Soit E un ensemble fini de n éléments (n > 1) et p un entier (p > 1).

I Dénombrement

1. Liste d’éléments d’un ensemble fini

Soit E un ensemble fini de n éléments (n > 1) et p un entier (p > 1).

Définition 1 : Une suite ordonnée de p éléments de E, non nécessairement distincts, est appelée liste de p éléments de E (ordonnée : l’ordre est important !)

Propriété 1 : Soit E un ensemble fini de n éléments (n > 1).

• Pour tout entier p (p > 1), le nombre de listes de p éléments de E est .... .

• Pour tout entier p tel que 1 6 p 6 n), le nombre de listes de p éléments de E deux à deux distincts est ....

Exemple 1 : Une urne contient 10 boules numérotées de 0 à 9. Combien y a-t-il de tirages possibles de trois boules :

∗ avec remise (la boule tirée est remise dans l’urne avant chaque nouveau tirage) ;

∗ sans remise.

Exemple 2 : Combien peut-on attribuer de numéros de téléphones portables (numéros à 10 chiffres commençant par 07) ?

2. Permutation

Définition 2 On appelle permutation d’un ensemble E de n éléments toute liste de n éléments de E deux à deux distincts. (pas de répétition !)

Exemple 3 : Soit E = {1, 2, 3}. Quelles sont les permutations de E ?

Propriété 2 : Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments (n > 1) est le nombre noté n!

(lire "factorielle n") défini par :

n! = n × (n − 1) × ... × 2 × 1.

Conséquence : Pour tout entier p tel que 1 6 p 6 n), le nombre de listes de p éléments de E deux à deux distincts s’exprime de la façon suivante en utilisant les factorielles :

n(n − 1)...(n − p + 1) = n!

(n − p)!

Exemple 4 La course et le podium : dans une course de 100m, il y a huit partants numérotés de 1 à 8. Sur le

podium, il y aura les trois médaillés (or - argent - bronze). Combien y a-t-il de podiums possibles ?

II Combinaisons

1. Définition

Définition 3 : Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier vérifiant 0 6 p 6 n ; on appelle combi- naison de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments. (l’ordre n’a aucune importance) Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble de n éléments est noté

n p

(lire "p parmi n")

Remarque 1 : Compléter n

1

= ... puis n

n

= ... et n

0

= ...

2. Dénombrer les combinaisons

Théorème 1 : Pour n et p entiers tels que 0 6 p 6 n, on a : n

p

= n(n − 1)...(n − p + 1)

p! = n!

p!(n − p)!

Exemple 5 : Au loto, combien y a-t-il de tirages de 5 numéros parmi 49 ?

Exemple 6 : Dans un jeu de 32 cartes, on choisit 5 cartes au hasard (ces cartes s’appellent une "main").

1. Combien de mains contiennent exactement 2 dames et 1 roi ?

2. Combien de mains contiennent au moins 3 rois ? (c’est à dire 3 rois ou 4 rois)

3. Propriétés des n

p

Propriété 3 :

∗ Pour tous entiers n et p tels que 0 6 p 6 n, on a : n

p

= n

n − p

∗ Pour tous entiers n et p tels que 1 6 p 6 n − 1, on a :

n − 1 p

+

n − 1 p − 1

(relation de Pascal)

III Lois de probabilité

1. Exemple de loi discrète : La loi binomiale

Définition 4 : Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire ayant deux issues contraires de probabilités respectives p et q, avec p + q = 1 (ainsi q = 1 − p)

Exemple 7 :

∗ Lancer d’une pièce équilibrée avec pour issues contraires pile (p = 0.5) et face (q = 0.5)

∗ Tirage d’une boule dans une urne contenant 70 boules blanches et 30 boules vertes → S : "tirer une boule blanche" (p = 0.7) et E = S : "tirer une boule verte" (q = 0.3)

Remarque 2 : L’événement de probabilité p est souvent nommé S pour succès et celui de probabilité q = 1 −p est nommé E pour échec .

