UNSA 2009/2010 L3–Variable complexe Feuille d’exercices no2 Int´egrale de Cauchy 1.

UNSA 2009/2010 L3–Variable complexe Feuille d’exercices n^o2

Int´egrale de Cauchy

1. Soientγ1: [0,1]→C^∗:t7→e^2πit etγ2: [0,1]→C^∗:t7→e^4πit et

γ₃: [0,2]→C^∗:t7→

(γ1(t) 0≤t≤1;

γ1(t−1) 1≤t≤2.

1.a. Calculer

Z

γi

dz

z pouri= 1,2,3.

1.b. Calculer Z

[1,i]

dz z +

Z

[i,−1]

dz z +

Z

[−1,−i]

dz z +

Z

[−i,1]

dz z .

2. Soitγ: [0,1]→C^∗:t7→e^2πit. Calculer les int´egrales : 1

2πi Z

γ

zⁿdz, n∈Z, 1

2πi Z

γ

dz 6z²−5z+ 1.

3. Pour tout cheminγ: [a, b]→Cde classeC¹on pose :

l(γ) = Z b

a

|γ⁰(t)|dt.

3.a. Calculer l(γ) pour les courbes param´etr´ees des exercices pr´ec´edents.

Interpr´etation g´eom´etrique ?

3.b. Montrer que pour kfkγ= sup_t∈[a,b]|f(γ(t))|on a :

| Z

γ

f(z)dz| ≤l(γ)kfk_γ.

4. Soient γ : [a, b] → U un chemin de classe C¹ et f, g deux fonctions holomorphes sur l’ouvertU deC. SoitGune primitive complexe deg surU.

4.a. Montrer que Z

γ

f(z)g(z)dz= [f(z)G(z)]^γ(b)_γ(a)− Z

γ

f⁰(z)G(z)dz.

4.b. Qu’en d´eduire siγest un lacet ?