Universit´ e de Brest

Licence 1

Analyse

Universit´ e de Brest

Examen d’Analyse 1

Exercice 1

1/ Trouver les primitives de x7→sin³x surR. 2/ Calculer

Z 2

0

t²e^tdt.

Exercice 2

R´esoudre y⁰⁰+ 5y⁰ −6y = cosxsur R. Exercice 3

Calculer la diff´erentielle de (x, y)7→f(x, y) = e^−xsiny+x⁵y²cosx en (x₀, y₀).

Exercice 4

On se propose d’´etudier la fonction d´efinie par f(x) = Z 2x

x

√ 1

t⁴+ 1dt, d´efinie sur R, sans calculer la valeur exacte de l’int´egrale.

1/ ´Etudier et repr´esenter graphiquement la fonction φ:x7→ 1

√x⁴+ 1.

2/ On suppose x ≥0. Donner une interpr´etation g´eom´etrique de f(x). En d´eduire f(−x) =−f(x).

3/ Calculer les d´eriv´ees des fonctions x 7→

Z x

0

φ(t)dt, x 7→

Z 2x

0

φ(t)dt et x 7→

Z 2x

x

φ(t)dt =f(x).

4/ ´Etudier les variations de f.

5/ Montrer que pour toutx≥1, 0 ≤f(x)≤ Z 2x

x

dt

t². En d´eduire lim

x→+∞f(x).

6/ Montrer que pour tout x ≥ 0, 0 ≤ f(x) ≤ Z 2x

x

1dt. En d´eduire la position du graphe de f par rapport `a la tangente en (0, f(0)).

7/ Tracer le graphe de f.

1