Optimisation Universit´e de Nice
L3 MASS Ann´ee 2013-2014
Feuille de TD3
Exercice 1 - On consid`ere le t´etra`edreT dans l’espaceR3 d´efini par les 4 in´egalit´es
x1≥0, x2 ≥0, x3 ≥0, x1+x2+x3≤1.
Trouver les extr´emas sur T des fonctions suivantes : 1. J(x1, x2, x3) = 1−x1.
2. J(x1, x2, x3) =x1+x2−x3.
Exercice 2 - On consid`ere la contrainteF1:R2 →Rd´efinie parF1(x1, x2) =−x31+x22 et l’ensemble
K={x∈R2 |F1(x1, x2)≤0}.
1. Repr´esenter l’ensemble K.
2. En quels points deK est-ce que la contrainteF1 est qualifi´ee ?
Exercice 3 - On consid`ere la fonctionJ :R2→Rd´efinie parJ(x1, x2) =x21+ (x2−1)2 et l’ensemble
K={x∈R2 |x2≤x21}.
1. D´eterminer les extr´emas locaux de J sur l’ensembleK.
2. Y a-t-il des extr´emas absolus ?
Exercice 4 - On consid`ere la fonctionJ :R2 →Rd´efinie par
J(x1, x2) =x21+ 2x22−2x1−x2.
En utilisant la m´ethode des multiplicateurs de Lagrange d´eterminer les extr´emas de J sur l’ensemble K d´etermin´e par l’in´egalit´e x1+ 2x2 ≤0.
Exercice 5 - Soits∈Rn etr∈R. On consid`ere l’hyperplan affineH dansRn d’´equation
hs, xi=r
Soit v∈Rn un point n’appartenant pas `aH.
1. Etudier les extr´emas de la fonctionJ(x) =hx−v, x−vi surH.
2. Donner une interpr´etation g´eom´etrique du minimum.
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