Exercice 1 : Exercices classiques (15 minutes) (3 points) 1. R´esoudre dansC:z−3¯z+ 2−i= 0 ;
2. D´eterminer les limites suivantes (donner si elle existe une interpr´etation graphique) (a) lim
x→−∞
sin(x)
x2+ 1 (b) lim
x→−∞
r8x+ 5 2x−5
Solution:
1. Soientx ety deux r´eels tels que z=x+iy.
z−3¯z+ 2−i= 0⇔x+iy−3x+ 3iy+ 2−i= 0⇔ −2x+ 2 + 4iy−i= 0.
La solution est donc 1 +14i.
2. (a) Pour tout r´eelx,−1<sinx <1, donc − 1
x2+ 1 < sinx
x2+ 1 < 1 x2+ 1. Or lim
x→−∞
1
x2+ 1 = 0.
Par le th´eor`eme des gendarmes, lim
x→−∞
sinx x2+ 1 = 0.
Il y a donc une asymptote horizontale d’´equation y= 0 (b) Pour tout r´eelx6= 0, 8x+ 5
2x−5 = 8 +5x
2− 5x. Par quotient. lim
x→−∞
8x+ 5 2x−5 = 4.
De plus lim
x→4
√x= 2.
Par composition : lim
x→−∞
8x+ 5 2x−5 = 2.
Il y a donc une asymptote horizontale d’´equation y= 2
Exercice 2 : ´Etude d’une transformation (15 minutes) (3 points) Le plan complexe est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct (O;~u;~v)
A tout nombre complexe` z diff´erent de −i, on associe le nombre complexe : z0 = z−2 +i
z+i .
1. Siz=x+iy,xety´etant deux r´eels, exprimer la partie r´eelle et la partie imaginaire dez0 en fonction dex ety.
On v´erifiera que Re(z0) = x2+y2−2x+ 2y+ 1 x2+ (y+ 1)2 . 2. En d´eduire la nature de :
(a) L’ensemble C des pointsM d’affixe z tels quez0 soit un r´eel.
(b) L’ensemble F des pointsM d’affixe z tels que z0 soit un imaginaire pur.
Solution:
1. z0 = x+iy−2 +i
x+iy+i = x−2 +i(y+ 1)
x+i(y+ 1) = (x−2 +i(y+ 1)) (x−i(y+ 1)) x2+ (y+ 1)2
= (x−2)x+ (y+ 1)2+i(−(x−2)(y+ 1)) + (y+ 1)x)
x2+ (y+ 1)2 = x2+y2−2x+ 2y+ 1
x2+ (y+ 1)2 +i 2y+ 2 x2+ (y+ 1)2. 2. L’ensembleC des points M d’affixe z tels quez0 soit un r´eel est l’ensemble des pointsM tel que
2y+ 2 = 0. Il s’agit donc de la droite d’´equation y=−1.
3. L’ensembleT des pointsM d’affixeztels quez0 soit un imaginaire pure est l’ensemble des points M tels quex2+y2−2x+ 2y+ 1 = 0.
Orx2+y2−2x+ 2y+ 1 = (x−1)2+ (y+ 1)2−1.
Il s’agit donc des points du cercle de centre d’affixe 1−iet de rayon 1.
Exercice 3 : Probl`eme : nombres complexes (40 minutes) (6 points) 1. On consid`ere dans l’ensemble des nombres complexes l’´equation (E) `a l’inconnue z:
z3+
−2√ 3 + 2i
z2+
4−4i
√ 3
z+ 8i = 0 (E).
(a) Montrer que le nombre−2i est une solution de l’´equation (E).
(b) V´erifier que, pour tout nombre complexe z, on a : z3+
−2√
3 + 2i z2+
4−4i√ 3
z+ 8i = (z+ 2i)
z2−2√
3z+ 4 . (c) R´esoudre l’´equation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.
Dans la suite, on se place dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e direct d’origine O.
2. On consid`ere les points A, B, C d’affixes respectives−2i,√
3 + i et√ 3−i.
(a) Montrer que A, B et C appartiennent `a un mˆeme cercle de centre O dont on d´eterminera le rayon.
