Soient D , L et U trois matrices de M n respectivement matrice diagonale, triangulaire inférieure et triangulaire supérieure. On les suppose inversibles. Soit bbb P C n donné.

L3-Math Analyse Numérique

Institut Galilée Année 2012-2013

Travaux dirigés - 2 Exercice 1

Soient D , L et U trois matrices de M n respectivement matrice diagonale, triangulaire inférieure et triangulaire supérieure. On les suppose inversibles. Soit bbb P C ⁿ donné.

Q. 1 Expliquer comment résoudre D x x x bbb.

Q. 2 Expliquer comment résoudre L x x x bbb.

Q. 3 Expliquer comment résoudre U x x x bbb.

Q. 4 Soit A LU . Expliquer comment résoudre A x x x bbb.

Exercice 2

Soit A P M m,n pCq . On note a a a k le k -ème vecteur colonne de A . On suppose que les vecteurs colonne de A sont linéairement indépendants.

Q. 1 Donner une relation entre m et n. Calculer rang pAq .

Q. 2 Construire une famille orthonormale p qqq 1 , . . . , qqq n q avec qqq 1 ^{a a a} _ν

et ν 1 } a a a 1 } .

Q. 3 Exprimer les vecteurs a a a _k en fonction des qqq _k et ν _k .

Q. 4 En déduire que l'on peut écrire A sous la forme A QR où la matrice Q vérie Q Q I et la matrice R est triangulaire supérieure. On précisera les dimensions des matrices.

Q. 5 On suppose de plus que m n. Expliquer comment résoudre le système linéaire A x x x bbb.

Exercice 3

Soit A P M n pCq une matrice hermitienne, dénie positive. On désigne par λ 1 , . . . , λ n ses valeurs propres (nécessairement réelles et strictement positive) rangées par ordre croissant.

On rappelle l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

x x x x, y y y y ² ¤ x x x x, x x x y x y y y, y y y y , @ x x x P C ⁿ , @ y y y P C ⁿ . (3.1) Q. 1 Montrer que

xA x x x, x x x y @

A ^-1 x x x, x x x D

¥ } x x x } ⁴ , @ x x x P C ⁿ . (3.2) Soit P pA λ 1 IqpA λ n IqA ^-1 , où I désigne la matrice identité de M n pCq .

Q. 2 1. Etudier le signe de xP x x x, x x x y pour tout x x x P C ⁿ . 2. En déduire que, pour tout x x x P C ⁿ ,

xA x x x, x x x y λ 1 λ n

@

A ^-1 x x x, x x x D

¤ p λ 1 λ n q } x x x } ² . (3.3) Q. 3 Etablir l'inégalité de Kantorovich :

} x x x } ⁴ ¤ xA x x x, x x x y @

A ^-1 x x x, x x x D

¤ p λ 1 λ n q ²

4λ ₁ λ _n } x x x } ⁴ , @ x x x P C ⁿ . (3.4)

1

Q. 4 Soit x x x P C ⁿ tel que } x x x } 1.

1. Montrer que

xA x x x, x x x y @

A ^-1 x x x, x x x D 1

¥ 0 (3.5)

2. On pose µ λ ₁ λ _n xA x x x, x x x y , Montrer que µ ¡ 0.

3. Etablir, à partir de (3.3), l'inégalité : xA x x x, x x x y @

A ^-1 x x x, x x x D 1

¤ λ 1 λ n µ ² λ ₁ λ _n

µ . (3.6)

4. En déduire

0 ¤ xA x x x, x x x y @

A ^-1 x x x, x x x D 1

¤ a

λ n a λ 1

2

. (3.7)

Exercice 4

Soit A P M n pCq . On dénit le quotient de Rayleigh de la matrice A :

$ &

%

ρ _A : C ⁿ zt 0 u ÝÑ C v

v

v ÞÝÑ ρ _A p v v v q xA v v v, v v v y x v v v, v v v y

.

Q. 1 Soient α P C et v v v P C ⁿ zt 0 u , calculer ρ _A p αv v v q . On suppose que A est hermitienne, de valeurs propres

λ 1 ¤ λ 2 ¤ . . . ¤ λ n , les vecteurs propres associés p p p 1 , p p p 2 , . . . , p p p n vériant

x p p p i , p p p j y δ ij , @p i, j q P v 1, n w ² .

Pour k P v 1, n w , on note V _k le sous-espace de C ⁿ engendré par les vecteurs p p p _i , i P v 1, k w , et on note V k l'ensemble des sous-espaces de dimension k de C ⁿ . On pose par ailleurs : V ₀ t 0 u et V 0 V ₀ .

Q. 2 Montrer que les valeurs propres de A admettent les caractérisations suivantes, pour k P v 1, n w :

λ _k ρ _A p p p p _k q , (4.1)

λ k max

v P V

v 0

ρ _A p v v v q , (4.2)

λ k min

v K V

v 0

ρ _A p v v v q , (4.3)

λ k min

W P V

max v P W v 0

ρ _A p v v v q , (4.4)

λ k max

W P V

min

v K W v 0

ρ _A p v v v q . (4.5)

Q. 3 Montrer que

t ρ _A p v v v q ; v v v P C ⁿ zt 0 uu r λ ₁ , λ _n s € R . (4.6)

2