On consid`ere l’ensemble C={y∈IRn |y=λ(x−x0), λ≥0, x∈S} 1

Liste d’exercices n^o1 Ensembles convexes - S´eparation

Exercice 1 Soit dans IR² l’ensemble S = {x ∈ IR²|x²₁+x²₂ ≤ 1}. Repr´esenter S comme l’intersection d’une collection de demi-espaces.

Exercice 2 SoientC1 et C2 deux cˆones convexes de IRⁿ. Montrer queC1+C2 est aussi un cˆone convexe et que C1+C2= conv{C1SC2}.

Exercice 3 SoitS un sous-ensemble non vide deIRⁿ et soitx0∈S. On consid`ere l’ensemble C={y∈IRⁿ |y=λ(x−x0), λ≥0, x∈S}

1. Montrer queC est un cˆone et donner son interpr´etation g´eom´etrique.

2. Montrer queC est convexe siS est convexe.

3. C est-il ferm´e siS l’est ? Sinon, sous quelles conditions est-ce vrai ? Exercice 4 Boule circonscrite `a un ensemble convexe

On noteB(x, r) ={y∈IRⁿ|ky−xk ≤r} la boule euclidienne de centrexet de rayonr.

SoitC un convexe compact deIRⁿ.

1. Montrer qu’il existe une unique boule ferm´ee B(x, r) de centre xet de rayon r, dite circonscrite `a C, telle que :

C⊂B(x, r) et∀y∈IRⁿ,∀r⁰ >0;C⊂B(y, r⁰) =⇒r⁰≥r

Indication : On prendra une suite{rk} de nombres r´eels positifs d´ecroissants convergeant versa= inf{r >

0| ∃x∈IRⁿ, B(x, r)⊃C}et une suite{xk}dansIRⁿ telle queB(xk, rk)⊃C, et on montrera que cette suite est born´ee.

2. Montrer que le centrexde la boule circonscrite `aC appartient `aC.

Indication: On utilisera le th´eor`eme de S´eparation.

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