(b) Construire ces points sur une figure que l’on compl`etera par la suite.
(c) On note D le milieu du segment [OB]. D´eterminer l’affixe zL du point L tel que AODL soit un parall´elogramme.
3. On rappelle que, dans un rep`ere orthonorm´e du plan, deux vecteurs de coordonn´ees respectives (x; y) et (x0 ; y0) sont orthogonaux si et seulement si xx0+yy0= 0.
(a) Soit−→ u et−→
v deux vecteurs du plan, d’affixes respectives z etz0. Montrer que−→
u et−→
v sont orthogonaux si et seulement sizz0 est un imaginaire pur.
(b) `A l’aide de la question 3. a., d´emontrer que le triangle AOL est rectangle en L.
Solution:
1. On consid`ere dans l’ensemble des nombres complexes l’´equation (E) `a l’inconnuez : z3+
−2√ 3 + 2i
z2+
4−4i√ 3
z+ 8i = 0 (E).
a. (−2i)3+ −2√ 3 + 2i
×(−2i)2+ 4−4i√ 3
×(−2i) + 8i
= 8i + −2√ 3 + 2i
×(−4) + 4−4i√ 3
×(−2i) + 8i
= 8i + 8√
3−8i−8i−8√
3 + 8i = 0.
−2i est donc bien une solution de l’´equation (E).
b. Pour toutz∈C, (z+ 2i) z2−2√
3z+ 4
=z3−2√
3z2+ 4z+ 2iz2−4√
3iz+ 8i
=z3+ −2√ 3 + 2i
z2+ 4−4i√ 3
z+ 8i. Donc :z3+ −2√ 3 + 2i
z2+ 4−4i√ 3
z+ 8i = (z+ 2i) z2−2√
3z+ 4 .
c. Dans C, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un l’un des facteurs est nul.
On a :
• z+ 2i = 0 doncz1 =−2i
• z2−2√
3z+ 4 = 0
∆ = (−2√
3)2 −4×4 = 12−16 = −4 < 0 ; l’´equation a deux solutions complexes conjugu´ees.
z2 = 2√
3−(2i)
2 =√
3−i etz3=z2 =√ 3 + i Les solutions de (E) sont : S ={−2i ; √
3−i ; √
3 + i}.
a. i. On a OA= 2 ;OB = 2 etOC = 2 donc OA=OB=OC= 2 . A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.
ii.
iii. AODL est un parall´elogramme si, et seulement si,−→
AO=−→
LD⇔ −zA=zD−zL⇔zA= zL−zD donczL=zA+zD =zA+ 1
2zB =−2i +
√ 3 2 + 1
2i =
√ 3 2 −3
2i. b. i. Soit −→
u et−→
v deux vecteurs du plan, d’affixes respectives zet z0. zz0 = (x+ iy) (x0−iy0) =xx0+yy0+ i (x0y−xy0).
−
→u et−→
v sont orthogonaux si, et seulement si, xx0+yy0 = 0⇔Re zz0
= 0, donc si, et seulement si,zz0 est un imaginaire pur.
ii. L’affixe du vecteur −−→
OL estz=
√ 3 2 −3
2i.
Celle du vecteur −−→
AL estz0=zL−zA=
√3 2 − 3
2i + 2i =
√3 2 +1
2i.
Alors :zz0= √3
2 −3 2i
! √ 3 2 −1
2i
!
= 3 4 −
√3 4 i−3√
3 4 i−3
4 =−√
3i∈iR. Les vecteurs −−→
OL et−−→
AL donc donc orthogonaux ; le triangle AOL est bien rectangle en L.
Exercice 4 : Probl`eme : ´Etude d’une fonction (40 minutes) (61/2 points) Partie A
Soit g une fonction d´efinie surRparg(x) = 4x3−3x−8.
1. D´eterminer la limite en−∞ de g. Donner sans d´emonstration la limite deg en +∞.
2. Dresser le tableau de variations complet deg.
3. D´emontrer que l’´equation g(x) = 0 a une unique solution α dansR. 4. D´eterminer un encadrement deα d’amplitude 10−2.
