Probl`eme I

(1)

Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Examen semestriel Licence de Mathématiques MA380 – Analyse Hilbertienne et Numérique

24 janvier 2005 15h00 `a 18h00

Résoudre chaque problème sur une feuille séparée. Les appareils électroniques et les documents sont interdits. Les solutions devront être rédigées de manière ri- goureuse. Lorsque des résultats du cours seront utilisés, ils devront clairement être

énoncés. On notera que certaines questions peuvent être résolues indépendamment.

Problème I. (50 points) Dans tout le problème, H désigne un espace de Hilbert réel, h· | ·i son produit scalaire et k · k la norme associée. On notek · k⁰ la norme définie sur le dual topologique H⁰ de H (i.e., l’espace des formes linéaires continues deH dansR) par

(∀f ∈ H⁰) kfk⁰ = sup

kxk=1

|f(x)|.

On rappelle qu’une forme bilin´eaireϕ:H × H →Rest :

• continue si (∃β ∈]0,+∞[)(∀(x, y)∈ H²) |ϕ(x, y)| ≤βkxk · kyk;

• coercive si (∃α∈]0,+∞[)(∀x∈ H) ϕ(x, x)≥αkxk².

Le but du problème est de démontrer le théorème de Lax-Milgram :

Théorème. Soit ϕ:H × H → R une forme bilinéaire continue et coercive, et soit f ∈ H⁰. Alors il existe un unique u∈ H tel que

(∀x∈ H) ϕ(x, u) =f(x). (1)

1. Enoncer le th´´ eorème de représentation de Fréchet-Riesz.

2. On suppose dans cette question que ϕest sym´etrique.

(a) Montrer que ϕd´efinit un produit scalaire sur H qui en fait un espace de Hilbert.

(b) En déduire le théorème de Lax-Milgram.

3. Soit f une forme linéaire continue sur H. Montrer que l’existence et l’unicité d’un vecteur u∈ H vérifiant (1) sont équivalentes à celles d’un vecteuru∈ H vérifiant

(∀x∈ H) ϕ(x, u) =hx|bi, (2) pour un certain b∈ H.

4. Dans cette question, ϕn’est pas n´ecessairement sym´etrique.

(a) Soient x∈ HetA_x: H →R l’op´erateur d´efini par A_x:y7→ ϕ(x, y). Montrer qu’il existe un unique vecteurax∈ H tel que (∀y∈ H)Ax(y) =hy|axi.

(b) Soit A:H → Hl’opérateur qui à toutx∈ H associe le vecteura_x défini en (a). Montrer que cet opérateur est linéaire et continu, et que (2) équivaut àA(u) =b.

(c) Soit γ ∈ ]0,+∞[. On d´efinit un op´erateur T: H → H par T:u 7→ u −γ(A(u)−b).

Montrer que (∀(u, v)∈ H²)kT(u)−T(v)k² ≤(1 +β²γ²−2γα)ku−vk².

(d) Montrer qu’en choisissant γ dans un intervalle que l’on pr´ecisera, T est une contraction stricte.

(e) Conclure.

5. Montrer que la solution ude (1) v´erifiekuk ≤ kfk⁰/α.

(2)

Problème II.(50 points) On rappelle qu’une matrice est de type unité si tous ses éléments diagonaux sont égaux à 1. Soit A∈R^n×n une matrice symétrique inversible. On suppose queA peut se mettre sous la forme A=LU, oùL= [l_ij] est une matrice triangulaire inférieure de type unité et U = [u_ij] une matrice triangulaire supérieure.

1. Soit Dla matrice diagonale D= diag(u_i,i)1≤i≤n. Montrer que Dest inversible.

2. Montrer que la d´ecomposition A=LU du type d´ecrit ci-dessus est unique.

3. On pose S=D⁻¹U. Montrer queS est triangulaire sup´erieure de type unit´e.

4. Montrer que A=LDS.

5. Montrer que A=LDL^t.

6. On a (∀i∈ {1, . . . , n} u_ii= signe(u_ii)µ²_i, o`u µ_i=p

|u_ii|. Posons

∆ = diag(µ_i)1≤i≤n et ∆ = diag(signe(ue _ii)µ_i)1≤i≤n. Montrer que A= (L∆)(L∆)e ^t.

7. Montrer que l’on peut écrire A sous la forme A = BBe^t, où B est une matrice triangulaire inférieure etBe est une matrice dont chaque colonne est soit égale à la colonne correspondante de B, soit égale à la colonne correspondante de B changée de signe.

8. Appliquer cette décomposition à la résolution du systèmeAa=b, où A=

2 1 1 −1/2

et b= 1

1

. (3)

9. On initialise la méthode de Kaczmarz pour le système donné dans (3) avec a⁽⁰⁾ = [1 1]^t. Calculer l’itérée suivante de la méthode, à savoira⁽¹⁾.

(3)

Paris 6 – Licence de Math´ematiques – Analyse Hilbertienne et Num´erique Solution de l’examen de janvier 2005

Solution du Pb I :

1. Théorème de Fréchet-Riesz : Soit u⁰ ∈ H⁰. Alors il existe un unique u ∈ H tel que ∀x ∈ H, u⁰(x) =hx|ui.De plus, kuk=ku⁰k⁰.

