Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚3
Questions de cours
Question n˚ 1
Pour tout z ∈ C, Re(z) ≤ |z| (preuve) ; pour tout z ∈ C, |1 +z| ≤ 1 +|z| (preuve) ; in´egalit´es trian- gulaires (´enonc´e) ; cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e ≪de droite≫ (´enonc´e). SiM est un point du plan situ´e sur le cercle de centre Ω(3−4i) et de rayon 1, montrer que OM ≤6.
Question n˚ 2
Pr´esentation du revˆetement ρ du cercle unit´e par la droite r´eelle ; d´efinition de cos(x) et sin(x) pourx∈R; expression de cos(π2 −x) et sin(π2 −x) en fonction de cos(x) et sin(x) pour x ∈ R, valeurs de cos(π3) et sin(π3) (´enonc´e et preuve), cas d’´egalit´e de deux cosinus (´enonc´e et explication graphique) ; r´esoudre l’´equation
cos(2x) =−1 2 d’inconnuex∈]−π, π].
Question n˚ 3
D´efinition deeiθ, o`uθ∈R; relation fonctionnelle pour les nombreseiθ, o`u θ ∈ R (´enonc´e, admise) ; formule d’addition pour cosinus et sinus (´enonc´e et preuve `a partir du r´esultat pr´ec´edent) ; transformation d’un pro- duit en somme de cosinus et sinus (´enonc´e et preuve) ; calcul d’une primitive de la fonction
f:R→R; x7→sin(5x) sin(4x).
Question n˚ 4
Param´etrisation de U `a l’aide de cosinus et sinus (´enonc´e) ; relation fonctionnelle pour les nombres eiθ, o`u θ ∈ R (´enonc´e, admise) ; angle moiti´e i.e. facto- risation de 1 +eit et de 1−eit, o`u t ∈ R (heuris- tique g´eom´etrique pour le premier nombre, ´enonc´e et preuve) ; r´esolution de l’´equation
|1 +z|= 1 d’inconnuez∈U.
Chap. 1 − Nombres complexes et trigonom´ etrie
• D´efinition de la conjugaison complexe et in- terpr´etation g´eom´etrique.
• Retrouver la partie r´eelle (resp. imaginaire) `a partir du conjugu´e.
• Caract´erisation des r´eels via la conjugaison com- plexe.
• Caract´erisation des imaginaires purs via la conju- gaison complexe.
• Affixe d’un vecteur, d’un bipoint, vecteur ayant pour affixe un nombre complexe donn´e.
• D´efinition du module d’un nombre complexe et interpr´etation g´eom´etrique.
• Equation complexe d’un cercle.´
• Equation complexe d’un disque (ferm´e).´
• Pour toutz∈C,|z|2=z z.
• Propri´et´es alg´ebriques du module.
• In´egalit´e triangulaire et cas d’´egalit´e.
• Propri´et´e de s´eparation du module.
• D´efinition du cercle unit´e, d´efinition du nombre π.
• Revˆetement du cercle unit´e par la droite r´eelle, d´efinition du cosinus et du sinus d’un nombre r´eel.
• Relation de Pythagore.
• D´efinition des fonctions cosinus et sinus et pro- pri´et´es d’icelles (parit´e et p´eriodicit´e).
• Effets de quelques transformations affines sur co- sinus et sinus (e.g.x7→ π2 −x).
• Valeurs remarquables de cosinus et sinus.
• Cas d’´egalit´e de deux cosinus (resp. de deux si- nus).
• Exemples de r´esolutions d’´equations et d’in´equations trigonom´etriques.
• D´efinition de l’ensemble U des nombres com- plexes de module 1.
• Propri´et´es alg´ebriques des nombres complexes de module 1.
• Param´etrisation deU`a l’aide de cosinus et sinus.
• D´efinition des nombreseiθ, avecθ∈R.
• Cas d’´egalit´e de deux nombres de la forme eiθ (θ∈R).
• Propri´et´es ´el´ementaires des nombreseiθ (θ∈R).
• Equation fonctionnelle v´erifi´ee par les nombres´ eiθ (θ∈R).
• Formules d’Euler.
• Formules d’addition pour cosinus et sinus.
• Formules de duplication pour cosinus et sinus.
• Transformation d’un produit en somme pour co- sinus et sinus.
• Angle moiti´e : pour toutt ∈ R, on a 1 +eit = 2 cos(2t)eit2 et 1−eit=−2isin(t2)ei2t.
• Transformation d’une somme en produit de cosi- nus et sinus.
• D´efinition de la fonction tangente.
• Plusieurs ´ecritures du domaine de d´efinition de la fonction tangente.
• Valeurs remarquables de la fonction tangente.
• La fonction tangente est impaire etπ-p´eriodique.
• Formule d’addition pour tangente.