5. En d´eduire le tableau de signes de g(x).
Solution:
1. Pour x 6= 0, g(x) =x3(4−x32 −x83). lim
x→−∞4− x32 −x83 = 4 et lim
x→−∞x3 = −∞. Par produit, la fonction diverge vers−∞. En +∞, elle diverge vers +∞
2. gest d´erivable comme fonction polynˆome.g0(x) = 12x2−3 = 3(2x−1)(2x+ 1). On obtient donc le tableau de variations suivant :
x g0(x)
g
−∞ −12 12 +∞
+ 0 − 0 +
−∞
−∞
−7
−7
−9
−9
+∞
+∞
3. Selon le tableau de variations, gadmet un maximum de −7 sur ]− ∞;12].g(x) = 0 n’admet donc pas de solution sur cet intervalle.
Sur ]12; +∞[ :
— g est continue.
— g est strictement croissante.
— g(12) =−9 et lim
x→+∞g(x) = +∞
Par le corollaire du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, on en d´eduit que g(x) = 0 admet une unique solution sur [12; +∞[.
g(x) = 0 admet donc une unique solution surR.
4. α∈[1,45; 1,46]
5. g est croissante sur [12; +∞[ donc x
g(x)
−∞ α +∞
− 0 +
Partie B
Soit f la fonction d´efinie sur I =]12; +∞[ parf(x) = x3+ 1 4x2−1. 1. D´eterminer les limites def en 12 (`a droite) et en +∞.
2. Quelles interpr´etations graphiques peut-on en d´eduire ? 3. D´emontrer que pour toutx∈I :f0(x) = xg(x)
(4x2−1)2. 4. Dresser le tableau de variations complet def sur I.
5. En utilisant la d´efinition deα, d´emontrer quef(α) = 38α. En d´eduire un encadrement de f(α) Solution:
1. lim
x→1
2
x3+1 = 98 et lim
x→1
2
4x2−1 = 0. Six > 12, alors 4x2−1>0, donc par quotient lim x→ 12
x > 12
f(x) = +∞.
Pour x 6= 0, g(x) = x 1 +x13
4−x12 . En +∞, le num´erateur diverge vers +∞ (par produit) et le d´enominateur tend vers 4. Donc lim
x→−∞g(x) = +∞.
2. Il existe donc une asymptote verticale d’´equation x= 12.
3. f est d´erivable sur I comme quotient de polynˆomes avec le d´enominateur non nulle. On pose u(x) =x3+ 1 etv(x) = 4x2−1, On au0(x) = 3x2 etv0(x) = 8x.
Doncf0(x) = 3x2(4x2−1)−8x(x3+ 1)
(4x2−1)2 = 12x4−3x2−8x4−8x
(4x2−1)2 = xg(x) (4x2−1)2
4.
x xg(x)
f0(x) f
1
2 α +∞
− 0 +
− +
+∞
f(α) f(α)
+∞
+∞
5. f(α) = 38α ⇔α3+ 1 = 32α3−38α⇔ −12α3+ 38α+ 1 = 0⇔ −8g(α) = 0.
Or par d´efinition de α,g(α) = 0. Ce qui prouve l’´egalit´e.
On a vu queα∈[1,45; 1,46] doncα∈[38 ×1,45;38 ×1,46] doncα∈[0,54; 0,55].
6.
Exercice 5 : Prise d’initiative (10 minutes) (11/2 points) Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l’´evaluation.
Pour quelles valeurs du r´eel k, l’´equation 4x3−3x+k= 0 a-t-elle une unique solution dansR? Solution:
On reprend les calculs de la partie A de l’exercice 4. On obtient le tableau de variations :
Soit g la fonction d´efinie surRpar g(x) = 4x3−3x+k x
g0(x) g
−∞ −12 12 +∞
+ 0 − 0 +
−∞
−∞
k+ 1 k+ 1
k−1 k−1
+∞
+∞
A l’aide du corollaire des valeurs interm´` ediaires, on peut montrer que sik+ 1<0 alors l’´equationg(x) admet une unique solution (et elle est sur ]− ∞;−12[).
De mˆeme sik−1>0, alors l’´equationg(x) admet une unique solution (et elle est sur ]12; +∞[).
