T8 DS 5 : Espace, Forme exponentielle exponentielle et Suite 26 janvier 2018 Dur´ee 115 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Nom et pr´enom :
Exercice 1 : Exercices classiques (20 minutes) (3 points)
Dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonorm´e di- rect (O;~u;~v), on a trac´e le cercle trigonom´etrique.
1. ´Ecrire 3eiπ3 et eiπ2
eiπ4 sous forme alg´ebrique.
2. ´Ecrire 3−3iet (3−3i)3 sous forme exponentielle.
3. R´epondre par vrai ou faux :
L’ensemble des points du plan d’affixe z tels que
|z −4| = |z+ 2i| est une droite qui passe par A d’affixe 3i.
4. Placer ci-contre les pointsAetB d’affixe zA= eiπ3 et zB= 2e−i3π4 .
O
~ u
~ v
Exercice 2 : Suite (30 minutes) (5 points)
On cherche `a mod´eliser de deux fa¸cons diff´erentes l’´evolution du nombre, exprim´e en millions, de foyers fran¸cais poss´edant un t´el´eviseur `a ´ecran plat, en fonction de l’ann´ee.
Soitun le nombre, exprim´e en millions, de foyers poss´edant un t´el´eviseur `a ´ecran plat l’ann´een.
On posen= 0 en 2005,u0= 1 et, pour toutn>0, un+1= 1
10un(20−un). 1. Soitf la fonction d´efinie sur [0 ; 20] par
f(x) = 1
10x(20−x).
(a) ´Etudier les variations de f sur [0 ; 20].
(b) En d´eduire que pour tout x∈[0 ; 20], f(x)∈[0 ; 10].
(c) On donne enannexela courbe repr´esentative Cde la fonction f dans un rep`ere orthonormal.
Repr´esenter, sur l’axe des abscisses, `a l’aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite (un)n>0. 2. Montrer par r´ecurrence que pour toutn∈N, 06un6un+1610.
3. Montrer que la suite (un)n>0 est convergente et d´eterminer sa limite.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 f
T8 DS 5 Page 2 sur 2
Exercice 3 : Exercice sur l’espace (45 minutes) (7 points)
Soit ABCDEF un prisme droit , donn´e en annexe, ABDE, BCEF et ACDF sont des rectangles.
On d´efinit le rep`ere (A;−−→
AB;−−→
AC;−−→
AD).
1) Sur l’annexe, placer I milieu de [AB], J milieu de [BE] et K tel que−−→
AK = 1 4
−−→AC.
2) Donner les coordonn´ees des sommets du prisme, puis d´eterminer les coordonn´ees des points I, J et K.
3) D´eterminer une ´equation param´etrique de la droite (IJ).
On admet que la droite (DE) a pour repr´esentation param´etrique
x = t0 y = 0 z = 1
, t0 ∈R. 4) Montrer que les droites (DE) et (IJ) sont s´ecantes en un point L.
Pour la suite, on admettra que L a pour coordonn´ees 32; 0; 1 . 5) Placer M 0;34; 1
. Sur quelle arˆete se trouve le point M ? 6) Montrer que les points I, J, K et M sont coplanaires.
7) Justifier que (LM) est l’intersection des plans (FDE) et (IJK), puis d´emontrer que (LM) est parall`ele `a (IK).
8) Construire la section du prisme par (IJK) en laissant uniquement les traits de construction sans justification.
A
B
C D
E
F
Exercice 4 : Prise d’initiative sur les complexes (20 minutes) (4 points) Dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonorm´e direct
O, −→ u , −→
v
, on consid`ere les points A et B d’affixes respectiveszA= 2eiπ4 et zB= 2ei3π4
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
EXERCICE4 3 points
Commun à tous les candidats
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct!
O ;−→u,−→v"
, on consi- dère les points A et B d’affixes respectiveszA=2eiπ4 etzB=2ei3π4
−1 1 2
1 2
−1
A B
−
→u
−
→v O
1. Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle.
2. On considère l’équation
(E) :z2−#
6z+2=0.
Montrer qu’une des solutions de (E) est l’affixe d’un point situé sur le cercle circonscrit au triangle OAB.
EXERCICE5 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Un biologiste souhaite étudier l’évolution de la population d’une espèce animale dans une réserve.
Cette population est estimée à 12 000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60 000 individus.
Partie A : un premier modèle
Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5 % par an.
L’évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite (vn) oùvn représente le nombre d’individus, exprimé en milliers, en 2016+n. On a donc v0=12.
1. Déterminer la nature de la suite (vn) et donner l’expression devnen fonction den.
2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel?
Partie B : un second modèle
Le biologiste modélise ensuite l’évolution annuelle de la population par une suite (un) définie paru0=12 et, pour tout entier natureln,un+1= −1,1
605un2+1,1un. 1. On considère la fonctiongdéfinie surRpar
g(x)= −1,1
605x2+1,1x.
Amérique du Sud 4 21 novembre 2017
1. Montrer que OAB est un triangle rectangle isoc`ele.
2. On consid`ere l’´equation
(E) : z2−√
6z+ 2 = 0.
Montrer qu’une des solutions de (E) est l’affixe d’un point situ´e sur le cercle circonscrit au triangle OAB.
