (1,−1,1) e₃= (1,1,1) Montrer ces vecteurs forment une base de IR³

(b) Donner la matriceP de passage de la base canonique `a cette base.

(c) Calculer l’inverse deP.

(d) Donner la matrice def dans cette base.

(e) Retrouver alors les r´esultats de la question 4.

6) On supposea=−1 +√

3, b= 1 etc= 2

(a) Calculer le rang def (choisir correctement la matrice).

(b) Calculer l’image et le noyau def.

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Probl` eme II : analyse

1 Etude d’une suite r´ ecurrente

On consid`ere une fonctionf de classeC<sup>2</sup>sur [0,1] `a valeurs dans [0,1] telles quef⁰etf⁰⁰soient `a valeurs positives.

On supposef(1) = 1,f⁰(0)<1 etf⁰⁰(1)>0.

On consid`ere de plus la suite r´ecurrente (un)_n∈IN d´efinie paru0 = 0 et, pour tout n ∈ IN,un+1 =f(un). On pose m=f⁰(1).

1) a) Montrer que la suite (un)_n∈IN est croissante, puis qu’elle est convergente. On note`sa limite.

b) Montrer que l’´equationf(x) =xadmet une plus petite solution. Dans toute la suite, on la noteraxf. c) Montrer que`=xf.

2) On supposem >1. Montrer quex_f ∈[0,1[.

3) On suppose maintenantm61. Montrer quex_f = 1 et que pour toutn∈IN,u_n6= 1.

4) Dans cette question, on supposem= 1.

a) On pose, pourn∈IN,εn= 1−un. Montrer que

n→+∞lim 1

ε_n+1 − 1 ε_n

=f⁰⁰(1) 2

b) En d´eduire que, quandntend vers l’infini, 1−u_n=ε∼ 2 nf⁰⁰(1). 5) On suppose maintenantm <1 et on pose encore, pourn∈IN,εn= 1−un.

a) Montrer que la s´erie de terme g´en´eral εn est absolument convergente et en d´eduire la convergence de celle de terme g´en´eral ln

m⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ε_n+1 m⁻ⁿεn

.

b) En d´eduire qu’il existec >0 tel que, quandntend vers +∞, 1−u_n∼cmⁿ.

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