LICENCE ANN ´EE 1 Ann´ee 2016-2017 Outils math´ematiques pour la biologie
Examen partiel
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Exercice 1. a) R´esoudre le syst`eme
x−3y= 2 3x+ y= 6
b) Quelles sont les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice A=
1 −3
3 1
.
Exercice 2. Soit B=
1 3 2
−2 −5 −2
1 2 1
. Calculer B−1.
Exercice 3. R´esoudre le syst`eme
x+ 3y+ 2z = 2
−2x−5y−2z = 5 x+ 2y+ z = 7
R´esoudre le syst`eme
x+ 3y+ 2z = 2
−2x−5y−2z = 5 x+ 2y =−7
R´esoudre le syst`eme
x+ 3y+ 2z = 2
−2x−5y−2z = 5 x+ 2y = 7
Exercice 4. On consid`ere la matrice C =
1 1 4 1
.
a) D´eterminer les valeurs propres de C. Pour chacune des valeurs propres, d´eterminer un vecteur propre associ´e.
b) D´eterminer une matriceP et une matrice diagonale D telles que C =P DP−1. c) Calculer P−1.
d) Si n est un entier strictement positif, calculer Cn.
