L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚5 Espaces vectoriels
Exercice 57 : Pour chacun des couples de lois (+, .) d´efinies sur R2, d´eterminer si (R2,+, .) est unR-espace vectoriel.
1. Addition :∀(x1, y1)∈R2 ∀(x2, y2)∈R2 (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2) Multiplication externe :∀λ∈R ∀(x, y)∈R2 λ.(x, y) = (λx, y).
2. Addition :∀(x1, y1)∈R2 ∀(x2, y2)∈R2 (x1, y1) + (x2, y2) = (y1+y2, x1+x2) Multiplication externe :∀λ∈R ∀(x, y)∈R2 λ.(x, y) = (λy, λx).
2. Addition :∀(x1, y1)∈R2 ∀(x2, y2)∈R2 (x1, y1) + (x2, y2) = (x1x2, y1y2) Multiplication externe :∀λ∈R ∀(x, y)∈R2 λ.(x, y) = (x, λy).
Exercice 58 : D´eterminer si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels deR3. 1. A={(x, y, z)∈R3 : x+ 2y−3z= 0}
2. B ={(a+b, a−b,2a) : (a, b)∈R2} 3. C={(x, y, z)∈R3 : x+ 2y−z= 2}
4. D={(2a−3b, a+ 2,−a+ 3b) : (a, b)∈R2} 5. E=
(x, y, z)∈R3 : 2x+ 3y= 0 etx+y+z= 0 6. F =
(x, y, z)∈R3 : xyz= 0
Exercice 59 : D´eterminer si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels deF(N,R), leR-espace vectoriel des suites r´eelles.
1. A={(un)n∈N∈ F(N,R) : u0= 0}
2. B ={(un)n∈N∈ F(N,R) : (un)n∈Nest croissante}
3. C={(un)n∈N∈ F(N,R) : ∀n∈N un+2= 2un+1−3un} 4. D={(un)n∈N∈ F(N,R) : u1= 1}
5. E={(un)n∈N∈ F(N,R) : ∀n∈N un+1= 2un} 6. F ={(un)n∈N∈ F(N,R) : ∀n∈N un+1=un+ 2}
Exercice 60 : D´eterminer si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de de M2(C), le C-espace vectoriel des matrices carr´ees 2×2, dont les coefficients sont des nombres complexes.
1. A=
a 0 0 b
: a, b∈C
2. A={M ∈ M2(C) : det(M) = 0} (On rappelle que pour touta, b, c, d∈C, det a b
c d
=ad−bc.)
3. B =
M ∈ M2(C) : M 3
1
= 0
0
4. C=
a b c d
∈ M2(C) : a= 3 +cetb=−3 +d
5. D=
M ∈ M2(C) : M 1
1
= 0
1
6. E=
M ∈ M2(C) : M2=M
1
Exercice 61 : SoitR2[X] leR-espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a deux, `a coefficients r´eels.
1. (a) L’ensembleA={P ∈R2[X] : P(1) =P(2)} est-il un sous-espace vectoriel deR2[X] ?
(b) Si l’on ´ecritP sous la formeaX2+bX+c, aveca, b, c∈R, quelle relation lianta,b etc caract´erise les ´el´ements deA?
2. (a) L’ensembleB ={P ∈ R2[X] : XP0(X) = 2P(X)} est-il un sous-espace vectoriel deR2[X] ? (P0 d´esigne la d´eriv´ee deP.)
(b) Si l’on ´ecritP sous la formeaX2+bX+c, aveca, b, c∈R, quelle relation lianta,b etc caract´erise les ´el´ements deB?
Exercice 62 : D´eterminer si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels deF(R,R), leR-espace vectoriel des fonctions deRdansR.
1. A={f:R→R : lim
x→+∞f(x) = +∞}
2. B ={ f: R→R : lim
x→+∞f(x) = 0}
3. C={f:R→R : f est continue surR} 4. D={f:R→R : f est born´ee sur R} 5. E=
f:R→R : f est d´erivable sur Ret solution de l’´equation diff´erentielley0− 2x x2+ 1y= 0
F Exercice 63 : Si Aetϕsont des nombres r´eels, on d´efinit la fonctionfA,ϕ par fA,ϕ:R→R, x7→Acos(x+ϕ).
