De la géométrie algorithmique au calcul géométrique l’exemple de la triangulation de Delaunay

(1)

De la géométrie algorithmique au calcul géométrique

l’exemple

de la triangulation de Delaunay

Définition, propriétées, premiers algorithmes

(2)

Géométrie algorithmique Problème géométrique Analyse des performances

Borne inf´erieure Borne sup´erieure

Complexit´e asymptotique Analyse dans le cas le pire Analyse en moyenne

(3)

Definition de

la triangulation de Delaunay

(4)

L’exemple

(5)

L’exemple

recherche de plus proche voisin

(6)

L’exemple

(7)

L’exemple

(8)

L’exemple

(9)

L’exemple

(10)

Vorono¨ı L’exemple

(11)

Vorono¨ı L’exemple

(12)

Vorono¨ı Delaunay

L’exemple

(13)

Vorono¨ı Delaunay

Le problème emblématique de la géométrie algorithmique

L’exemple

(14)

Vorono¨ı

Probl`eme du plus proche voisin

(15)

Vorono¨ı

(16)

Vorono¨ı

(17)

Vorono¨ı

Cellule de Vorono¨ı

V_i = {q; ∀j 6= i|qp_i| ≤ |qp_j|}

(18)

LA propri´et´e de

(19)

Vorono¨ı

(20)

Vorono¨ı

Propri´et´e du cercle vide

(21)

Vorono¨ı

Delaunay

(22)

Vorono¨ı

Delaunay

(23)

Quelques applications de la triangulation de Delaunay

(24)

graphe des plus proche voisins Applications “th´eoriques”

(25)

graphe des plus proche voisins

p

q Applications “th´eoriques”

q plus proche voisin de p

alors pq arˆete de Delaunay

(26)

graphe des plus proche voisins Applications “th´eoriques”

(27)

Applications “th´eoriques”

plus grand cercle vide

(28)

Applications “th´eoriques”

plus grand cercle vide

(29)

Recherche à rayon fixé Applications “théoriques”

(30)

(31)

(32)

Arbre couvrant de longueur minimale Applications “th´eoriques”

(33)

Arbre couvrant de longueur minimale Applications “th´eoriques”

(34)

Applications

Reconstruction

(35)

Applications

Maillage

Reconstruction

(36)

Applications

Maillage / Remaillage Reconstruction

(37)

Applications

(38)

Applications

Plainfication de trajectoires

(39)

Propri´et´es de

(40)

Relation d’Euler

c: nombre de cellules (inclus ∞) a: nombre d’arˆetes

n: nombre de sommets

n − a + s = 2

(41)

Relation d’Euler

1 − 3 + 3 = 2 n − a + s = 2

(42)

Relation d’Euler

n − a + s = 2

0 − 1 + 1 = 0

(43)

Relation d’Euler

n − a + s = 2

1 − 1 + 0 = 0

(44)

Nombre d’arˆetes orient´ees dans une triangulation

2a = 3c + k

k: taille cellule ∞

(45)

Relation d’Euler

c−a+n= t+ 1−a+n = 2

Triangulation 2a = 3t+ k

t = 2n − 2− k a = 3n− 3 − k

(46)

Propri´et´e : le plus petit angle est maximal

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

Maximise dans l’ordre lexicographique

(53)

Optimalit´e locale vs globale

locallement

Delaunay mais pas globalement Delaunay

(54)

Th´eor`eme

Localement Delaunay partout

Globalement Delaunay

⇐⇒

(55)

D´emonstration:

(56)

D´emonstration:

Soit t localement mais pas globalement Delaunay

(57)

D´emonstration:

(58)

D´emonstration:

(59)

D´emonstration:

(60)

D´emonstration:

Comme le nombre de points est fini

(61)

Optimalit´e locale et plus petit angle Cas de 4 points

(62)

Lemme:

Pour 4 points en position convexe

Delaunay ⇐⇒ maximise le plus petit angle

(63)

δ

δ le plus petit angle

(64)

p

q s r

δ

≤ δ

(65)

Th´eor`eme

Delaunay ⇐⇒ maximise le plus petit angle Optimalit´e locale et plus petit angle

D´emonstration:

(66)

Th´eor`eme

Triangulation max pour ordre des angles Optimalit´e locale et plus petit angle

D´emonstration:

(67)

Th´eor`eme

Triangulation max pour ordre des angles

=⇒ Max dans chaque quadrilat`ere Optimalit´e locale et plus petit angle

D´emonstration:

(68)

Th´eor`eme

=⇒ Max dans chaque quadrilat`ere

=⇒ localement Delaunay Optimalit´e locale et plus petit angle

D´emonstration:

(69)

Th´eor`eme

=⇒ Max dans chaque quadrilat`ere

=⇒ localement Delaunay

=⇒ globalement Delaunay Optimalit´e locale et plus petit angle

D´emonstration:

(70)

Predicats pour

(71)

Algorithmes géométriques Prendre des décisions

repose sur des prédicats géométriques

Entre´e de taille constante Sortie discrˆete (signe)

Pr´edicats

(72)

Pr´edicats

Pr´edicat d’orientation

x_q − x_p x_r − x_p y_q − y_p y_r − y_p

p

q

r

− p

q r 0

p

q

r +

(73)

Pr´edicats

Pr´edicat de cocyclicit´e

x_q −x_p x_r −x_p x_s −x_p y_q −y_p y_r −y_p y_s −y_p

(x_q−x_p)²+(y_q−y_p)² (x_r−x_p)²+(y_r−y_p)² (x_s−x_p)²+(y_s−y_p)²

p

q r

s

(74)