Définition 5 : Certaines situations en probabilité consistent en la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (schéma de Bernoulli). La variable aléatoire X à valeurs dans {0, 1, ..., n} qui compte le "nombre de succès" (nombre de fois que S se réalise) suit la loi binomiale de paramètres n et p.

Arbre pour une répétition de 4 épreuves de bernoulli indépendantes :

S

p

S p

p S

p S

S ¯ 1 − p

S ¯ 1 − p

p S

S ¯ 1 − p

S ¯ 1 − p

p S

p S

S ¯ 1 − p

S ¯ 1 − p

p S S ¯ 1 − p

S ¯ 1 − p

S p

p S

p S S ¯ 1 − p

S ¯ 1 − p

p S

S ¯ 1 − p

S ¯ 1 − p

p S

p S

S ¯ 1 − p

S ¯ 1 − p

p S

S ¯ 1 − p

Une issue dans la situation ci-contre est par exemple : S S ¯ SS ¯ ou SSS S ¯ ... etc

Déterminer la loi de probabilité de la variable X qui

compte les succès.

Remarque 3 : La loi binomiale de paramètres n et p est notée B(n, p).

La répétition des n épreuves de Bernoulli peut être décalée dans le temps ou simultanée dés que les événements sont indépendants.

Théorème 2 : Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, p).

• Pour k = 0, 1, ..., n, la probabilité de l’événement (X = k) est n

k

p ^k q ^n−k .

• L’espérance et la variance de X sont E(X) = np et V (X) = npq .

Remarque 4 : La probabilité d’obtenir au moins un succès est calculée par : p(X > 1) soit 1 − p(X = 0) = 1 − q ⁿ (à rapprocher d’exercices déjà vus dans la leçon 6)

Exemple 8 Un Q.C.M comporte 10 questions offrant chacune 3 réponses possibles. On répond complétement au hasard. Quelles sont les probabilités :

∗ d’obtenir 2 réponses exactes ?

∗ d’avoir la "moyenne" (5 réponses ou plus exactes) ?

2. Lois continues : généralités (a) densité et loi de probabilité

Définition 6 : Densité de probabilité

Soit I un intervalle. On appelle densité de probabilité sur I toute fonction f continue et positive sur I telle que :

Z

I

f (t)dt = 1

0 ~i

~j

a b

C f aire = 1 ∗ Si I = [a, b], alors la quantité notée Z

I

f (t)dt désigne sim- plement

Z b

a

f (t)dt = 1.

∗ Si I est un intervalle non borné, par exemple [a, +∞[, alors Z

I

f (t)dt = lim

x→ + ∞

Z x

a

f (t)dt. (lorsqu’elle existe) Exemple 9 :

1. Déterminer un réel α de façon que la fonction f définie sur [0; 1] par f (x) = x + α soit une densité de

probabilité sur [0; 1].

2. Soit f une fonction constante sur un intervalle [a, b] (avec a < b). Quelle doit être la valeur de la constante pour que f soit une densité de probabilité ?

3. Soit λ un réel strictement positif. Démontrer que la fonction f définie sur [0; +∞[ par f (t) = λe ^{− λt} est une densité de probabilité sur [0; +∞[.

Définition 7 : Loi de probabilité

Soit I un intervalle et f une densité de probabilité sur I.

L’application p qui, à tout sous-intervalle [α, β] de I associe la quantité p([α, β]) = Z β

α

f (t)dt est appelée loi de probabilité sur I

Remarque 5 :

1. On a p(I) = 1 et comme [α, β] est inclus dans I et f positive sur I, p([α, β]) ∈ [0, 1].

2. Soit x 0 ∈ I, on a p({x 0 }) = Z x

x

f (t)dt = 0.

3. La définition s’étend à des intervalles non bornés lorsque la limite de l’intégrale existe.

Lois de probabilité particulières :

• Si f est constante sur [a, b] (égale à 1

b − a ), on dit que p est la loi uniforme.

