l’exemple
de la triangulation de Delaunay
Complexit´e asymptotique Analyse dans le cas le pire
Complexit´e asymptotique Analyse dans le cas le pire
Algorithmes compliqu´es
Constantes cach´ees dans les O()
Complexit´e asymptotique Analyse dans le cas le pire
Algorithmes compliqu´es
Constantes cach´ees dans les O()
Algorithmes randomis´es Plus simples
Complexit´e asymptotique Analyse dans le cas le pire
Algorithmes compliqu´es
Constantes cach´ees dans les O()
Algorithmes randomis´es Plus simples
Algorithme non d´eterministe
tirage `a pile ou face
division fusion (division au hasard) incr´emental (ordre al´eatoire)
n
2 en moyenne plus gros ≤ 3n4
plus gros ≤ 4
plus gros ≤ 4
1 n
n
X2
i=1(n − i) + Xn
i=n2 i
si rang( ) = k on a trouv´e
si rang( ) < k on cherche le (k−r)i`eme r´ecursivement
f(n) ≤ n + 3n
4 + f 9n 16
f(n) ≤ n + 3n
4 + f 9n 16
f(n) ≤ n ∞X
i=0
3 4
i
= 4
f(n) ≤ n + 3n
4 + f 9n 16
f(n) ≤ n ∞X
i=0
3 4
i
= 4
M´edian lin´eaire randomis´e
f(n) ≤ n + 3n
4 + f 9n 16
f(n) ≤ n ∞X
i=0
3 4
i
= 4
M´edian lin´eaire randomis´e Dans le cas le pire
≤ 8 > 8
4
4
7
4
7
14
4
7
14 12
4
7
14 12 1
4
7
14 12 1
11
4
7
14 12 1
] − ∞,1] 11
4
7
14 12 1
] − ∞,1] ]1,4] 11
4
7
14 12 1
11
7
7
4 14
7
14 12
4 5
7
14 12 1
4 5 6
7
14 12 1
11
4 5 6 7
7
14 12 1
11
4 5 6 7
7
14 12 1
11
4 5 6 7
n
Localisation
n
Localisation
n
Localisation
n
Localisation
n
Localisation
n
Localisation Total : X 2
' 2 logn
O(nlog n)
s’applique `a quicksort
incr´ementale
nombre de triangles cr´es
l’insertion
Degr´e du dernier point ?
Degr´e du dernier point ? Degr´e d’un point al´eatoire ?
Degr´e du dernier point ? Degr´e d’un point al´eatoire ?
1 n
n
X
i=1degr´e(pi)
Degr´e du dernier point ? Degr´e d’un point al´eatoire ?
1 n
n
X
i=1degr´e(pi) ≤ 6
Coˆut total
Coˆut total ≤ Xn
1 6 = O(n)
la localisation
Structures de donn´ees
pour la localisation Arbre de Delaunay
Si p ∈ Cercle(t)
On dit t en conflit avec p
Si p ∈ Cercle(t)
On dit t en conflit avec p Localiser =
Trouver les triangles en conflit (les triangles de Delaunay)
Si p ∈ Cercle(t)
On dit t en conflit avec p Localiser =
Trouver les triangles en conflit (les triangles de Delaunay)
q p
r
q p
u r
s
sqr rqu
p q
u r
s
sqr rqu
p q
u r
s
Si v en conflit avec pqr
sqr rqu
p q
u r
s
Si v en conflit avec pqr
sqr rqu
p q
u r
s
Si v en conflit avec pqr
ayant ´et´es de Delaunay en conflit avec v
ayant ´et´es de Delaunay en conflit avec v
Probl`eme :
les compter !
Proba(xn en conflit avec t) ?
Id´ee : d´ecomposer sur la cr´eation de t
´echantillon k + 1
xn Et o`u est xk ?
xn
xn
xn est-il en conflit avec un triangle cr´e´e par xk ?
Si x est en conflit avec un triangle cr´e´e par x
Si x est en conflit avec un triangle cr´e´e par x
Si x est en conflit avec un triangle cr´e´e par x
xn
Si x est en conflit avec un triangle cr´e´e par x
6 voisins en moyenne
avec proba 6 k
localisation
O(n log n)
X
k
6
k = log n
Marche rectiligne
q r
q r
r
r
r
r
l
r q
l
r q
' 2n q
Aire d’un triangle : Largeur d’un triangle :
Aire d’un triangle : Largeur d’un triangle :
' 1 2n ' 1
√n
Aire d’un triangle : Largeur d’un triangle :
' 1 2n ' 1
√n
Aire visit´ee
Aire d’un triangle : Largeur d’un triangle :
' 1 2n ' 1
√n
Aire visit´ee ' L × 1
√n
L
Aire d’un triangle : Largeur d’un triangle :
' 1 2n ' 1
√n
Aire visit´ee ' L × 1
√n
L
Aire d’un triangle : Largeur d’un triangle :
' 1 2n ' 1
√n
Aire visit´ee ' L × 1
√n
L
Preuve th´eorique
Plus difficile !
Marche par visibilit´e
¸ca boucle
p t3
4
t5
t6 t0
¸ca termine avec probablit´e 1
¸ca termine avec probablit´e 1
exponentiel
p
Pas de cycle dans ce cas.
avec l’´equation (xp, yp)
avec une droite s´ecante
p q
r
puissance = pq · pr
avec une droite tangente
t puissance = pt2
avec une droite tangente
t puissance = pt2
et Pythagore
c
puissance < 0
A
B
A
B
Pas de cycle dans ce cas.
2n triangles maximum
