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Exercice 1 — R´ esoudre les syst` emes lin´ eaires suivants (m´ ethode au choix).

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(1)

Universit´ e Paris XII Licence ´ Economie-Gestion

Math´ ematiques Tronc commun, semestre 3

1. Syst` emes lin´ eaires

Exercice 1 — R´ esoudre les syst` emes lin´ eaires suivants (m´ ethode au choix).

(a)

15x

1

+ 20x

2

+ 10x

3

= 0 4x

1

+ x

3

= 0 (b)

 

 

x

1

+ x

2

− x

3

+ 2x

4

= 0 2x

1

+ 2x

2

− 2x

3

+ 4x

4

= 6

−3x

1

− 3x

2

+ 3x

3

− 6x

4

= −9

−2x

1

− 2x

2

+ 2x

3

− 4x

4

= −6

(c)

x

1

− x

2

+ 3x

3

− x

4

= 0 3x

1

+ 7x

2

+ x

3

+ x

4

= 6 3x

1

+ 2x

2

+ 5x

3

− x

4

= 3

(d)

x

1

+ 6x

2

+ x

3

+ 4x

4

= 9 2x

1

+ 12x

2

+ 2x

3

+ 2x

4

= 3

−x

1

− 6x

2

+ 5x

3

+ x

4

= 4

(e)

 

 

 

 

x + y + 2z = 1 x + 2y + z = 0 3x + 4y + 5z = a 2y + 3z = 2 2x + 5y + 6z = b

Exercice 2 — D´ eterminer, suivant les valeurs du param` etre r´ eel m, le nombre de solutions du syst` eme suivant.

 

 

mx + y + t = m + 1 x + my + z = m − 1 y + mz + t = m + 1 x + z + mt = m − 1

Exercice 3 — Les matrices suivantes sont les matrices des coefficients de syst` emes d’´ equations lin´ eaires. Que pouvez-vous dire, dans chaque cas, du nombre de solutions

(1) si le syst` eme est homog` ene (c.` a.d. si le second membre est nul) ? (2) si le second membre est quelconque ?

1 4 3 2 1 0

 2 1 1 4 0 3

1 4 3 2 1 0 1 1 1

1 4 3 2 1 0 0 7 6

Exercice 4 — On consid` ere la matrice A ˜ =

−2 −3 4 1

1 2 −1 1

1 1 −3 α

o` u α est un nombre r´ eel.

(1) ´ Ecrire le syst` eme lin´ eaire (S) en les inconnues x, y, z dont ˜ A est la matrice augment´ ee.

(2) Donner la matrice A des coefficients de (S).

(3) Calculer, en fonction de α, les rangs de A et de ˜ A. En d´ eduire le nombre de solutions du syst` eme (S).

1

(2)

Exercice 5 — Une entreprise s’est engag´ ee ` a verser net d’impˆ ots 5% de son b´ en´ efice ` a une œuvre de bienfaisance. Elle doit payer un impˆ ot local ´ egal ` a 5% de son b´ en´ efice (apr` es donation aux œuvres de bienfaisance) et un impˆ ot national ´ egal ` a 25% de son b´ en´ efice (apr` es donation et impˆ ot local).

Quels sont les montants de l’impˆ ot local, de l’impˆ ot national et de la donation si : (1) l’entreprise fait un b´ en´ efice avant impˆ ots et donation de 100000 euros ? (2) l’entreprise fait un b´ en´ efice apr` es impˆ ots et donation de 100000 euros ?

Exercice 6 — J’ai le double de l’ˆ age que vous aviez quand j’avais l’ˆ age que vous avez. Quand vous aurez l’ˆ age que j’ai, nous aurons ensemble 63 ans. Quels sont nos ˆ ages respectifs ?

Exercice 7 — On dispose de trois fruits contenant respectivement, par unit´ e : Vitamine A Vitamine B Vitamine C

Citrasperge 1 3 4

Artifraise 2 3 5

Pamplericot 3 0 3

Quelles quantit´ es de chaque fruit doit-on utiliser afin d’obtenir (1) 11 unit´ es de vitamine A, 9 de vitamine B, 20 de vitamine C ? (2) 11 unit´ es de vitamine A, 9 de vitamine B, 14 de vitamine C ?

Exercice 8 — On consid` ere un march´ e ` a trois biens B

1

, B

2

et B

3

. Pour chaque bien B

i

, on note p

i

son prix unitaire, D

i

sa demande et O

i

son offre. On suppose qu’on a

D

1

= 2 − p

1

+ p

2

+ p

3

D

2

= 10 + p

1

− 2p

2

+ p

3

D

3

= 5 + p

1

+ p

2

− p

3

,

O

1

= −2 + p

1

O

2

= −2 + p

2

O

3

= −3 + 2p

3

.

Existe-t-il des valeurs de p

1

, p

2

et p

3

qui r´ ealisent l’´ equilibre, c’est-` a-dire D

i

= O

i

pour tout i ?

Exercice 9 — Pierre et Marie ach` etent deux boˆıtes identiques contenant des feuilles de papier et des enveloppes. Pierre n’´ ecrit que des lettres d’une feuille. Marie ´ ecrit toujours des lettres de trois feuilles.

Quand Pierre a ´ epuis´ e les enveloppes, il lui reste 50 feuilles. Quand Marie a ´ epuis´ e les feuilles, il lui reste 50 enveloppes.

Donner la composition de la boˆıte.

Exercice 10 — Vous payez 10 euros de chocolats avec un billet de 100 F. Le caissier vous rend la monnaie avec des pi` eces de 1 euro, 10 centimes d’euro et 2 centimes d’euro. Il y a au total 13 pi` eces.

Combien de pi` eces de chaque sorte pouvez-vous avoir re¸cu ? Rappel : 100 F = 15,24 euros.

(3)

Universit´ e Paris XII Licence ´ Economie-Gestion

Math´ ematiques Tronc commun, semestre 3

2. Matrices

Exercice 1 — ´ Ecrire la matrice A = (a

ij

) sachant que A est de taille 3 × 5 et a

ij

= i + j − 1.

Exercice 2 — Soit A =

1 2 0 2 1 4 3 1 2

 , B =

3 1 2 0 2 1

, C =

0 1 2 1 0 2 1 3 2

 , D =

1 0 2 4 3 1

.

