De la g´eom´etrie algorithmique au calcul g´eom´etrique l’exemple de la triangulation de Delaunay Application`alareconstruction

De la g´eom´etrie algorithmique

au calcul g´eom´etrique l’exemple

de la triangulation de Delaunay

Application`alareconstruction

Le probl´eme de

reconstruction

Des points sur le bord d’un objet

Des points sur le bord d’un objet

Retrouver l’objet

Des points sur le bord d’un objet

Des points sur le bord d’un objet

Retrouver l’objet

Ing´enierie inverse (maquette, espionnage industriel)

laser Capteurs

lumi`ere structur´ee m´ecanique

Applications

CAO

prototypage contrˆole qualit´e

Diagnostic scanner Capteurs

´echographie . . .

Applications

M´edical

Simulation d’endoscopie Planification de chirurgie

Cartographie, Mod`eles de terrains Photo a´erienne, satellite

Capteurs

carotage sismique Applications

G´eographie, G´eologie

Mod`elisation radio (t´el´ephone)

”Image” sous-sol (tunnels, p´etrole. . . )

Visualisation d’´equations alg´ebriques Algorithme

Capteurs

en dimension d − 1 Applications

Discr´etisation d’objets ”math´ematiques”

Planification de robot (x, y, θ)

Lien avec

la triangulation de Delaunay

Si l’objet est bien ´echantillonn´e les arˆetes de la reconstruction sont des arˆetes de Delaunay

Si l’objet est bien ´echantillonn´e les arˆetes de la reconstruction sont des arˆetes de Delaunay

D´efinition squelette D´efinition ε ´echantillon

Reconstruction ⊂ Delaunay

D´efinition squelette

D´efinition squelette

Centres des cercles maximaux

D´efinition squelette

Centres des cercles maximaux

D´efinition squelette

D´efinition squelette

D´efinition squelette

D´efinition squelette

D´efinition squelette

D´efinition squelette

D´efinition ε ´echantillon

D´efinition ε ´echantillon

lfs(x) (local feature size)

x

D´efinition ε ´echantillon Echantillon´

D´efinition ε ´echantillon Echantillon´

D´efinition ε ´echantillon ε ´echantillon

D´efinition ε ´echantillon ε ´echantillon

∀x, plus proche de x sur le bord < ε lfs(x) x

Lemme

Lemme

Cercle ∩ courbe a une seule composante connexe

Lemme

Cercle ∩ courbe a une seule composante connexe ou alors Cercle ∩ squelette 6= ∅

Lemme

Cercle ∩ courbe a une seule composante connexe ou alors Cercle ∩ squelette 6= ∅

q

r c

q, r plus proche c dans 2 composantes

Lemme

Cercle ∩ courbe a une seule composante connexe ou alors Cercle ∩ squelette 6= ∅

cr coupe le squelette

q

r c

q, r plus proche c dans 2 composantes

Reconstruction ⊂ Delaunay 1 ´echantillon

Reconstruction ⊂ Delaunay 1 ´echantillon

Reconstruction ⊂ Delaunay 1 ´echantillon

Reconstruction ⊂ Delaunay 1 ´echantillon

Reconstruction ⊂ Delaunay 1 ´echantillon

Reconstruction ⊂ Delaunay 1 ´echantillon

D

⇒ D∩ squelette = ∅

Reconstruction ⊂ Delaunay 1 ´echantillon

D

⇒ D∩ squelette = ∅ +Lemme ⇒ D∩ courbe = arc x_ix_i+1

x_i x_i+1

Reconstruction ⊂ Delaunay 1 ´echantillon

D

⇒ D∩ squelette = ∅ +Lemme ⇒ D∩ courbe = arc x_ix_i+1

x_i x_i+1

⇒ D∩ ´echantillon = ∅ (x_ix_i+1de Delaunay)

Chercher la courbe dans Delaunay

Chercher la courbe dans Delaunay

Chercher la courbe dans Delaunay

Sous graphes de

la triangulation de Delaunay

Graphe de Gabriel

Graphe de Gabriel

Graphe de Gabriel

Cercle diam´etral vide

Graphe de Gabriel

Graphe de Gabriel

Graphe de Gabriel

Graphe de Gabriel

Graphe de Gabriel

aigu

aigu

α forme

α forme

α forme

Cercle de rayon α vide

α forme

α forme

α forme

α forme

α forme

Cercle de rayon α vide

α forme

α forme

β squelette

β squelette

β squelette

2 cercles vides 1 β

β squelette

Crust

0.4 ´echantillon ⇒ Courbe ⊂ Crust

0.4 ´echantillon ⇒ Courbe ⊂ Crust

passant par ´echantillon disque centr´e sur le bord

0.4 ´echantillon ⇒ Courbe ⊂ Crust

passant par ´echantillon rayon lfs disque centr´e sur le bord

0.4 ´echantillon ⇒ Courbe ⊂ Crust

passant par ´echantillon rayon lfs disque centr´e sur le bord

Sommet Vorono¨ı dedans ?

