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b) On suppose p = 1

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Academic year: 2022

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Mathématiques Générales première année

Introduction aux équations aux dérivées partielles Année 2007-2008

Devoir maison no 3

On se propose de montrer que (pourI =]−1,1[) l’inclusionW1,p(I),→Lp(I)est compacte (ici, 1≤p < ∞).

a) On suppose d’abord 1 < p < ∞. Soit (gn)⊂ Lp(I) une suite telle que gn * g. On pose fn(x) :=

Z x

−1

gn(t)dt, f(x) :=

Z x

−1

g(t)dt. Montrer que fn→f dans Lp(I).

b) On suppose p = 1. Soit (gn) ⊂L1(I) une suite telle que gn * µ ∈ M(I). On pose fn(x) :=

Z x

−1

gn(t)dt, f(x) :=µ([−1, x]). Montrer quefn →f dans L1(I).

c) Conclure.

d) Si p > 1, montrer que l’inclusion W1,p(I) ,→C([−1,1]) est compacte. (Penser à un critère célèbre de compacité.)

e) Retrouver, pour p >1, la conclusion du devoir à partir de la dernière question.

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