une matrice triangulaire sup´erieure S `a diagonale unit´e

Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2008-2009

Licence LM335 2nd semestre

juin 2009

Exercice 1 3 points

SoitAune matrice carr´ee. ´Enoncer une condition surAqui assure qu’il existe – une matrice triangulaire inf´erieure L`a diagonale unit´e (i.e. L<sub>i,i</sub> = 1), – une matrice triangulaire sup´erieure S `a diagonale unit´e,

– une matrice diagonale D telles que

A=LDS.

Exercice 2 6 points On d´efinit la matriceA et le vecteur b

A=



 1 2 2 1

−1 1



, b =



 1 0

−1



.

1. D´eterminer une matrice orthogonale U ∈ M_3,3(R) et une matrice tri- angulaire sup´erieureS ∈ M_3,2(R) telles que A=U S.

2. D´eterminer le vecteur x0 ∈R² tel que

kAx₀−bk₂ ≤ kAx−bk₂, ∀x∈R².

3. Calculer inf

x∈R²

kAx−bk₂.

1

2ème session juin 2009

Exercice 3 5 points

Soient AetB deux matrices r´eelles carr´ees de taillen×n,n∈N^∗ etc∈Rⁿ. On suppose que la matrice A est inversible et que la matrice A⁻¹B a un rayon spectral nul.

1. Montrer que la matrice A−B est inversible.

2. Montrer que la m´ethode it´erative

Ax_k+1 =Bx_k+c, avecx₀ ∈Rⁿ

converge vers l’unique solution du probl`eme (A−B)x=c.

3. Montrer qu’il existe un entier p tel que

k ≥p=⇒xk =x.

Exercice 4 6 points

Soit une matrice `a diagonale strictement dominante.

1. D´emontrer que la m´ethode de Jacobi pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire dont la matrice est A converge.

2. D´emontrer que la m´ethode de Gauss-Seidel converge.

2

2ème session juin 2009