2. La forme bilinéaireϕest symétrique. Commeϕ(x, x)≥αkxk²,et queα >0, elle est également définie positive. Elle définit donc un produit scalaire sur H. Comme de plus pour tout x de H, √

αkxk ≤ p

ϕ(x, x) ≤√

βkxk,la norme associée à ϕ est équivalente à k · k, etH est donc complet pour cette norme. On applique ensuite le théorème de Fréchet-Riesz dans l’espace de Hilbert H muni du produit scalaire ϕ, d’où l’on déduit l’existence et l’unicité de u vérifiant (1).

3. La forme linéairef est un élément deH⁰. On peut donc appliquer le théorème de Fréchet-Riesz : il existe un unique b∈ H tel que∀x∈ H, f(x) =hx|bi.L’équation (1) devient donc (2).

4. (a) Il est clair queA_xest linéaire carϕet bilinéaire. De plus,|A_x(y)|=|ϕ(x, y)| ≤βkxk kyk, etA_x est donc continue. On peut donc appliquer le théorème de Fréchet-Riesz : pour tout x∈ H,il existe un unique ax ∈ H tel que∀y∈ H, Ax(y) =hy|axi,etka_xk=kA_xk⁰. (b) On a Ax+λy(z) = ϕ(x +λy, z) = ϕ(x, z) +λϕ(y, z) = Ax(z) +λAy(z), donc A(x+

λy) =A(x) +λA(y).L’applicationAest donc linéaire. D’autre part, d’après la question précédente, pour tout xdans H,kA(x)k ≤βkxk,doncA est continue. On voit donc que (2) équivaut à∀v ∈ H, hv|aui=hv|bi,autrement dit àau =b, i.e A(u) =b.

(c) On a :

kT(u₂)−T(u₁)k² = hu₂−u₁−γA(u₂−u₁)|u₂−u₁−γA(u₂−u₁)i

= ku₂−u₁k²−2γhA(u₂−u₁)|u₂−u₁i+γ²kA(u₂−u₁)k²

= ku₂−u₁k²−2γϕ(u₂−u₁, u₂−u₁) +γ²kA(u₂−u₁)k²

≤ (1−2γα+γ²β²)ku₂−u1k².

(d) Pour que T soit une contraction stricte, il suffit que β²γ²−2γα < 0, ce qui ´equivaut `a γ ∈]0,2α/β²[.

(e) SiT est une contraction stricte, l’opérateurT admet un unique point fixe par application du théorème de Banach-Picard. Comme T(u) = u équivaut à A(u) = b,on en déduit le théorème de Lax-Milgram.

5. En utilisant (1) avec v=u, on voit imm´ediatement que

αkuk²≤ϕ(u, u) =f(u)≤ kfk⁰kuk.

Donc soit u = 0, et on a évidemment kuk ≤ kfk⁰/α, soitkuk 6= 0, et en simplifiant l’inégalité ci-dessus par kukon obtient à nouveau l’inégalité voulue.

(4)

Solution du Pb II :

1. On a A=LU etLinversible puisque det(L) = 1. Donc U est inversible et donc 06= det(U) = Qn

i=1uii= det(D). DoncD est inversible.

2. Supposons A = L1U1 = L2U2. Puisque A est inversible, nous obtenons L⁻¹₂ L1 = U2U₁⁻¹. Cependant, L⁻¹₂ L1 est une matrice triangulaire inférieure de type unité en tant que produit de deux telles matrices, tandis que U₂U₁⁻¹ est une matrice triangulaire supérieure en tant que produit de deux telles matrices. Ceci impose la relation L⁻¹₂ L1 =U2U₁⁻¹ = In et, par suite, L1=L2 etU1 =U2.

3. D⁻¹ = diag(1/uii)1≤i≤n et U est triangulaire supérieure. Donc S = D⁻¹U est triangulaire supérieure de type unité.

4. A=LU =LDD⁻¹U =LDS.

5. On a, d’après 4, A = LU et A = A^t = (LDS)^t = S^t(DL^t). D’après 2 et 3, on a donc, par unicité de la décomposition,L=S^t et doncA=LDL^t.

6. On a u_ii=µ_i(signe(u_ii)µ_i). Donc, d’apr`es5,A=LDL^t=L∆(∆)Le ^t= (L∆)(L∆)e ^t.

7. On prendB =L∆ etBe =L∆. Soite l_j lajêcolonne deL,b_j lajêcolonne deB eteb_j lajêcolonne de B. Alorse bj =µjlj tandis queebj = signe(ujj)µjlj = signe(ujj)bj.

8. Aa=b⇔ BBe^ta=b. On résout donc le système triangulaire inférieurBc=b puis le système triangulaire supérieur Be^ta=c.

La d´ecomposition LU par la m´ethode de Gauss donne L=

1 0 1/2 1

et U = 2 1

0 −1

.

Par suite

∆ = √

2 0

0 1

, ∆ =e

√

2 0

0 −1

, B =L∆ = √

2 0

√ 2/2 1

, et Be=L∆ =e √

2 0

√

2/2 −1

.

La solution du syst`eme Bc = b est c = [√

2/2 1/2]^t et la solution du syst`eme Be^ta = c est a= [3/4 −1/2]^t.

9. On a a⁽¹⁾=P₁P₂a⁽⁰⁾ et

P_ia=a+ β_i− ha|u_ii ku_ik² u_i.

Ici, β2 = 1, u2 = [1 −1/2]^t. Donc P2a⁽⁰⁾ = [7/5 4/5]^t. Ensuite,β1= 1, u1 = [2 1]^t. Donc on obtient a⁽¹⁾=P₁(P₂a⁽⁰⁾) = [9/25 7/25]^t.