(c) La m´ethode de Jacobi converge-t-elle ? 2

Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2006-2007

Licence LM335 deuxi`eme semestre

Examen

juin 2007 –deuxi`eme session—

dur´ee : 2 heures

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Exercice 1 Montrer que la matrice sym´etrique





1 3 1

3 10 2

1 2 6





est d´efinie positive.

Exercice 2 Soit A ∈ M_N(R) une matrice carr´ee inversible pour laquelle la m´ethode de Jacobi est d´efinie. Pour r´esoudre le syst`eme Ax=b, on consid`ere la m´ethode it´erative suivante, dite m´ethode de Jacobi relax´ee (ω est un param`etre r´eel non nul) :

D

ωx_k+1 =1−ω

ω D+E+F

x_k+b k ≥1

x₀ ∈ R^N ´etant choisi. On note J_ω la matrice associ´ee `a cette m´ethode et J la matrice de la m´ethode de Jacobi. On suppose la matrice A sym´etrique, d´efinie positive et tridiagonale.

1. (a) Montrer que les valeurs propres de J sont r´eelles.

(b) Montrer que siµest une valeur propre deJ, il en est de mˆeme de−ν.

(c) La m´ethode de Jacobi converge-t-elle ?

2. ´Etablir une relation entre les valeurs propres de J_ω et les valeurs propres de J.

3. Montrer que la m´ethode de Jacobi relax´ee converge si et seulement si ω appartient `a un intervalle I que l’on d´eterminera.

4. Trouver la valeur ¯ω assurant la convergence la plus rapide, i.e. telle que

%(J_ω¯) = inf

ω∈I%(J_ω).

Conclure.

1

Exercice 3 On dit d’une matrice B = (b_i,j)_i,j qu’elle est positive (resp. stric- tement positive) si tous les b_i,j sont ≥ 0 (resp. > 0) et on notera B ≥ 0 (resp B > 0). D´efinition analogue pour les vecteurs. Une matrice carr´ee A est dite monotonesi elle est inversible et A⁻¹ ≥0.

Dans cet exercice les matrices sont toutes r´eelles, carr´ees, de taillen×n.

On admettra le r´esultat suivant.

Si B ≥0, alors %(B) est une valeur propre de B positive ou nulle et admettant un vecteur propre associ´e ≥0.

1. Pour toute matriceB ≥0, montrer que

α > %(B) ⇐⇒ La matriceαI−B est monotone.

2. SoitA une matrice inversible, admettant la d´ecomposition A=M−N, o`u M et N sont deux matrices

(a) M est monotone (b) N ≥0.

A cette d´` ecomposition de A, on associe la m´ethode it´erative

M x_k+1 =N x_k+b, x₀ donn´e (1) pour la r´esolution du syst`eme Ax=b.

(a) On pose B = M⁻¹N, G = A⁻¹N. Calculer les valeurs propres de B en fonction des valeurs propres de G.

(b) On suppose maintenant que la matrice A est monotone, montrer que la m´ethode it´erative (1) converge.

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