Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2008-2009
Licence LM335 2nd semestre
juin 2009
Exercice 1 3 points
SoitAune matrice carr´ee. ´Enoncer une condition surAqui assure qu’il existe – une matrice triangulaire inf´erieure L`a diagonale unit´e (i.e. Li,i = 1), – une matrice triangulaire sup´erieure S `a diagonale unit´e,
– une matrice diagonale D telles que
A=LDS.
Exercice 2 6 points On d´efinit la matriceA et le vecteur b
A=
1 2 2 1
−1 1
, b =
1 0
−1
.
1. D´eterminer une matrice orthogonale U ∈ M3,3(R) et une matrice tri- angulaire sup´erieureS ∈ M3,2(R) telles que A=U S.
2. D´eterminer le vecteur x0 ∈R2 tel que
kAx0−bk2 ≤ kAx−bk2, ∀x∈R2.
3. Calculer inf
x∈R2
kAx−bk2.
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2ème session juin 2009
Exercice 3 5 points
Soient AetB deux matrices r´eelles carr´ees de taillen×n,n∈N∗ etc∈Rn. On suppose que la matrice A est inversible et que la matrice A−1B a un rayon spectral nul.
1. Montrer que la matrice A−B est inversible.
2. Montrer que la m´ethode it´erative
Axk+1 =Bxk+c, avecx0 ∈Rn
converge vers l’unique solution du probl`eme (A−B)x=c.
3. Montrer qu’il existe un entier p tel que
k ≥p=⇒xk =x.
Exercice 4 6 points
Soit une matrice `a diagonale strictement dominante.
1. D´emontrer que la m´ethode de Jacobi pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire dont la matrice est A converge.
2. D´emontrer que la m´ethode de Gauss-Seidel converge.
2
2ème session juin 2009