Effectuer tous les produits et sommes deux ` a deux compatibles de ces matrices.

Exercice 3 — D´ eterminer le rang des matrices suivantes.

4 3 2 1

 1 2 0 0 2 4

2 1 −1 1 0 −1 3 2 −1

1 1 0 1

3 2 −1 3

a 3 −2 0

−1 0 −4 3

1 2 −1 2

5 1 2 3

−1 3 5 1

0 1 2 3

Exercice 4 — On consid` ere les matrices

A =

1 5 −3 2 3 −2 −1 −2

, B =

2 6

3 −1

4 5

2 7

, I

2

=

1 0 0 1

.

(1) Comparer AB et BA.

(2) Quelles lignes et colonnes de A et B faut-il multiplier pour obtenir (a) la premi` ere ligne du produit AB ?

(b) la troisi` eme colonne du produit BA ? (3) Calculer BI

2

. En d´ eduire B

0 1

puis B 1

0

. (4) Calculer B

2 3

et enfin B

0 2 1 3

.

Exercice 5 — V´ erifier sur les matrices A =

1 4 1 0 2 3 1 7 0

 , B =

0 2 1

1 2 −1 3 3 −2

la r´ egle

t

(AB) =

t

B

t

A.

Exercice 6 — Soit A =

1 −1 0 −3

3 −2 1 0

. Calculer A

t

A et

t

A A.

Exercice 7 —

(1) Soit A et B deux matrices. On suppose que A est de taille m × n et que les produits AB et BA sont r´ ealisables. Quelle est la taille de la matrice B ? Montrer que AB et BA sont carr´ ees.

(2) Soit A et B deux matrices. On suppose que le produit AB est r´ ealisable. On suppose que les colonnes 1 et 3 de B sont ´ egales et que la ligne 1 de A est nulle. Que peut-on dire de la matrice AB ?

1

(4)

Exercice 8 — D´ eterminer deux matrices A et B telles que A + B =

1 2 3 4

, A − B =

0 1 2 3

.

Exercice 9 — Trouver une matrice P telle que pour tout (x, y) dans R

2

on ait P x

y

= x

y

.

Exercice 10 — On dit que deux matrices carr´ ees A et B de mˆ eme taille commutent si AB = BA. On pose

A =

1 1 0 1

. (1) Montrer qu’une matrice

B =

x

1

x

2

x

3

x

4

commute avec A si et seulement si ses coefficients x

1

, x

2

, x

3

et x

4

sont solution d’un syst` eme lin´ eaire que l’on explicitera.

(2) R´ esoudre ce syst` eme. En d´ eduire l’ensemble des matrices qui commutent avec A.

(3) Donner un exemple de matrice 2 × 2 qui ne commute pas avec A.

* Exercice 11 — (Cet exercice n´ ecessite la connaissance de la notion de produit scalaire.) Soit u = (u

1

, . . . , u

n

) et v = (v

1

, . . . , v

n

). En disposant l’un en ligne et l’autre en colonne, montrer que le produit scalaire peut s’´ ecrire comme un produit matriciel.

Pour n = 2, montrer qu’on ne change pas la valeur de ce produit en multipliant les deux vecteurs par la matrice

cos θ − sin θ sin θ cos θ

.

* Exercice 12 — D´ eterminer le rang de la matrice suivante.

a b c b c a c a b

Exercice 13 — Une entreprise peut fabriquer deux types d’ordinateurs, l’un dit bas de gamme not´ e BG et l’un dit haut de gamme not´ e HG. Pour produire un BG, il faut 3 unit´ es de composants, 1 unit´ e de travail d’assemblage et 1 unit´ e de recherche et d´ eveloppement ; pour produire un HG, il faut 9 unit´ es de composants, 1 unit´ e de travail d’assemblage et 3 unit´ es de recherche et d´ eveloppement.

(1) L’entreprise re¸coit une commande de 100 BG et 30 HG. Calculer matriciellement les quantit´ es des trois facteurs (composants, travail, recherche) qu’elle devra utiliser pour cette fabrication.

(2) On note C = 75 40 100

la matrice ligne des coˆ uts unitaires (en euros) des trois facteurs, et P = p

BG

p

HG

la matrice ligne des prix de revient des ordinateurs BG et HG. Calculer

sous forme matricielle P en fonction de C, puis le coˆ ut global de la commande.

(5)

Universit´ e Paris XII Licence ´ Economie-Gestion

Math´ ematiques Tronc commun, semestre 3

3. Matrices carr´ ees

Exercice 1 — Les matrices suivantes sont-elles inversibles ? Si oui, calculer leur inverse.

A =

0 1 1 0

B =

5 −4 2 −1

C =

5 0 2

−3 2 0

7 0 3

 D =

1 0 2

2 1 −1

3 2 1

E =

0 1 1 1 0 2 1 4 0

 F =

3 4 2 0 2 1 0 0 1

 G =

0 1 1 2

1 −1 1 2

0 3 1 3

1 0 −1 2

H =

1 2 3 4 4 8 1 3 2 4 7 1 3 6 8 9

Exercice 2 — Soit

A =

−9 6 −27

6 −4 −22

−27 −22 −1

 , B =

4 −5 2

−5 6 3

2 3 0

 .

Calculer AB, A

−1

et B

−1

.

Exercice 3 — Pour quelles valeurs de α ∈ R la matrice

α 1 0 1

1 α 1 0

0 1 α 1

1 1 1 1

est-elle inversible ?

Exercice 4 — Soit A =

1 3 5 7

et B =

1 1 1 1

. Comparer (A + B)

2

et A

2

+ 2AB + B

2

.

Exercice 5 — On d´ efinit la trace d’une matrice carr´ ee A (et on la note tr A) comme ´ etant la somme de ses ´ el´ ements diagonaux.

(1) Montrer que tr(AB) = tr(BA).

(2) En d´ eduire que pour toute matrice A et pour toute matrice inversible B on a tr(B

−1

AB) = tr A.

Exercice 6 — Soit A =

2 1 5 −2

.

(1) Calculer A

2

. En d´ eduire que A est inversible et calculer son inverse.