• Si f est de la forme f (t) = λe ^{− λt} sur [0; +∞[, avec λ > 0, on dit que p est la loi exponentielle de paramètre λ.

(b) Variables aléatoires continues. Loi uniforme et Loi exponentielle Définition 8 Loi de probabilité d’une variable aléatoire.

i. On appelle variable aléatoire continue une variable qui prend une infinité de valeurs dans un intervalle I.

ii. On dit qu’une variable aléatoire X, a valeurs dans I, suit une loi de probabilité p lorsque pour tout sous-intervalle [α, β] de I, on a :

p(α 6 X 6 β) = Z β

α

f (t)dt

Remarque 6 :

p(a < X 6 b) = p(a 6 X 6 b) = p(a 6 X < b) = p(a < X < b)

(en effet la probabilité de la réunion de deux événements disjoints est égale à la somme des probabilités de chaque événement)

Exemple 10 :

∗ Cas de loi uniforme sur un intervalle [a, b] :

p(α 6 X 6 β ) = Z β α

1

b − a dt = ...

D’une manière générale, si X suit une loi uniforme sur un intervalle I, alors la probabilité d’un sous- intervalle J est donnée par la formule :

longueur de J longueur de I

∗ Cas de loi exponentielle de paramètre λ > 0 sur [0, +∞[

p(0 6 X 6 x) = Z x 0

λe ^−λt dt = ...

Comme (X > x) = (0 6 X 6 x), on a : p(X > x) = 1 − p(0 6 X 6 x) = e ^{− λx}

Exemple 11 :

1. Dans le journée, le métro passe toutes les 6 minutes à la station n˚14.

On note X le temps d’attente d’une personne à cette station. On suppose que X suit une loi uniforme sur [0; 6].

Quelle est la probabilité que cette personne attende en tre 3 et 5 minutes ?

2. On suppose que la durée de vie d’une voiture suit une loi exponentielle de paramètre 0.1.

a. Calculer la probabilité qu’une voiture dépasse 10 ans de durée de vie.

b. On sait qu’une voiture a déjà 10 ans. Quelle est la probabilité qu’elle dépasse 12 ans de durée de vie ? c. Comparer le résultat précédent avec la probabilité que la durée de vie de la voiture dépasse deux ans.

(c) Fonction de répartition Définition 9 :

Soit X une variable aléatoire, à valeurs dans un intervale I de la forme [a, b] ou [a, +∞[, qui suit une loi de probabilité p de densité f .

On appelle fonction de répartition de X , la fonction F définie sur I par : F (x) = p(X 6 x)

On a donc : F (x) = p(X 6 x) = Z x

a

f (t)dt.

D’après le cours sur l’intégration, F n’est autre que la primitive de f qui s’annule en a : ∀x ∈ I, F ^′ (x) = f (x).

Propriété 4 :

∗ F est croissante sur I car sa dérivée f est positive sur I.

∗ F (a) = 0 et F (b) = 1 si I = [a, b] ou lim

x→ + ∞ F (x) = 1 si I = [a, +∞[.

∗ p(X > x) = 1 − F(x)

∗ Pour h > 0 et x ∈ I avec x + h ∈ I, p(x 6 X 6 x + h) = F (x + h) − F (x).

Exemple 12 : Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ, on a : F (x) = 1 − e ^{− λx} .

3. LOI de DURÉE de VIE sans VIEILLISSEMENT

La durée de vie d’un individu ou d’un objet est une variable aléatoire T à valeurs dans [0; +∞[ où l’événement (T > t) avec t > 0, signifie que l’individu est vivant à l’instant t.

Définition 10 :

On dit que T suit une loi de durée de vie sans vieillissement lorsque la probabilité que l’individu (ou l’objet) soit vivant (ou fonctionne) à l’instant t + h sachant qu’il est vivant (ou qu’il fonctionne) à l’instant t ne dépend pas de son âge t :

p _{(T >t)} (T > t + h) = p(T > h)

Remarque 7 :

La loi s’applique-t-elle aux humains ?

