DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Probl` eme – Minimum d’une somme de distances
I.1Soitz, z0∈C∗. Montrer quezet z0 ont mˆemes arguments si et seulement si ¯zz0 ∈R+. I.2
a Montrer que pour tous nombres complexes z et z0, |z+z0|6|z|+|z0|, et que cette in´egalit´e est une
´egalit´e si et seulement si ¯zz0∈R+.
bSoitn>2 un entier,z1, . . . , zn des nombres complexes. Montrer :
|z1+· · ·+zn|6|z1|+· · ·+|zn|.
cMontrer que l’in´egalit´e ci-dessus est une ´egalit´e si et seulement si pour tousi, j∈[[1, n]], ¯zizj ∈R+. I.3Soitn>2 un entier,z1, . . .,zn des nombres complexes tous non nuls.
Pour toutk∈[[1, n]], on poseak =|zzk
k|, et on suppose quea1+· · ·+an= 0.
a Pour toutz∈C, on pose
S(z) = ¯a1(z1−z) +· · ·+ ¯an(zn−z).
Montrer queS(z) est un nombre r´eel positif ind´ependant dez, que l’on pr´ecisera en fonction dez1, . . . , zn. bEn d´eduire que, pour tout nombre complexez:
(?) : |z1|+· · ·+|zn|6|z−z1|+· · ·+|z−zn|.
cMontrer de plus que cette in´egalit´e est une ´egalit´e si et seulement si :
∀k∈[[1, n]],¯ak(zk−z)∈R+.
I.4Dans le plan complexe, on noteM1, . . .,Mn les points d’affixesz1, . . .,zn, etN un point d’affixez. On suppose toujours quea1+· · ·+an= 0. On noteO le point d’affixe nulle.
a Interpr´eter g´eom´etriquement les r´esultats de la question I.3. On pourra faire intervenir la fonction f :N 7→N M1+· · ·+N Mn.
bD´eterminer l’ensembleE des points o`u la fonctionf atteint son minimum. On distinguera suivant que les pointsM1, . . .,Mn sont align´es ou non.
I.5Dans cette question, on choisit, pour toutk∈[[1, n]],zk =e2ikπ/n. a Montrer que pour toutz∈C:
n6|z1−z|+· · ·+|zn−z|.
bEn choisissant une bonne valeur dez, en d´eduire l’encadrement : n
2 6
n
X
k=1
sin kπ
n
6n.
cEn d´eduire :
1
n 6tan π 2n
6 2 n.