1. Montrer que les partiesF ={fA,ϕ:A, ϕ∈R}et VectF(R,R)(cos,sin) de l’ensembleF(R,R) des fonctions deRdansRsont ´egales.
2. En d´eduire queF est un sous-espace vectoriel deF(R,R).
Exercice 64 : Dans l’espace vectorielE, le vecteur uest-il combinaison lin´eaire des vecteursv et w? 1. E=R2;u= (√
2,0), v= (1,1), w= (2,1).
2. E=R3;u= (5,5,1),v= (2,3,0),w= (3,2,0).
3. E=R4;u= (7,20,−3,10),v= (1,4,−5,2), w= (1,2,3,1).
4. E=R3[X] ;u= 16X3−7X2+ 21X−4,v= 8X3−5X2+ 1,w=X2+ 7X−2.
5. E=C2[X] ;u= 3X2+i,v=X+ 2i,w=X2+X.
Exercice 65
1. Montrer que : R1[X] = Vect (X+ 1, X−1).
2. Montrer que : R2[X] = Vect (X−1)2,(X−1)(X+ 1),(X+ 1)2 . 3. Montrer que : R3= Vect ((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)).
4. Montrer que : VectR3((1,3,5),(2,5,−2)) = VectR3((3,8,3),(−1,−2,7)).
Exercice 66 : Soient a, b∈ R et soient u= (−1,1,−1), v = (1,2,4), wa = (3,−1, a), wb = (2,3, b) quatre vecteurs deR3.
1. Calculer les rangs des familles (u, v) et (wa, wb).
2. D´etermineraetb pour que VectR3(u, v) = VectR3(wa, wb).
Exercice 67 : Soientu1= (1,1,1,1) etu2= (1,0,1,1) deux vecteurs deR4. 1. Que vaut le rang de (u1, u2) ?
2. D´eterminer les r´eelsαetβ tels que v= (α,0, β,1) n’appartienne pas `a VectR4(u1, u2) ?
2
Exercice 68 : SoitE={(x1, x2, x3, x4)∈R4 : x1+x2+x3+x4= 0}.
1. Montrer queE est sous-espace vectoriel deR4. 2. D´eterminer une famille g´en´eratrice finie de E.
Exercice 69 : Soientu1= (3,1), u2= (−1,2) etu3= (−1,1) trois vecteurs deR2. 1. La famille (u1, u2, u3) engendre-t-elleR2?
2. SoitF une famille obtenue en ˆotant `a la famille (u1, u2, u3) un vecteur. La familleF est-elle une base de R2?
Exercice 70
1. La famille F de vecteurs ((0,1),(1,2),(3,−7)) deR2 est-elle une famille libre deR2? 2. La famille G constitu´ee de l’unique vecteur (−5,2) deR2 est-elle une famille libre deR2?
3. Soit Hune famille obtenue en ajoutant `a G l’un des trois vecteurs de la famille F. La famille Hest-elle libre ? Est-ce une base de R2?
Exercice 71 : Soient les trois suites r´eellesu= (1)n∈N,v= (n2)n∈Netw= (2n)n∈N. Montrer que (u, v, w) est une famille libre dans l’espace vectorielF(N,R) des suites r´eelles.
Exercice 72
1. D´eterminer l’ensemble des r´eels k tels que la famille ((1, k,2),(−1,8, k),(1,2,1)) est une famille li´ee de vecteurs de R3.
2. Pour quelle(s) valeur(s) du param`etre r´eelλla famille ((1−λ,2,3),(1,2−λ,3),(1,2,3−λ)) est-elle li´ee de vecteurs deR3?
F Exercice 73 : On rappelle queF(R,R) d´esigne l’espace vectoriel des fonctions de R dans R. Soit n∈ N∗. Soientλ1, . . . , λn des r´eels distincts tels queλ1< λ2< . . . < λn. On note, pouri= 1, . . . , n,fi la fonction qui,
`
ax, associeeλix.
Montrer que la famille (f1, . . . , fn) est libre dansF(R,R).
Exercice 74
1. Montrer que ((−1,1,1),(1,−1,1),(1,1,−1)) est une base deR3 et d´eterminer les coordonn´ees du vecteur (8,4,2) dans cette base.
2. Montrer que (X−1)2, X2,(X+ 1)2
est une base deR2[X] et d´eterminer les coordonn´ees deX2+X+ 1 dans cette base.
Exercice 75 : On poseP0= 1, et pour toutk∈N∗ :Pk(X) = 1
k!X(X−1)(X−2). . .(X−k+ 1). Montrer que pour toutn∈N, la famille (P0, P1, . . . , Pn) est une base deRn[X].
