Feuille de TD3

Optimisation Universit´e de Nice

L3 MASS Ann´ee 2013-2014

Feuille de TD3

Exercice 1 - On consid`ere le t´etra`edreT dans l’espaceR³ d´efini par les 4 in´egalit´es

x1≥0, x2 ≥0, x3 ≥0, x1+x2+x3≤1.

Trouver les extr´emas sur T des fonctions suivantes : 1. J(x₁, x₂, x₃) = 1−x₁.

2. J(x₁, x₂, x₃) =x₁+x₂−x₃.

Exercice 2 - On consid`ere la contrainteF1:R² →Rd´efinie parF1(x1, x2) =−x³₁+x²₂ et l’ensemble

K={x∈R² |F₁(x₁, x₂)≤0}.

1. Repr´esenter l’ensemble K.

2. En quels points deK est-ce que la contrainteF₁ est qualifi´ee ?

Exercice 3 - On consid`ere la fonctionJ :R²→Rd´efinie parJ(x₁, x₂) =x²₁+ (x₂−1)² et l’ensemble

K={x∈R² |x₂≤x²₁}.

1. D´eterminer les extr´emas locaux de J sur l’ensembleK.

2. Y a-t-il des extr´emas absolus ?

Exercice 4 - On consid`ere la fonctionJ :R² →Rd´efinie par

J(x1, x2) =x²₁+ 2x²₂−2x1−x2.

En utilisant la m´ethode des multiplicateurs de Lagrange d´eterminer les extr´emas de J sur l’ensemble K d´etermin´e par l’in´egalit´e x₁+ 2x₂ ≤0.

Exercice 5 - Soits∈Rⁿ etr∈R. On consid`ere l’hyperplan affineH dansRⁿ d’´equation

hs, xi=r

Soit v∈Rⁿ un point n’appartenant pas `aH.

1. Etudier les extr´emas de la fonctionJ(x) =hx−v, x−vi surH.

2. Donner une interpr´etation g´eom´etrique du minimum.

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