Familles libres, familles génératrices II

IUT Rodez Ann´ee universitaire 2008/2009

Informatique 1◦_{ann´ee TD de math´ematiques n}◦₂₂

TD n

_{22. Familles de vecteurs.}

1

Familles g´

en´

eratrices

Exercice 1 _{On se place dans l’espace vectoriel R}3

.

1. ´Ecrire le vecteur −→v = (1, −2, 5) comme combinaison lin´eaire des vecteurs −→e1 = (1, 1, 1),

− →_e

2 = (1, 2, 3) et −→e3 = (2, −1, 1).

2. Pour quelle valeur de k le vecteur −→u = (1, −2, k) est-il une combinaison lin´eaire des vecteurs −→v = (3, 0, 2) et −→w = (2, −1, −5) ?

3. Donner une interpr´etation g´eom´etrique de la question pr´ec´edente. (Il faut pour cela munir l’espace d’un rep`ere R = (O ; −→i ,−→j ), et consid´erer les vecteurs comme ´etant donn´es par leurs coordonn´ees dans ce rep`ere).

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Exercice 2 On se place dans l’espace, muni d’une rep`ere R et on note −→u =   1 0 −1   R , − →_{v =}   0 1 −1   R et −→w =   2 −1 −1  .

1. Montrer que −→w peut s’´ecrire comme une combinaison lin´eaire de −→u et −→v . 2. Que peut-on dire de l’espace vectoriel engendr´e par la famille {−→u , −→v , −→w } ?

3. Quelle relation liant les coordonn´ees des trois vecteurs −→u , −→v , −→w pourrait caract´eriser tous les points de Vec(−→u , −→v , −→w ) ?

4. V´erifier par le calcul que tout vecteur de ce plan est une combinaison lin´eaire des vecteurs −→u et −→v .

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2

Familles libres

Exercice 3 _{1. On consid`ere les 3 vecteurs de R}3−→

u1 = (1, 2, 1), −→u2 = (2, 1, 3) et −→u3 = (1, 1, 2)

(a) Ces vecteurs sont-ils lin´eairement ind´ependants ? (b) ´Ecrire le vecteur −→v = (6, 7, 8) dans la base {−→u1, −→u2, −→u3}

2. On note −→t1 = (1, 0, 0), − → t2 = (1, 1, 0) et − → t3 = (1, 1, 1).

(a) Montrer que la famille B = {−→t1,

− →

t2,

− →

t3} est libre. Que peut-on en conclure ?

(b) D´eterminer les coordonn´ees de tout vecteur −→v = (x, y, z) de R3

dans la base B.

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Exercice 4 _{On consid`ere le sous ensemble de R}3

d´efini par P = {(x, y, z) ∈ R3

/ 2x + 3y − z = 0}. 1. Montrer que P est un SEV de R3

.

2. (a) Montrer que les vecteurs −→u1 = (1, 0, 2) et −→u2 = (0, 1, 3) forment une famille libre

de P.

(b) Montrer que tout vecteur de P peut s’´ecrire comme une combinaison lin´eaire de −

→ u1 et −→u2.

(c) Que repr´esente la famille {−→u1, −→u2} pour le SEV P.

3. Quelles sont les coordonn´ees de tout vecteur −→v = (x, y, z) de P dans la base {−→u1, −→u2} ?