Exercice 76 : D´eterminer une base et la dimension du sous-espace vectoriel F duR-espace vectorielE dans chacun des cas suivants.
1. E=R2;F =
(x, y)∈R2;x+y= 0 2. E=R3;F =
(x, y, z)∈R3;x+y+z= 0 3. E=R3;F =
(x, y, z)∈R3;x=y=z 4. E=R4;F =
(x, y, z, t)∈R4;x−3y+ 2z+t= 0 ety+z−4t= 0
Exercice 77 : D´eterminer le rang de la familleF de vecteurs deE dans chacun des cas suivants.
1. E=R3;F = ((2,1,−3),(−4,1,3),(−6,3,9),(7,2,1))
3
2. E=R4;F = ((1,2,1,0),(4,−2,1,1),(7,2,4,2),(11,4,1,3))
3. E=R4[X] ;F = 2X4+ 3X+ 1,8X2−4X,9X4+ 2X3−X,4X3+ 2X2+ 3X+ 1 4. E=M2(C) ; F=
0 1
−1 0
,
1 −2
2 0
,
0 −3
3 1
,
1 −4
4 3
Exercice 78
1. Montrer que la famille (X3+X+ 1, X3−2X+ 2, X2+ 3X) est libre et la compl´eter en une base deR5[X].
2. Montrer que la famille ((8,4,1,−2),(1,3,0,5)) est libre et la compl´eter en une base deR4.
Exercice 79 : Soientu1= (1,0,1),v1= (2,1,0),u2= (5,2,1) etv2= (0,1,2) quatre vecteurs deR3 et soient F1= VectR3(u1, v1) etF2= VectR3(u2, v2).
1. Justifier que la famille (u1, v1, u2, v2) de vecteurs deR3 est li´ee.
2. Montrer queF1+F2=R3.
3. Calculer les rangs des familles (u1, v1) et (u2, v2) de vecteurs deR3.
4. D´eduire de 2. et 3. la dimension deF1∩F2, puis donner une base deF1∩F2.
Exercice 80 : Montrer queR1[X] et VectR2[X](1 +X+X2) sont suppl´ementaires dansR2[X].
Exercice 81 : Montrer que les deux sous-ensembles suivants sont deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires deR3:
F=
(x, y, z)∈R3 : x=y et G=
(x, y, z)∈R3 : x+ 2z= 0 et −y+ 2z= 0 .
Exercice 82 : SoitF=
0 a
−a 0
: a∈R
⊂ M2(R) etG=
a c c b
: a, b, c∈R
⊂ M2(R).
1. D´emontrer queF etGsont deux sous-espaces vectoriels deM2(R).
2. Calculer dim(F) et dim(G).
3. D´emontrer queF⊕G=M2(R).
Exercice 83 :
1. SoitE unK-espace vectoriel de dimension 3, avecK=RouC. SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels distincts de dimension 2 deE.
Que peut-on dire de dim(F∩G) ?
2. Proposer une interpr´etation g´eom´erique du r´esultat de la question 1. dans la cas o`u E=R3.
Exercice 84 : SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie (K=RouC). SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels non nuls deE tels queF⊕G=E, soit (f1, . . . , fp) une base deF et soit (g1, . . . , gq) une base deG.
Montrer quep+q=net que (f1, . . . , fp, g1, . . . , gq) est une base deE.
F Exercice 85 : L’objectif de cet exercice est de d´emontrer le th´eor`eme du cours rappel´e ci-dessous.
Th´eor`eme : SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie (K=RouC). Alors pour tous sous-espaces vectorielsF et GdeE, on a la formule : dim(F+G) = dim(F) + dim(G)−dim(F∩G).
1. Cas o`uF =G: Justifier queF+G=F. En d´eduire le th´eor`eme ci-dessus.
2. Cas o`uF∩G={0} : D´eduire le th´eor`eme ci-dessus de l’exercice pr´ec´edent.
3. Cas o`uF 6=GetF∩G6={0}
(a) Soit (h1, . . . , hr) une base deF∩G. On la compl`ete pour obtenir une base (h1, . . . , hr, f1, . . . , fp) de F et une base (h1, . . . , hr, g1, . . . , gq) deG, en appliquant deux fois le th´eor`eme de la base incompl`ete.
D´emontrer que (h1, . . . , hr, f1, . . . , fp, g1, . . . , gq) est alors une base de F+G.
(b) Conclure.
4