(2) Calculer A

n

pour n ∈ N .

* Exercice 7 — On consid` ere l’ensemble E des matrices de la forme

a b

−b a

o` u a et b sont deux nombres r´ eels.

(1) Montrer que la somme de deux ´ el´ ements de E est un ´ el´ ement de E (on dit que E est stable pour l’addition).

(2) Montrer que tout ´ el´ ement T de E peut s’´ ecrire sous la forme T = aI

2

+ bJ o` u J est une matrice que l’on pr´ ecisera.

(3) Calculer J

2

.

(4) Montrer que le produit de deux ´ el´ ements de E est un ´ el´ ement de E.

(5) Montrer que pour tout ´ el´ ement non nul T de E il existe un ´ el´ ement U de E tel que T U = U T = I

2

.

1

(6)

* Exercice 8 — L’exponentielle de matrices. On rappelle que pour tout r´ eel x on a e

x

= exp x =

+∞

X

k=0

x

k

k! = lim

n→+∞

n

X

k=0

x

k

k! .

Soit A une matrice carr´ ee de taille n. On pose A

0

= I

n

et pour n ∈ N on pose S

n

=

n

X

k=0

A

k

k! .

Si la suite matricielle (S

n

)

n∈N

admet une limite quand n tend vers +∞ (c’est-` a-dire si tous les coeffi- cients admettent une limite), on pose

e

A

= exp A =

+∞

X

k=0

A

k

k! = lim

n→+∞

S

n

.

(1) Premier exemple. On pose A =

13

1 1 1 1 1 1 1 1 1

. Pour tout k ∈ N , calculer A

k

. Montrer que e

A

existe et la calculer.

(2) Deuxi` eme exemple. On pose A =

0 1 2 0 0 3 0 0 0

.

(a) Calculer A

2

et A

3

. En d´ eduire A

k

pour k > 4. Montrer que e

A

existe et la calculer.

(b) Montrer que e

−A

existe et la calculer.

(c) Calculer e

A

e

−A

. En d´ eduire que e

A

est inversible et en d´ eduire (e

A

)

−1

. (3) Troisi` eme exemple. On pose A =

λ

1

0 0 0 λ

2

0 0 0 λ

3

 o` u λ

1

, λ

2

et λ

3

sont trois r´ eels. Pour tout

k ∈ N, calculer A

k

. Montrer que e

A

existe et la calculer.

(7)

Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion

Math´ematiques Tronc commun, semestre 3

4. D´eterminants

Exercice1 — SoitA=

2 −2

1 4

etB =

3 4 1 2

. Calculer les d´eterminants deA,B,AB,BAet A+B.

V´erifier que det(AB) = det(BA) = det(A) det(B) et que det(A+B)6= det(A) + det(B).

Exercice2 — SoitA= (aij) et B= (bij) deux matrices carr´ees de taille 2. CalculerAB et BA. V´erifier que det(AB) = det(BA) = det(A) det(B).

Exercice3 — Calculer

det

3 0 1

2 4 2

1 2 −1

par les deux m´ethodes suivantes :

(1) en d´eveloppant le long de la ligne ou la colonne de votre choix, (2) apr`es un pivot de Gauss.

Exercice4 — Calculer les d´eterminants des matrices suivantes (m´ethode au choix).

A=

1 0 3

2 0 4

3 −1 1

 B =

2 3 1 2 5 1 4 6 2

 C=

0 a 0 0 0 b c 0 0

 D=

1 0 3 0 2 4 0 0 1

E=

2 0 0 2 5 0 4 6 2

 F =

0 0 3 0 4 1 5 1 0

 G=

x x+ 1 x+ 2 x+ 1 x+ 2 x+ 3 x+ 2 x+ 3 x+ 4

H =

1 −1 4 −2

0 2 2 3

1 5 1 0

3 0 0 0

 J =

0 0 0 4

0 0 2 −1

0 3 2 1

−5 4 −1 1

 K=

a 0 b 0

0 a 0 b

c 0 d 0

0 c 0 d

* Exercice5 —

(1) Montrer que pour toute matrice carr´eeA le nombre det(AtA) est positif ou nul.

(2) Soit A une matrice antisym´etrique (c’est-`a-dire telle que tA = −A) de taille impaire. Montrer que detA= 0.

Exercice6 — Montrer que pour toute matrice inversibleBet pour toute matriceAon a det(B−1AB) = det(A).

Exercice7 — On consid`ere la matrice

A=

2 0 1

1 2 0

2 −1 2

.

(1) Calculer la matrice des cofacteurs (ou comatrice) deAet le d´eterminant deA.

(2) En d´eduire queA est inversible et d´eterminer son inverse.

1

(8)

(3) En d´eduire l’ensemble des solutions de chacun des syst`emes suivants.

2x+z = 0 x+ 2y = 0 2x−y+ 2z = 0

2x+z = 0 x+ 2y = 1 2x−y+ 2z = 1 Exercice8 — Mˆemes questions qu’`a l’exercice pr´ec´edent avec la matrice

B=

1 4 1

−1 0 1

0 2 3

.

Exercice9 — Pour quelles valeurs du r´eel λles matrices suivantes sont-elles inversibles ? A=

1−λ 0 3

0 2−λ 4

0 0 1−λ

 B=

2−λ 1 2

4 2−λ 4

2 1 2−λ

Exercice10 — Calculer

1= det

1 +a 1 1

1 1 +b 1

1 1 1

, ∆2= det

1 +a 1 0

1 1 +b 0

1 1 c

.

En d´eduire

3= det

1 +a 1 1

1 1 +b 1

1 1 1 +c

.

* Exercice11 —(Cet exercice n´ecessite des connaissances sur les polynˆomes.) On consid`ere le d´eterminant

D(x) = det

1 a a2 a3 1 b b2 b3 1 c c2 c3 1 x x2 x3

o`ua,bet csont trois r´eels distincts.

(1) Montrer queD(x) est un polynˆome de degr´e au plus 3 en x.

(2) Montrer queD(a) =D(b) =D(c) = 0. En d´eduire qu’il existe une constantektelle que pour toutxon aitD(x) =k(x−a)(x−b)(x−c).

