Cours LM 339 Optimisation lin´eaire Dur´ee de l’examen: 2 heures Les deux probl`emes sont ind´ependants,
seul le polycopi´e du cours est autoris´e
Probl` eme I
On cherche le maximum de la fonction lin´eaire:
f(x) =c.x = 8x1+ 16x2+ 24x3+ 8x4, sur le domaine P d´efini par les in´egalit´es lin´eaires:
x1+ 2x2 + 3x3+x4 ≤5 x1+x2+ 2x3+ 4x4 ≥3,
xi ≥0, i= 1, ...4.
1- Montrer queP est un poly`edre convexe non vide.
2- Introduire deux variables d’ ´ecart x5 et x6 et mettre le probl`eme sous forme standard.
3- Initialiser la m´ethode du simplexe en prenantx1 etx5 comme variables de base.
4- Appliquer la m´ethode du simplexe et trouver un sommet en lequel la fonction f pr´esente un maximum.
5- Caract´eriser l’ensemble des points de P en lequel f atteint son maxi- mum.
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Probl` eme II
Soit a, b et c des r´eels tels que c > b > 4a > 0. On consid`ere la fonction lin´eaire: f(x, y, z) = 5x−y−4z. Soit P l’ensemble des points de l’espace R3 dont les coordonn´ees x, y, z v´erifient:
x≥0, y≥0, z ≥0, x+ 3y−z ≤a,
4x+y−3z ≤b, 3x+ 4y−4z ≤c,
1- Montrer queP est un polytope convexe non vide. P est-il un poly`edre?
La fonctionf est-elle born´ee inf´erieurement surP? On se propose de trouver un maximum de f sur P.
2- En introduisant des variables d’ ´ecart, mettre ce probl`eme d’optimisation lin´eaire sous forme standard. On noteQl’ ensemble admissible du probl`eme.
3- Appliquer la m´ethode du simplexe pour trouver un sommet de Q qui r´ealise le maximum de f.
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