0.4 ´echantillon ⇒ Courbe ⊂ Crust

passant par ´echantillon rayon lfs disque centr´e sur le bord

Sommet Vorono¨ı dedans ? cercle vide

0.4 ´echantillon ⇒ Courbe ⊂ Crust

passant par ´echantillon rayon lfs disque centr´e sur le bord

Sommet Vorono¨ı dedans ? cercle vide

R

0.4 ´echantillon ⇒ Courbe ⊂ Crust

passant par ´echantillon rayon lfs disque centr´e sur le bord

Sommet Vorono¨ı dedans ? cercle vide

R

R ≤ 2rsinθ r

θ

0.4 ´echantillon ⇒ Courbe ⊂ Crust

passant par ´echantillon rayon lfs disque centr´e sur le bord

Sommet Vorono¨ı dedans ? cercle vide

R

R ≤ 2rsinθ r

θ θ ≤ ^π₂ + arcsin₂^r

0.4 ´echantillon ⇒ Courbe ⊂ Crust

passant par ´echantillon rayon lfs disque centr´e sur le bord

Sommet Vorono¨ı dedans ? cercle vide

R

R ≤ 2rsinθ r

θ θ ≤ ^π₂ + arcsin₂^r

lfs

par trois points

0.25 ´echantillon ⇒ Courbe = Crust

0.25 ´echantillon ⇒ Courbe = Crust

Delaunay ?

0.25 ´echantillon ⇒ Courbe = Crust

Delaunay ?

0.25 ´echantillon ⇒ Courbe = Crust

0.25 ´echantillon ⇒ Courbe = Crust

vide (´echantillon + Vorono¨ı)

0.25 ´echantillon ⇒ Courbe = Crust

vide (´echantillon + Vorono¨ı)

0.25 ´echantillon ⇒ Courbe = Crust

⇒ vide ´echantillon

0.25 ´echantillon ⇒ Courbe = Crust

0.25 ´echantillon ⇒ Courbe = Crust

borne inf sur plus grand des deux angles

0.25 ´echantillon ⇒ Courbe = Crust

borne inf

distance entre ´echantillons

0.25 ´echantillon ⇒ Courbe = Crust

d’apr`es le lemme squelette ∩ 6= ∅

0.25 ´echantillon ⇒ Courbe = Crust

d’apr`es le lemme squelette ∩ 6= ∅ borne sup sur lfs ici

d’apr`es le lemme

car cercle ∩ courbe en 2 composantes Cercle ∩ squelette 6= ∅

0.25 ´echantillon ⇒ Courbe = Crust

borne inf

distance entre ´echantillons borne sup sur lfs ici

CQFD

Dimension 3

Dimension 3

cellule de Vorono¨ı

Dimension 3

cellule de Vorono¨ı

Dimension 3

cellule de Vorono¨ı

Dimension 3

cellule de Vorono¨ı

il y a des sommets de Vorono¨ı pr`es de la surface

Dimension 3

cellule de Vorono¨ı

il y a des sommets de Vorono¨ı pr`es de la surface

On ne va pas retrouver nos triangles

Dimension 3

cellule de Vorono¨ı

on ne garde que 2 “poles”

Dimension 3

cellule de Vorono¨ı

on ne garde que 2 “poles”

Dimension 3

cellule de Vorono¨ı

on ne garde que 2 “poles”

Dimension 3

cellule de Vorono¨ı

on ne garde que 2 “poles”

Dimension 3

cellule de Vorono¨ı

on ne garde que 2 “poles”

Dimension 3

cellule de Vorono¨ı

on ne garde que 2 “poles”

Estimation de la normale

Dimension 3 Les mauvais t´etrah`edres

Dimension 3 Les mauvais t´etrah`edres

presque colin´eaire

3 +1

Dimension 3 Les mauvais t´etrah`edres

presque colin´eaire

2 +2

Dimension 3 Les mauvais t´etrah`edres

presque coplanaire

sliver

Dimension 3

Les slivers ne sont pas g´en´es par les poles

Voisins naturels

voisins naturels

voisins naturels

coefficient :

voisins naturels coefficient :

interpolation naturelle

voisins naturels coefficient :

interpolation naturelle

fonction `a interpoler : distance `a la tangente

fonction `a interpoler : distance `a la tangente

pole

fonction `a interpoler : distance `a la tangente

pole

fonction `a interpoler : distance `a la tangente

pole

fonction `a interpoler : distance `a la tangente

dedans

fonction `a interpoler : distance `a la tangente

dehors

fonction `a interpoler : distance `a la tangente

niveau 0

C’est tout pour aujourd’hui