(3) Montrer que pour tout xon aD(x) = (a−b)(a−c)(b−c)(x−a)(x−b)(x−c).

* Exercice12 — Calculer

det

1 sin2α cos2α 1 sin2β cos2β 1 sin2γ cos2γ

, det

cosα −sinα cosβ −sinβ sinα cosα sinβ cosβ cosθ −sinθ cosϕ −sinϕ sinθ cosθ sinϕ cosϕ

 .

* Exercice13 — SoitAune matricem×m,Bune matricem×netCune matricen×n. On forme la matrice triangulaire par blocs

M =

A B

0 C

. Montrer que det(M) = det(A) det(C).

Indication : proc´eder par r´ecurrence surm.

(9)

Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion

Math´ematiques Tronc commun, semestre 3

5. Espaces vectoriels

Exercice1 —

(1) Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R? E1={0} E2=Z E3=R+ E4=R (2) Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R2 ?

E5={(x, y)∈R2|x+y= 0} E6={(x, y)∈R2|x+y= 1}

E7={(x, y)∈R2|x2+y2=a} (a∈R) E8={(x, y)∈R2|xy= 0} E9={(x, y)∈R2|x= 0}

(3) Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R3 ?

E10={(x, y, z)∈R3|x+y= 0} E11={(x, y, z)∈R3|x+y+z= 0}

E12={(x, y, z)∈R3|x+ 2y= 0, x−3z= 0}

E13={(x, y, z)∈R3|xyz= 0} E14={(x, y, z)∈R3|x+y+z= 0, x2−z2= 1}

Exercice2 — On consid`ere les vecteursu= (1,2,3)∈R3 etv= (3,2,1)∈R3. (1) Montrer queuetv sont lin´eairement ind´ependants.

(2) Donner un vecteur wtel queu,v etwsoient lin´eairement d´ependants.

(3) Donner un vecteur wtel queu,v etwsoient lin´eairement ind´ependants.

Exercice3 — On consid`ere les vecteurs suivants de R2:

v1= (3,1), v2= (2,3), v3= (0,2), v4= (0,−1), v5= (3,2), v6= (4,−1), v7= (5,−2), ainsi que les familles de vecteurs suivantes :

F= (v1, v2), G= (v3, v4), H= (v5, v6, v7).

D´eterminer les familles libres, les familles g´en´eratrices deR2 et les bases deR2.

Exercice4 — On consid`ere les vecteurs suivants de R3:

u= (1,−1,1), v= (0,−1,2), w= (1,−2,3), x= (1,3,4), ainsi que les familles de vecteurs suivantes :

F= (u, v), G= (u, v, w), H= (u, v, x), I= (u, v, w, x).

D´eterminer les familles libres, les familles g´en´eratrices deR3 et les bases deR3.

Exercice5 — Soit

F ={(x, y, z, t)∈R4|x−z=a, y−t=b}

o`ua et b sont deux r´eels donn´es. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur aet b pour queF soit un sous-espace vectoriel deR4. D´eterminer alors la dimension deF et une base deF.

1

(10)

Exercice6 —

(1) SoitF etGdeux sous-espaces vectoriels deRn. Montrer queF∩Gest encore un sous-espace vectoriel.

(2) On se place dans R2 et on consid`ere les droites vectorielles D1 = {(x, y) ∈ R2|x+y = 0} et D2 = {(x, y)∈R2|x=y}. Quelle est l’intersection de ces deux droites ? Leur union est-elle un sous-espace vectoriel ?

Exercice7 — On consid`ere les vecteurs suivants de R3:

v1= (1,2,3), v2= (2,−1,1), v3= (1,0,1), v4= (0,1,1).

Montrer que Vect(v1, v2) = Vect(v3, v4).

Exercice8 — On consid`ere les vecteurs suivants de R4:

v1= (0,1,2,3), v2= (3,2,1,0), v3= (1,1,1,1).

Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’un vecteur (x, y, z, t)∈R4soit un ´el´ement du sous-espace engendr´e parv1,v2 etv3.

Exercice9 — Dans R4, soit

E={(x, y, z, t)∈R4|x−2y+z= 0, z=−2x}

etF le sous-espace engendr´e parv1= (1,2,1,2),v2= (−2,0,3,4) etv3= (4,3,−6,−7).

(1) Montrer queE est un sous-espace vectoriel deR4. En d´eterminer une base et la dimension.

(2) D´eterminer une base et la dimension de F. (3) D´eterminer une base et la dimension de E∩F.

Exercice10 — D´eterminer, en fonction du r´eelα, la dimension du sous-espace engendr´e par les vecteurs deR4 suivants.

v1= (α,1,1,1), v2= (1, α,1,1), v3= (1,1, α,1), v4= (1,1,1, α).

* Exercice11 —

(1) On consid`ere les matrices

A11=

1 0

0 0

, A12=

0 1

0 0

, A21=

0 0

1 0

, A22=

0 0

0 1

.

Montrer que (A11, A12, A21, A22) est une base de l’espace vectorielM22 des matrices carr´ees de taille 2.

En d´eduire la dimension deM22.

(2) Montrer que l’ensemble de E des matrices sym´etriques de taille 2 est un sous-espace vectoriel deM22. D´eterminer une base deE et en d´eduire la dimension deE.

(3) G´en´eraliser les r´esultats pr´ec´edents aux matrices carr´ees de taillenet aux matrices sym´etriques de taille n.

* Exercice 12 — On consid`ere l’espace vectorielR[X] des polynˆomes `a coefficients r´eels. On rappelle que le degr´e d’un polynˆomeP, not´e degP, est le plus grand exposant apparaissant dans le polynˆome : si P(X) = adXd+ad−1Xd−1+· · ·+a1X+a0 avecad6= 0, alors degP =d(on convient par ailleurs que deg 0 =−∞).

(1) Montrer que siPetQsont deux polynˆomes et queλest un r´eel, alors deg(P+Q)6degP, deg(P+Q)6 degQet deg(λP)6degP. En d´eduire que le degr´e d’une combinaison lin´eaire de polynˆomesP1, . . . , Pk

est inf´erieur ou ´egal au maximum des degr´es desPi.

(2) En d´eduire, en raisonnant par l’absurde, que R[X] ne poss`ede pas de base consitu´ee d’un nombre fini de polynˆomes.