Cette loi s’applique plutôt par exemple aux composants électroniques ou aux noyaux d’atomes radioactifs.

Propriété 5 :

Une variable aléatoire T suit la loi de durée de vie sans vieillissement si et seulement si elle suit une loi exponentielle

(partielle : T suit une loi exponentielle ⇒ T suit la loi de durée de vie sans vieillissement)

4. ESPÉRANCE d’une VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE

Définition 11 : Espérance d’une variable aléatoire continue

Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I.

On appelle espérance de X la quantité :

E(X) = Z

I

tf (t)dt (sous réserve d’existence de l’intégrale si I n’est pas borné)

EXERCICE 1 :

Calculer E(X ) dans la cas de loi uniforme sur I = [a, b] et dans le cas de la loi exponentielle de paramètre λ > 0 sur [0; +∞[. (Réponses : b + a

2 et 1

λ )

5. Comparaison Discret et Continu

DISCRET CONTINU

Univers Ω Intervalle I

Événement E : partie de Ω Événement J : sous-intervalle de I Probabilités p i des issues de Ω Densité de probabilité f

X

i

p i = 1 Z

I

f (t)dt = 1

Espérance d’une v.a discrète X Espérance d’une v.a continue X E(X ) = X

i

x i p i = 1 E(X ) = Z

I

tf (t)dt = 1

IV Adéquation à une loi équirépartie

1. Principe :

Associer une loi de probabilité à une expérience aléatoire nécessite au préalable une expérimentation. En parti- culier, il s’agit de savoir dans ce paragraphe si une distribution expérimentale de fréquences peut-être modélisée par la loi uniforme (équiprobabilité). Pour ce faire, il s’agit d’abord d’étudier un échantillon suffisamment grand et de répartir les observations suivant les diverses valeurs possibles prises par la variable statistique observée.

Par exemple, on a lancé 180 fois un dé. Le tableau suivant résume les résultats obtenus :

x i 1 2 3 4 5 6

n i 26 22 34 41 35 22

2. Mesure de l’écart entre les deux distributions :

Supposons les données expérimentales réparties suivant k valeurs x i avec les fréquences f i = n i

n , où n repré- sente la taille de l’échantillon. Pour l’équiprobabilité, la fréquence de chacune des k variables est naturellement 1

k . Pour évaluer l’ampleur de l’écart, on utilise la quantité d ² définie par :

d ² =

k

X

i=1

f i − 1

k 2

Calcul de d ² avec l’exemple : d ² = ..

3. Recherche d’un seuil de décision

Pour étalonner d ² , on utilise une simulation sur 1000, 5000 voire 10000 échantillons de taille n. En effet la valeur trouvée précédemment est soummise à fluctuation d’échantillonnage, puisque sa valeur varie d’une expérience à l’autre. On note d 9 le neuvième décile et v 19 le dix-neuvième vingtile provenant de la simulation.

Toujours à partir de l’exemple, une simulation de 10000 calculs de d ² pour 10000 échantillons de 180 nombres aléatoires compris entre 1 et 6 a donné les résultats que l’on peut résumer dans le tableau suivant :

min v 1 d 1 Q 1 médiane Q 3 d 9 v 19 max

0.00012 0.00105 0.00154 0.00247 0.00401 0.00611 0.00852 0.01031 0.02802

4. Prise de décision

Si d ² > d 9 , on convient qu’il n’y a pas adéquation entre l’observation et le modèle de la loi uniforme au seuil de 10% (il y a 10% de risque de refuser une adéquation valide).

Si d ² > d 9 , l’expérience n’aura pas montré d’inadaptation avec la théorie au seuil de 10% et on accepte l’idée d’une équirépartition au seuil de 10%.

Avec l’exemple :