Cours LM 339 Optimisation lin´eaire Dur´ee de l’examen: 2 heures Les deux probl`emes sont ind´ependants,
seul le polycopi´e du cours est autoris´e
Probl` eme I
On veut ´etudier les extrema de la forme lin´eaire:
f(x) = 5x1+ 6x2+ 9x3+ 8x4
sur le domaine P d´efini par les in´egalit´es:
x1+ 2x2+ 3x3−x4 ≤5
x1+x2+ 2x3+ 4x4 ≥3.
1-Montrer queP est un polytope convexe non vide. Donner un majorant du nombre des sommets de P. Faire un graphique repr´esentant l’intersection de P avec le plan des (x3, x4). P est-il born´e?
2-Montrer quef n’est pas major´ee sur P.
3-On veut appliquer la m´ethode du simplexe et trouver le minimum de f sur P. On pose g =−f et on cherche le maximum de g. Introduire deux variables d’ ´ecartx5 et x6 et mettre le probl`eme sous forme standard.
4-Initialiser le probl`eme en prenant pour variables de base x1 etx5. Quel est le sommet ainsi mis en ´evidence?
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5- Trouver le minimum de f sur P et un sommet S de P en lequel f atteint ce minimum.
6- On pose h(x) = f(x) +ax1. Trouver une valeur de a pour laquelle la fonction h pr´esente un minimum en au moins deux sommets distincts deP et donner ces deux sommets.
Probl` eme II
Soit f la forme lin´eaire:
f(x) = 2x1+bx2−x3,
o`u b est un param`etre r´eel stritement positif. On cherche le maximum de f sur le domaine D d´efini par les in´egalit´es:
2x1+ax2−x3 ≤10
3x1 +x3 ≤10 x1−3x2 +x3 ≤10,
o`u a est un param`etre r´eel.
1-Mettre le probl`eme sous forme standard en ajoutant 3 variables d’ ´ecart.
2- On fixe a = 1 et b ≥ 2, montrer que dans ce cas, D est born´e et r´esoudre le probl`eme par la m´ethode du simplexe.
3- Les calculs pr´ec´edents restent-ils valables pour b = 1? Quelle particu- larit´e pr´esente alors le probl`eme?
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