(11)

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Math´ematiques Tronc commun, semestre 3

6. Applications lin´eaires

Exercice1 — Soit

E={(x, y, z)∈R3|x+y+z= 0}.

(1) Montrer queE est un sous-espace vectoriel deR3. En donner une base et la dimension.

(2) Soit A=

1 1 1 0 0 0

. Que repr´esenteE pour la matrice A? D´eterminer ImA et une base de ImA.

V´erifier sur Ale th´eor`eme du rang.

Exercice2 — Soit l’applicationf :R3→R3d´efinie par

f(x, y, z) = (2x−z, x+y, x−y+z).

(1) V´erifier quef est lin´eaire.

(2) ´Ecrire la matrice def dans la base canonique deR3.

(3) L’applicationf est-elle bijective ? Si oui, d´eterminer son application r´eciproquef−1. Si non, d´eterminer son noyau et son image.

Exercice3 — Soit l’application lin´eairef :R3→R2 d´efinie par f(x, y) = (x+y+z, x−2y−z).

(1) ´Ecrire la matriceA def dans la base canonique de R3 au d´epart et dans la base canonique deR2 `a l’arriv´ee.

(2) L’application f peut-elle ˆetre bijective ? (Cette question ne n´ecessite aucun calcul.) (3) Calculer le noyau def. En d´eduire, en utilisant le th´eor`eme du rang, que f est surjective.

Exercice4 — Soit l’application lin´eairef :R3→R3 d´efinie par

f(x, y, z) = (x+z, x−y+z,−x+y+z).

(1) ´Ecrire la matriceAdef dans la base canonique deR3. (2) Montrer queAest inversible et calculer son inverse.

(3) D´eterminer sans calcul le noyau def.

(4) L’application f est-elle bijective ? Si oui, d´eterminer son application r´eciproque f−1.

Exercice5 — Soit

M =

2 4 4 2

0 2 −2 2

3 0 2 0

4 3 3 2

 .

(1) ´Ecrire l’application lin´eairef :R4→R4 dontM est la matrice dans la base canonique.

(2) Donner une base de ImM et une base de KerM. V´erifier sur M le th´eor`eme du rang.

1

(12)

Exercice6 — Soit

A=

2 −1 −1

−1 2 −1

−1 −1 2

.

D´eteminer le rang de A. Trouver une base de ImAet une base de KerA. Montrer que ImA∩KerA={0}.

Exercice7 — On consid`ere l’application lin´eairef :R3→R3 donn´ee par f(x, y, z) = (x−2y+ 2z, z,−2x+ 3y−z).

On posev1= (1,1,0),v2= (−1,0,1),v3= (1,1,1).

(1) ´Ecrire la matriceAde l’application f dans la base canonique (e1, e2, e3).

(2) Montrer que (v1, v2, v3) est une base deR3.

(3) Exprimer f(v1),f(v2) et f(v3) en fonction de v1,v2 et v3. En d´eduire la matriceB def dans la base (v1, v2, v3).

(4) Exprimerf3(v1),f3(v2) etf3(v3) en fonction dev1,v2et v3. Que peut-on en d´eduire sur l’application f3 ? En d´eduire sans calcul l’expression de la matriceA3.

Exercice8 — On consid`ere l’application lin´eairef :R2→R2 donn´ee par f(x, y) = (5x−2y,8x−5y).

(1) ´Ecrire la matrice de l’applicationf dans la base canonique (e1, e2).

(2) Soitv1= (4,1),v2= (7,−2) etv3= (−8,−2). Montrer que (v1, v2) est une base deR2mais que (v1, v3) n’en est pas une.

(3) ´Ecrire la matrice def dans la base (v1, v2).

(4) Exprimerf(v1) etf(v2) en fonction dev1 et v2. (5) Exprimerf(v3) en fonction dev1et v2.

(6) Exprimerf(v3) en fonction dee1 ete2. (7) Est-ce que (f(v1), f(v2)) est une base deR2?

* Exercice9 — Montrer qu’une matriceAde taille 2×2 transforme le carr´e [0,1]×[0,1] en un parall´elogramme d’aire|det(A)|.

* Exercice10 — DansR3, on notefθ la rotation d’angleθautour de l’axexetgθla rotation d’angleθautour de l’axey.

(1) Montrer quefθ et gθsont des endomorphismes deR3.

(2) ´Ecrire les matrices defθ et degθ dans la base canonique deR3. (3) V´erifier quefθ1◦fθ2 =fθ12 etgθ1◦gθ2=gθ12.

(4) Calculer les matrices defθ1◦gθ2 et degθ2◦fθ1. La composition est-elle commutative ?

* Exercice11 — On noteM22 l’espace vectoriel des matrices carr´ees de taille 2.

(1) Montrer que l’application f : M22 → M22 d´efinie par f(A) = tA est lin´eaire. Est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?

(2) ´Ecrire la matrice M de l’application f dans la base (A11, A12, A21, A22) d´efinie `a l’exercice 11 de la feuille de TD “Espaces vectoriels”.

(3) Que peut-on dire de f◦f ? En d´eduireM2 sans calcul.

(13)

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Math´ ematiques Tronc commun, semestre 3

7. Changements de bases

Exercice 1 — On consid` ere l’application lin´ eaire f : R

3

→ R

3

donn´ ee par f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z).

(1) ´ Ecrire la matrice de l’application f dans la base canonique (e

1

, e

2

, e

3

).

(2) Soit v

1

= (0, 1, 2), v

2

= (1, 2, 0) et v

3

= (2, 0, 1). Montrer que (v

1

, v

2

, v

3

) est une base de R

3

. (3) ´ Ecrire la matrice de f dans la base (v

1

, v

2

, v

3

).

(4) Exprimer f (v

1

), f(v

2

) et f (v

3

) en fonction de v

1

, v

2

et v

3

.

(5) Quelles sont les coordonn´ ees du vecteur w = (1, 2, 3) dans la base (v

1

, v

2

, v

3

) ? En d´ eduire une expression de w en fonction de v

1

, v

2

et v

3

.