Π : x² + y² = z

(75)

p = (x_p, y_p) p^? = (x_p, y_p, x²_p + y_p²)

(76)

C : x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 C^† : z − 2ax − 2by + c = 0

(77)

p ∈ ∂C p^? ∈ C^†

(78)

p ∈ C

p^? au dessous de C^†

(79)

p 6∈ C

p^? au dessus de C^†

(80)

Pr´edicat d’orientation 3D

Pr´edicat de cocyclicit´e

(81)

Pr´edicats

Pr´edicat : cercle le plus `a droite p₁ q₁

r₁ = p₂

q₂

r₂ 6 points

polynˆome de degr´e 24

(82)

Pr´edicats

Probl`emes de robustesse

Paradigme du calcul exact Arithm´etique arrondie

Pas de coh´erence entre les resultats arrondis

(83)

Structures de donn´ees pour la triangulation (de Delaunay)

(84)

(85)

G´eom´etrie (x, y)

(86)

connectivité Géométrie (x, y)

(87)

Repr´esentation bas´ee triangles

(88)

triangle :

(89)

trois sommets triangle :

(90)

trois voisins

(91)

trois voisins

num´erotation : voisin oppos´e au sommet

(92)

sommet :

(93)

sommet : x, y

un triangle

(94)

(95)

tourner autour d’un sommet

(96)

v

(97)

v t

t = v->triangle;

(98)

v t

t = v->triangle;

i tel que t->v[i] == v;

i

(99)

v t

t = v->triangle;

i

t = t->n[ i+1 mod 3 ];

i+1

(100)

v t

t = v->triangle;

i

t = t->n[ i+1 mod 3 ];

i+1

t

(101)

(102)

tourner dans l’autre sens

(103)

v

(104)

v t

t = v->triangle;

(105)

v t

t = v->triangle;

i

(106)

v t

t = v->triangle;

i

t = t->n[ i-1 mod 3 ];

i-1 t

(107)

Repr´esentation

bas´ee (demi) arˆetes

(108)

Repr´esentation

(109)

Repr´esentation

twin

(110)

Repr´esentation

target

(113)

Repr´esentation

face

(114)

Repr´esentation

(x, y)

(115)

Repr´esentation

(116)

Repr´esentation

tourner autour d’un sommet

(117)

Repr´esentation

v

(118)

Repr´esentation

v e

e = v->edge;

(119)

Repr´esentation

v e

e = v->edge;

e = e->twin->next->next;

(120)

Repr´esentation

(121)

Repr´esentation

tourner dans l’autre sens

(122)

Repr´esentation

v

(123)

Repr´esentation

v e

e = v->edge;

(124)

Repr´esentation

v e

e = v->edge;

e = e->next->twin;

(125)

Borne inf´erieure pour

(126)

Borne inf´erieure pour Delaunay

(127)

Delaunay sert `a trier

(128)

Delaunay sert `a trier

Ω(n log n)

(129)

Premiers algorithmes pour la triangulation de Delaunay

(130)

Algorithme incr´ementral

(131)

(132)

en conflit

(133)

pas en conflit

(134)

pas en conflit

(135)

(136)

(137)

Trouver les triangles en conflit

(138)

(139)

(140)

Supprimer les triangles en conflit

(141)

Trianguler le trou

(142)

Un nouveau triangle est de Delaunay

(143)

Un nouveau triangle est de Delaunay

(144)

Complexit´e

O(n) pour chaque insertion O(n²)

(145)

Complexit´e

Ω(n²)

(146)

Complexit´e

Ω(n²)

(147)

(148)

Insertion

(149)

Insertion

(150)

Insertion

(151)

Insertion

(152)

Insertion

Strat´egies de localisation

(153)

Insertion

Strat´egies de localisation Tous

O(n)

(154)

Insertion

Strat´egies de localisation Marche rectiligne

O(√

n) en moyenne

(155)

Insertion

Strat´egies de localisation Marche par visibilit´e

(156)

Insertion

(157)

Insertion

O(√

n) ???? en moyenne

(158)

Insertion

Strat´egies de localisation Jump & walk

(159)

Insertion

(160)

Insertion

O(√³

n) en moyenne

(161)

Complexit´e O(n²)

O(n√

n) en moyenne O(n√³

n) en moyenne

(162)

Complexit´e O(n²)

Ω(n²) dans le cas le pire

O(n√

n) en moyenne O(n√³

n) en moyenne

(163)

Bascule de diagonales

(164)

(165)

(166)

(167)

(168)

Complexit´e

Algorithme en O(n²) Bascule de diagonales

(169)

Complexit´e

Une arˆete bascul´ee n’est jamais reconstruite

(les nouvelles arˆetes sont toujours dessous)

Algorithme en O(n²) Bascule de diagonales

(170)

Bascule de diagonales et algorithme incr´emental

(171)

Bascule de diagonales et algorithme incr´emental Localisation

(172)

Non localement Delaunay Bascule

(173)

Non localement Delaunay ?

Bascule ?

(174)

OUI

(175)

Bascule ?

(176)

NON

(177)

Bascule ?

(178)

NON

(179)

Bascule ?

(180)

OUI

(181)

Bascule ?

(182)

NON

(183)

Bascule ?

(184)

NON

(185)

Bascule ?

(186)

OUI

(187)

Bascule ?

(188)

NON

(189)

Bascule ?

(190)

OUI

(191)

Bascule ?

(192)

NON

(193)

Bascule ?

(194)

NON

(195)

] OUI

(196)

] OUI

] arêtes créées

(197)

] NON

(198)

] NON

] triangles cr´e´es

(199)

O(degr´e( ))

(200)

C’est tout pour aujourd’hui