1 – Limites sup´erieure et inf´erieure d’une suite

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  – Prol´egom`enes

1 – Limites sup´erieure et inf´erieure d’une suite

E

^{xercice 1. Soit (a}n)_n≥une suite de r´eels. On d´efinit les deux nombres suivants dansR=R∪ {±∞}: lim sup

n→∞

a_n= lim

n→∞

sup

k≥n

a_k

et lim inf

n→∞ a_n= lim

n→∞

kinf≥na_k

.

. V´erifier que ces deux d´efinitions ont bien un sens.

. V´erifier les assertions suivantes : lim sup

n→∞

a_n< α ⇒ ∃n≥,∀k≥n, a_k< α

∃n≥,∀k≥n, a_k< α ⇒ lim sup

n→∞

a_n≤α lim sup

n→∞

a_n> α ⇒ ∀n≥,∃k≥n, a_k> α

∀n≥,∃k≥n, a_k> α ⇒ lim sup

n→∞

a_n≥α.

´Ecrire des assertions similaires faisant intervenir liminf

n→∞ a_n.

. Soit (an)_n≥une suite de nombres r´eels.

(a) Montrer que lim sup_n→∞a_net lim inf_n→∞a_nsont respeivement la plus grande et la plus pe- tite valeur d’adh´erence de la suite (a_n)_n≥.

(b) V´erifier quea_nconverge versl∈Rsi et seulement si lim sup

n→∞

a_n= lim inf

n→∞ a_n=l.

E

^{xercice 2. Soit (x}n)_n≥une suite d’´el´ements deRet soitf :R→Rune fonion continue. Montrer que sif ecroissante alors

f(lim sup

n→∞

x_n) = lim sup

n→∞

f(x_n) et f(lim inf

n→∞ x_n) = lim inf

n→∞ f(x_n).

Que dire sif ed´ecroissante ?

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



2 – Limites sup´erieure et inf´erieure d’ensembles

E

^{xercice 3.} (Fonions indicatrices) SoitE un ensemble. SiA⊆ E, on note 1A l’applicationE → {,} d´efinie par1A(x) =six∈Aet1A(x) =sinon. La fonion1Aeappel´ee la fonion indicatrice deA (ou encore fonion cara´eriique deAou tout simplement l’indicatrice deA).

. SiA, B⊂E, ´ecrire1A∩Bet1A∪Ben fonion de1Aet1B.

. Soit (An)_n≥une suite de sous-ensembles deE. Relier les fonions indicatrices1^∩_n≥A_n et1^∪_n≥A_n

aux fonions1A_n,n≥.

. Repr´esenter graphiquement les fonions suivantes (d´efinies surR) : X

n≥

1[n,∞[, X

n≥

1_[,n], X

n≥

1_[n,n+[.

E

^{xercice 4.} On consid`ere un ensembleE, et (A_n)_n≥une suite de sous-ensembles deE. SiA⊆E, on note 1Asa fonion cara´eriique (1A(x) =six∈Aet1A(x) =sinon).

. Que repr´esentent les ensembles suivants, [

n≥

\

k≥n

A_k, \

n≥

[

k≥n

A_k ?

Le premier enot´e lim inf_n→∞A_n, le second lim sup_n→∞A_n. Relier les fonions indicatrices 1lim inf_n→∞A_n, 1lim sup_n→∞A_n

aux fonions1A_n,n≥.

. Montrer que les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees.

(a) (lim sup_n→∞A_n)^c= lim inf_n→∞(A_n)^cet lim inf_n→∞A_n⊂lim sup_n→∞A_n (b) lim sup

n→∞

A_n={X

n≥

1A_n=∞}, lim inf

n→∞ A_n={X

n≥

1(A_n)^c<∞}. (c) lim sup

n→∞

(A_n∪B_n) = lim sup

n→∞

A_n∪lim sup

n→∞

B_n, lim sup

n→∞

(A_n∩B_n)⊂lim sup

n→∞

A_n∩lim sup

n→∞

B_n.

. Calculer lim infAnet lim supA_ndans les cas suivants (a) A_n=FetA_n+=G, o `uF, G⊂Esont fix´es,

(b) A_n=]− ∞, a_n], o `ua_p=+/(p) eta_p+=−−/(p+), (c) A_n=],+/(p)[ etA_n+=]−−/(p),],

(d) A_n=p_nN, o `u (p_n)_n≥ela suite des nombres premiers etp_nNel’ensemble des multiples de p_n,

(e) A_n= [sin(n)−,sin(n) +].



3 – ` A chercher pour la prochaine fois

E

^{xercice 5. Soitf :E→R}+∪ {+∞}une fonion. Pour toutn≥et touti∈ {,, . . . , nⁿ−}on note A_n={x∈E; f(x)≥n}, B_n,i={x∈E; i⁻ⁿ≤f(x)<(i+)⁻ⁿ⁾},

et pour un entiern≥on posef_n=

nⁿ−

X

i=

i

ⁿ1B_n,i+n1A_n.Soitx∈Efix´e.Que dire de la suitef_n(x) lorsque n→ ∞?

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 6. Soient X} un ensemble non vide et une suite (f_n)_n≥ de fonions f_n : X →R born´ees, qui converge simplement versf :X→Rborn´ee.

(i) Montrer que sup

x∈X

f(x)≤lim inf

n→∞ (sup

x∈X

f_n(x)). ´Etablir une in´egalit´e analogue pour l’inf.

(ii) Donner un exemple o `u l’in´egalit´e e rie. Montrer qu’il y a ´egalit´e si la convergence de la suite (f_n)_n≥euniforme.

E

^{xercice 7.} (D’apr`es comp´etition Putnam) Trouver la valeur de lim

n→∞

Xn s=

a+s n

n

, o `ua >.

E

^{xercice 8.}

. Soit (an)_n≥une suite de nombres r´eels v´erifianta_m+n≤a_m+a_npour tous entiersm, n≥. Montrer que la suite (a_n/n)_n≥converge dansRvers inf

n≥

a_n n .

. ( ) Un chemin auto´evitant de longueurndeZ^eune suite de points diinsA_, A_, . . . , A_n `a coordonn´ees enti`eres o `uA_el’origine et tels que la diance entreA_i etA_i+ vautpour tout

≤i ≤n−. Soita_nle nombre de chemins auto-´evitants de longueurndeZ^. Montrer quea^/n_n converge lorsquen→ ∞vers un r´eel positif not´ecet que< c <.

Remarque.Le r´eelceappel´econante de conneivit´e du r´eseauZ^. On ne connaˆıt pas sa valeur exae.

La conante de conneivit´e du r´eseau hexagonal a ´et´e calcul´ee par Hugo Duminil-Copin et Stanislav Smirnov en [], r´esolvant ainsi une conjeure formul´ee en physique th´eorique il y a ans par Nienhuis.

R´ef´erences

[] H. Duminil-Copin et S. Smirnov, The conneive conant of the honeycomb lattice equalsp

+√

, Annals of Mathematics,(),–().

Fin