Exercice 2 — Soit la famille C = (u

1

, u

2

, u

3

) o` u u

1

= (1, 0, 0), u

2

= (1, 1, 0) et u

3

= (1, 1, 1). Montrer que C est une base de R

3

. ´ Ecrire la matrice de passage de la base canonique ` a la base C et calculer son inverse.

Exercice 3 — Soit α ∈ R. On pose v

1

= (1, 1, 1), v

2

= (1, α, 1), v

3

= (0, 1, 1).

(1) Trouver tous les r´ eels α tels que (v

1

, v

2

, v

3

) soit une base de R

3

.

(2) On suppose que cette condition est r´ ealis´ ee. ´ Ecrire les coordonn´ ees du vecteur w = (1, 2, 3) dans la base (v

1

, v

2

, v

3

).

Exercice 4 — On consid` ere les vecteurs suivants : v

1

= (1, 2) et v

2

= (2, 1).

(1) Montrer que (v

1

, v

2

) est une base de R

2

.

(2) Soit l’application lin´ eaire f : R

2

→ R

2

donn´ ee par f (x, y) = (x + y, x − y).

(a) ´ Ecrire la matrice de l’application f dans la base canonique (e

1

, e

2

).

(b) ´ Ecrire la matrice de l’application f dans la base (v

1

, v

2

).

(3) On consid` ere maintenant l’application lin´ eaire g : R

2

→ R

2

dont la matrice dans la base (v

1

, v

2

) est

G =

1 1

0 1

.

(a) Soit H la matrice de g dans la base canonique. Donner une relation entre G, H et la matrice de passage de la base canonique ` a la base (v

1

, v

2

).

(b) En d´ eduire H.

(c) Calculer g(x, y).

1

(14)

Exercice 5 — On consid` ere les vecteurs suivants : v

1

= (2, 4), v

2

= (3, 5), w

1

= (1, 0), w

2

= (1, 1).

(1) Montrer que (v

1

, v

2

) et (w

1

, w

2

) sont des bases de R

2

. (2) Soit u le vecteur de coordonn´ ees

1

2

dans la base (v

1

, v

2

). Quelles sont les coordonn´ ees de u dans la base (w

1

, w

2

) ?

* Exercice 6 — On d´ efinit le produit scalaire de deux vecteurs x = (x

1

, . . . , x

n

) ∈ R

n

et y = (y

1

, . . . , y

n

) ∈ R

n

par

hx, yi = x

1

y

1

+ · · · + x

n

y

n

.

(1) On note X et Y les matrices-colonnes de x et y dans la base canonique de R

n

. Exprimer hx, yi sous forme d’un produit matriciel.

(2) Soit

u

1

= (cos θ, sin θ, 0),

u

2

= (− sin θ cos ϕ, cos θ cos ϕ, sin ϕ), u

3

= (sin θ sin ϕ, − cos θ sin ϕ, cos ϕ).

Montrer que hu

i

, u

j

i = 1 si i = j et que hu

i

, u

j

i = 0 si i 6= j. Montrer que U = (u

1

, u

2

, u

3

) est une base de R

3

.

(3) Donner la matrice de passage M de la base canonique de R

3

` a la base U .

(4) Soit v un vecteur de coordonn´ ees (v

1

, v

2

, v

3

) dans la base canonique. Quelles sont les coor- donn´ ees de v dans la base U ?

(5) Calculer M

t

M . En d´ eduire M

−1

.

(6) Soit w un vecteur de coordonn´ ees (w

1

, w

2

, w

3

) dans la base U . Quelles sont les coordonn´ ees de w dans la base canonique ?

* Exercice 7 — On consid` ere les vecteurs u

1

= (1, 2, 2, 2), u

2

= (2, 2, −1, −2) et u

3

= (2, −1, 2, −2).

(1) V´ erifier que ces vecteurs sont orthogonaux deux ` a deux, c’est-` a-dire que hu

i

, u

j

i = 0 si i 6= j.

(2) Donner un vecteur u

4

qui soit orthogonal aux trois premiers.

(3) Donner les formules de passage de la base canonique de R

4

` a la base (u

1

, u

2

, u

3

, u

4

) et r´ ecipro-

quement.

(15)

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Math´ematiques Tronc commun, semestre 3

8. Valeurs propres et vecteurs propres

Exercice 1 — Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonal- isables ? Trigonalisables ?

A=

5 −2 8 −2

B=

5 −2 8 −3

C=

5 −2 8 −5

D=

1 2 3 0

E=

0 1

−1 0

F =

1 2 1 1

G=

0 1

−1 5

H =

1 1 0 a

J =

1 a 0 1

K=

1 1 1 a

L=

1 0 2 0 5 0 3 0 2

 M =

1 1 1 1 1 1 1 1 1

 N =

4 1 1 2 4 1 0 1 4

 P =

1 1 1

0 −1 0

−3 0 1

Q=

2 −5 −3

−1 −2 −3

3 15 12

 R=

3 −1 0

−1 2 −1

0 −1 3

 S=

4 6 0

−3 −5 0

−3 −6 −5

 T =

1 2 −12

−1 −2 6

0 0 2

U =

2 0 4

3 −4 12 1 −2 5

 V =

4 −2 2

0 1 0

1 0 1

 W =

1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1

Exercice2 — Diagonaliser la matrice

A=

1 1 1 0 2 2 0 0 3

.

En d´eduireAn pourn∈N.

Exercice3 — On consid`ere l’application lin´eairef :R3→R3 donn´ee par

f(x, y, z) = (−2x−4y+ 4z,7x+ 12y−7z,7x+ 10y−5z).

(1) ´Ecrire la matrice de l’applicationf dans la base canonique (e1, e2, e3).

(2) Soit v1= (1,0,1),v2= (0,1,1) etv3= (−1,1,1). Montrer que (v1, v2, v3) est une base deR3. (3) ´Ecrire la matrice def dans la base (v1, v2, v3).

(4) Exprimerf(v1),f(v2) etf(v3) en fonction dev1,v2 etv3. (5) En d´eduire que l’endomorphismef est diagonalisable.

Exercice4 — On consid`ere les matrices A=

11 38 10

−3 −10 −3

6 22 7

, B=

9 42 9

−4 −19 −4

8 38 8

.

(1) Montrer queAet B sont diagonalisables dans lamˆeme base.

