MPSI1 2012/2013 Programme de colles de math´ematiques, semaine 1 (du lundi 24 au vendredi 28 septembre) lyc´ee Chaptal
Vocabulaire ensembliste
El´ements de logique; ensembles : appartenance, inclusion, ensemble des parties.
Op´eration surP(E) : ´egalit´e, r´eunion, intersection, compl´ementaire, couples et ensemble produit. Relations binaires, relations d’ordre. Exemples de d´emonstrations : ´egalit´e d’en- sembles, ´equivalences, etc...
Syst` emes lin´ eaires : m´ ethode du pivot de Gauss
Description pratique de la m´ethode du pivot de Gauss. Exemples.
Trigonom´ etrie
Rappel des d´efinitions g´eom´etriques des fonctions circulaires sin,cos,tan. Premiers r´esul- tats de p´eriodicit´e et d’invariance fonctionnelle. R´esolutions d’´equations et d’in´equations faisant intervenir ces fonctions.
Formulaire trigonom´etrique : sommes d’angles, transformations de sommes en produits et de produits en sommes de fonctions circulaires. Cas particulier du doublement de l’angle.
Formules induites par le changement de variablet= tan(u2).
Le corps des nombres complexes
I. Le corps C
1. D´efinitions
2. Module d’un nombre complexe :d´efinition et propri´et´es ; in´egalit´es triangulaires.
3. groupe multiplicatif des complexes de modules 1.
4. Interpr´etation g´eom´etrique des nombres complexes :affixe d’un point du plan, d’un vecteur, image d’un complexe. Distance surC, surR2, disque ouvert/ferm´e, partie born´ee deC.
5. Formules sommatoires : binˆome de Newton, formule de Bernoulli (somme des termes d’une suite g´eom´etrique).
II. Forme trigonom´ etrique d’un complexe non nul
1. D´efinition : eiθ; formules d’Euler. L’application θ 7→ eiθ est un morphisme de groupes surjectif de (R,+) sur (U,×). Forme trigonom´etrique d’un complexe non nul, argument, argument principal. Calcul des formules trigonom´etriques classiques.
Exemples : recherche du module et de l’argument de eia ±eib, application `a la transformation deacos(x) +bsin(x) .
2. Applications `a la trigonom´etrie : formules de Moivre, calcul dePn
k=0cos(kθ) et Pn
k=0sin(kθ), lin´earisation de cosn(θ)sinm(θ), expression de cos(nθ) et sin(nθ) comme polynˆome en cos(θ) et sin(θ).
III. Exponentielle complexe
D´efinition, propri´et´es fonctionnelles, solutions complexes deez=a.
IV. Equations et racines dans ´ C
Racines carr´ees d’un nombre complexe, m´ethodes de recherche des racines carr´ees.
Equation du second degr´e `a coefficients complexes. Relations coefficients/racines pour un polynˆome de degr´e 2.
Racines nes de l’unit´e : d´efinition, structure de groupe de l’ensembleUn, expression ex- plicte des racines nes de l’unit´e, somme des racines. Application `a la r´esolution dansC dezn=a.
V. Applications g´ eom´ etriques et transformations du plan
Interpr´etations complexes des normes et angles de vecteurs, de la distance, du barycentre, de l’alignement, de l’orthogonalit´e.
Expression complexe d’une translation, d’une rotation, d’une homoth´etie, d’une simili- tude directe. Exemples de recherches de centre et de rapport d’une similitude directe, de l’expression complexe d’une similitude donn´ee.
Questions de cours
Q1. Exprimer cos`π
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´sous forme de radicaux, de deux mani`eres diff´erentes.
Q2. Formules induites par le changement de variablet= tan(u2).
Q3. SoitA,B,Cdes ensembles. D´emontrer que (A∪B)∩C= (A∩C)∪(B∩C).
Q4. In´egalit´es triangulaires pour les nombres complexes , cas d’´egalit´e dans la premi`ere.
Q5. D´emontrer queU est un sous-groupe de (C∗,×).
Q6. Enonc´´ e et d´emonstration la formule du binˆome de Newton dansC.
Q7. Rechercher le module et un argument deeiθ+ 1 et deeiθ−1 pourθ∈]−π, π].
Q8. Soitθ∈]0,2π[. SimplifierPn
k=0cos(kθ) etPn
k=0sin(kθ).
Q9. Utiliser les complexes pour transformer cos(a) cos(b) et cos(a) + cos(b).
Q10. Lin´eariser sin5(θ).
Q11. Exprimer sin(6θ) comme le produit de cos(θ) et d’un polynˆome en sin(θ) Q12. D´eterminer de deux mani`eres les racines carr´ees de 1 +i. En d´eduire cos(π8).
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