(2) En d´eduire queA etB commutent (c’est-`a-dire queAB=BA).

1

(16)

Exercice5 — Montrer que AettAont les mˆemes valeurs propres.

* Exercice6 — On rappelle que sixest un r´eel alors exp(x) =P+∞

n=0 xn

n!. Par analogie, siA est une matrice carr´ee on d´efinit (avec la conventionA0= I)

exp(A) =

+∞

X

n=0

1 n!An. (Voir l’exercice 8 de la feuille de TD “Matrices carr´ees”.)

(1) On suppose que A est diagonalisable : P−1AP =D avec D diagonale. Donner la diagonalisation de An.

(2) En d´eduire une expression de exp(A) faisant intervenir les exponentielles des valeurs propres deA.

(3) Application : calculer

exp 3 0

1 2

.

Exercice7 — SoitA une matrice carr´ee de taillen. Soitλune valeur propre deA.

(1) Montrer queλ2est valeur propre de A2.

(2) Montrer que siAest inversible, alors λ6= 0 et λ1 est valeur propre deA−1. (3) Montrer queλ+ 1 est valeur propre deA+ In.

Exercice8 — Poura∈Ron pose

M(a) =

6 2 0

2 3 0

a2−7a a−7 a

.

(1) Pour quelles valeurs deala matriceM(a) est-elle diagonalisable ? (2) CalculerM(2)n pour tout entier naturel n.

Exercice9 — Soit

A=

5 −1 −1

2 2 −1

2 −1 2

. (1) (a) Trouver les valeurs propres de A.

(b) La matriceA est-elle inversible ? (c) Est-elle diagonalisable ?

(2) On pose B=A−3I3. (a) CalculerB2.

(b) En d´eduire, pour tout entier naturel n, An en fonction den.

(17)

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Math´ematiques Tronc commun, semestre 3

9. Suites r´ecurrentes

Exercice1 — On consid`ere la relation de r´ecurrence

xn+1=−2xn+32yn

yn+1=−3xn+52yn. (1) ´Ecrire cette relation sous forme matricielle.

(2) D´eterminer la solution g´en´erale.

(3) On suppose que x0 = 0 et y0 = −1. Calculer xn et yn en fonction de n. Quel est le comportement asymptotique dexn et deyn quand n→+∞?

(4) Mˆeme question avecx0= 1 ety0= 1.

(5) Y a-t-il un vecteur d’´equilibre non nul ?

Exercice 2 — On note πn le prix `a l’ann´ee n d’un produit donn´e. La quantit´e demand´ee d´epend de ce prix selon la relation Dn = 220−0.4πn, alors que la quantit´e produite d´epend du prix de l’ann´ee pass´ee selon la relation Pn = 0.6πn−1−30. On suppose qu’en l’an 2000 on a fix´e le prix `a 245 euros et que, chaque ann´ee, l’offre est ´egale `a la demande.

(1) Donner une relation entre πn et πn−1. (2) En d´eduireπn en fonction den.

(3) Y a-t-il un prix d’´equilibre ?

Exercice3 — La vie du lapin comporte deux p´eriodes : jeune lapin et vieux lapin. Un jeune lapin au tempsn devient vieux au tempsn+ 1, et donne naissance (en moyenne) a 1 jeune au tempsn+ 1. Un lapin vieux au tempsnmeurt au tempsn+ 1, apr`es avoir donn´e naissance `a deux jeunes (en moyenne). On note respectivement jn et vn le nombre de jeunes lapins et de vieux lapins au tempsn.

(1) Exprimerjn+1 en fonction dejn etjn−1. (2) On pose

Jn= jn

jn−1

.

Quelle ´equation lieJn etJn+1?

(3) On supposej0= 2 etv0= 0. D´eterminerjn en fonction den.

Exercice4 — Trois produits de consommation courante A1,A2 et A3 sont en concurrence sur le march´e. Au 1er janvier 2000, une enquˆete r´ealis´ee sur un ´echantillon repr´esentatif de consommateurs a donn´e les r´esultats suivants : 30% des personnes int´erog´ees ont d´eclar´e consommerA1, 50%A2et 20%A3. Ces valeurs seront not´ees respectivementp0,q0 etr0, et on appellera((´etat initial du march´e))le vecteurV0= (p0, q0, r0)∈R3.

Les fabricants du produitA1 lancent une campagne publicitaire d’un mois le 1er janvier 2000. Une enquˆete r´ealis´ee le 1er f´evrier 2000 sur le mˆeme ´echantillon a donn´e les r´esultats suivants :

– parmi les clients deA1 au 1er janvier, – 80% continuent d’acheterA1, – 10% deviennent acheteurs deA2, – 10% deviennent acheteurs deA3,

1

(18)

– parmi les clients deA2 au 1er janvier, – 60% continuent d’acheterA2, – 30% deviennent acheteurs deA1, – 10% deviennent acheteurs deA3, – parmi les clients deA3 au 1er janvier,

– 70% continuent d’acheterA3, – 20% deviennent acheteurs deA1, – 10% deviennent acheteurs deA2.

(1) On note V1= (p1, q1, r1) l’´etat du march´e au 1er f´evrier 2000. Montrer qu’il existe une matrice carr´ee M telle queV1=M V0. Se peut-il que l’´etat du march´e au 1er f´evrier soit le mˆeme qu’au 1er janvier ? (2) On suppose que la campagne publicitaire continue et que, mois par mois, ses effets restent identiques `a

ceux du premier mois. On noteVn= (pn, qn, rn) l’´etat du march´e apr`esnmois de campagne publicitaire.

ExprimerVn en fonction deM et deVn−1. (3) CalculerVn.

(4) Quel est l’´etat du march´e quandn→+∞?

Exercice 5 — Dans un mod`ele ´economique, pour l’ann´ee n, on note Cn la consommation, Yn le revenu, In

l’investissement et G les d´epenses gouvernementales d’un pays (G ne d´epend pas de n). Ces quantit´es sont reli´ees par les ´equations

Cn−0.9Yn =b

In−0.09Yn= 0.002Yn−1+e

−Cn−In+Yn=G.

(1) D´eterminer l’´equation reliantYn `aYn−1.

(2) ´Etudier, en fonction deb,eet G, l’´evolution deYn.

Exercice6 — On suppose que deux quantit´es d´ependant du tempsxnetyn (n∈N) sont li´ees par les relations xn+1=−yn

yn+1=xn+ 5yn,

sachant quex0= 1 ety0 =−2. Calculerxn etyn en fonction den. Quel est leur comportement asymptotique (lorsquen→+∞) ?

Exercice7 — D´eterminer les suites (xn), (yn) et (xn) qui v´erifient la relation de r´ecurrence

xn+1= 2xn+ 4zn yn+1= 3xn−4yn+ 12zn zn+1=xn−2yn+ 5zn.

Exercice8 — D´eterminer les suites (xn), (yn) et (xn) qui v´erifient la relation de r´ecurrence

xn+1= 2xn

yn+1 =−3xn−yn+ 3zn

zn+1= 3xn+ 3yn−zn

avecx0=y0=z0= 1. Quel est leur comportement asymptotique quandn→+∞?

* Exercice9 — ´Etudier graphiquement l’´evolution deun+1=u3n−un en fonction de la valeur initialeu0.

(19)

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Math´ ematiques Tronc commun, semestre 3

10. ´ Equations diff´ erentielles

Rappel : int´ egration par parties. Si u et v sont des fonctions de classe C

1

, alors Z

u(t)v

0

(t)dt = u(t)v(t) − Z

u

0

(t)v(t)dt + c, c ∈ R.

Exemple : calcul de la primitive de ln(t). On pose u(t) = ln(t) et v

0

(t) = 1, d’o` u u

0

(t) =

1t

et v(t) = t (plus une constante que l’on peut choisir nulle), et on obtient R

ln(t)dt = t ln(t) − t + c, c ∈ R .

Exercice 1 — Calculer les primitives des fonctions suivantes.

f

1

(t) = e

cos 2t

sin 2t f

2

(t) = t

2

e

t3

f

3

(t) = 1

15 (cos(7t + 3))

8

sin(7t + 3) f

4

(t) = te

t

f

5

(t) = t

2

e

t

f

6

(t) = t

α

ln(t) α 6= −1

f

7

(t) = ln(t) t

Indication : proc´ eder par int´ egration par parties pour f

4

, f

5

, f

6

.

Exercice 2 — R´ esoudre les ´ equations diff´ erentielles suivantes (on pr´ ecisera sur quel intervalle), puis trouver la solution telle que y(1) = 1.

y

0

(t) = ay(t) + bt + c (a, b, c) ∈ R

3

y

0

(t) = ay(t) + be

ct

(a, b, c) ∈ R

3

y

0

(t) = y(t) − t

2

ty

0

(t) + (1 − t)y(t) = e

2t

Exercice 3 — On s’int´ eresse ` a l’´ equation diff´ erentielle

(1) y

0

(t) = ay(t) + b(t)

o` u a est une constante et b(t) une fonction d´ efinie sur un intervalle I.

(1) R´ esoudre l’´ equation sans second membre associ´ ee ` a (1).

(2) Soit y

0

(t) une solution de (1). Quel est l’ensemble des solutions de (1) ?

(3) Si y(t) est une autre solution de (1), ´ etudier le comportement asymptotique quand t → +∞

de y(t) − y

0

(t).

Exercice 4 — Soit α > 0 et β > 0. R´ esoudre, sur I =]0, +∞[, l’´ equation (en F(t)) F

0

(t)

1 − F (t) = αβt

β−1

avec la condition

t→0

lim F(t) = 0.

1

(20)

* Exercice 5 — Dans un mod` ele ´ economique, on suppose que la consommation, le revenu, la demande globale et l’investissement autonome sont des fonctions continˆ ument d´ erivables C(t), Y (t), D(t) et A(t) du temps t. On suppose que ces fonctions satisfont les relations suivantes :

D(t) = C(t) + A(t) C(t) = cY (t)

Y

0

(t) = λ(D(t) − Y (t)),

o` u c la propension marginale ` a consommer (c ∈]0, 1[) et λ la vitesse de r´ eaction (λ > 0).

(1) Trouver une ´ equation diff´ erentielle satisfaite par Y (t) ne faisant intervenir que c, λ et l’investissement autonome A(t).

(2) On suppose que A(t) = A (investissement autonome constant).

(a) Trouver une solution particuli` ere Y

1

constante.

(b) R´ esoudre l’´ equation sans second membre associ´ ee.

(c) En d´ eduire Y (t) en fonction de Y

0

= Y (0), du temps t et des donn´ ees du probl` eme.

(d) Quel est le comportement asymptotique de Y (t) quand t → +∞ ? (3) On suppose maintenant que A(t) = A

0

e

gt

avec A

0

> 0 et g > 0.

(a) Trouver une solution particuli` ere de la forme Y

1

(t) = Ke

gt

. (b) R´ esoudre l’´ equation sans second membre associ´ ee.

(c) En d´ eduire Y (t) en fonction de Y

0

= Y (0), du temps t et des donn´ ees du probl` eme.

(d) Que peut-on dire de Y (t) − Y

1

(t) quand t → +∞ ?

* Exercice 6 — On appelle ´ equation diff´ erentielle du premier ordre ` a variables s´ eparables une ´ equation diff´ erentielle de la forme

(2) y

0

(t) = g(y(t))h(t)

o` u g et h sont deux fonctions donn´ ees.

(1) Soit Φ une primitive de

1g

et H une primitive de h. Montrer que y est solution de (2) si et seulement si Φ(y(t)) = H(t) + c pour une constante c ∈ R.

(2) Application : r´ esoudre les ´ equations diff´ erentielles suivantes.

y

0

= t

2

y y

0

= y

2

y

0

= y

3

t

3

y

0

= t

3

y

3

(3) Soit a > 0 et b > 0. On appelle ´ equation logistique l’´ equation diff´ erentielle

(3) y

0

= y(a − by).

(a) Trouver deux r´ eels α et β tels que 1

x(a − bx) = α

x + β

a − bx .

(b) En utilisant la m´ ethode de s´ eparation des variables, r´ esoudre (3).

(c) ´ Etudier le comportement asymptotique des solutions quand t → +∞.

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