Laurent Braud Logiqueg´eom´etrique

Pr´esentation Un exemple g´eom´etrique/historique Puissance de la logique g´eom´etrique Recherche automatique Conclusion

Logique g´ eom´ etrique

Laurent Braud

sous la direction de ThierryCoquand Chalmers, G¨oteborg —EnsL

Pr´esentation Un exemple g´eom´etrique/historique Puissance de la logique g´eom´etrique Recherche automatique Conclusion

Au d´ ebut ´ etait la logique...

Lalogique g´eom´etriquetire son nom de ses origines en g´eom´etrie alg´ebrique. Une th´eorie g´eom´etrique n’a que des propri´et´es de la forme

C0 → ∃x¯1.C1∨ · · · ∨ ∃x¯n.Cn

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Preuve dynamique

La notion de logique g´eom´etrique est reli´ee `a celle depreuve dynamique. Un axiome g´eom´etrique donne lechoix `a partir d’hypoth`eses entre plusieurs possibilit´es.

Par exemple,

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Preuve dynamique

La notion de logique g´eom´etrique est reli´ee `a celle depreuve dynamique. Un axiome g´eom´etrique donne lechoix `a partir d’hypoth`eses entre plusieurs possibilit´es.

Par exemple,

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1 Z(0)

2 Z(a)∧Z(b) → Z(a+b)

3 Z(a) → Z(ab)

4 Z(a)∨ ∃a⁰.Z(aa⁰−1) Z(ab)

4:Z(a) 4:Z(aa⁰₀−1) 3:Z(−aa⁰₀b+b)

3:Z(aba⁰₀) 2:Z(b)

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L’exemple de Skolem

Skolem :Logisch-kombinatorische Untersuchungen ¨uber die

Erf¨ullbarkeit und Beweisbarkeit mathematischen S¨atze nebst einem Theoreme ¨uber dichte Mengen.

...mais plus simplement...

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L’exemple de Skolem

Skolem :Logisch-kombinatorische Untersuchungen ¨uber die

Erf¨ullbarkeit und Beweisbarkeit mathematischen S¨atze nebst einem Theoreme ¨uber dichte Mengen.

...mais plus simplement...

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L’exemple de Skolem

L’´egalit´e est r´eflexive et associative :

I_p AA I_l aa

IIp AB∧BC →AC IIl ab∧ab →ac IIIp AB∧Ac →Bc III_l ab∧Aa→Ab IV Aa∧Ba∧Ab∧Bb →AB∨ab Vp ∃c :Ac∨Bc Vl ∃C :Ca∨Cb

Th´eor`eme (Skolem)

Si on peut d´emontrer un fait avec I -V , on peut avec I -IV

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L’exemple de Skolem

L’´egalit´e est r´eflexive et associative :

I_p AA I_l aa

IIp AB∧BC →AC IIl ab∧ab →ac IIIp AB∧Ac →Bc III_l ab∧Aa→Ab IV Aa∧Ba∧Ab∧Bb →AB∨ab Vp ∃c :Ac∨Bc Vl ∃C :Ca∨Cb

Th´eor`eme (Skolem)

Si on peut d´emontrer un fait avec I -V , on peut avec I -IV

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And Now for Something Completely Different...

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Intuitionniste Classique

Inclusion

A partir de la logique g´eom´etrique, cette section d´efinit la notion deforcing qui est un mod`ele de la th´eorie, mod`ele qui correspond `a la logique que l’on cherche `a comparer, munie des op´erateurs logiques usuels (∧,∨,→,∀,∃,⊥).

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Intuitionniste Classique

Intuitionniste

φ X φ

fait il existe U : X U, et toutes les branches de U contiennentφ

φ1 →φ2 pour toutY :X ⊆Y,Y φ2 quandY φ1

φ1∧φ2 X φ1 et X φ2

φ₁∨φ₂ il existe U : X U, et toutes les branches de U contiennentφ1 ouφ2.

∀xψ pour toutY :X ⊆Y, et a∈T(Y), Y ψ(a)

∃xψ il existeU :XU, et dans toutes les branchesX_i deU on trouvea∈T(X_i) tel queX_i ψ(a).

⊥ X∅

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Intuitionniste Classique

Le r´esultat fondamental est celui-ci : Th´eor`eme

Siφ₁. . . φ₂ `_i φet X φ₁ρ . . . φ_nρ, alors X φ. En particulier, si

`_i φ, alors pour tout X , X φ.

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Intuitionniste Classique

Passons `a la logique classique...

Mais est-ce que c’est possible ?

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Intuitionniste Classique

Passons `a la logique classique...

Mais est-ce que c’est possible ?

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Intuitionniste Classique

La technique double negation

F^∗ = ¬¬F quandF est un fait (φ₁∧φ₂)^∗ = φ^∗₁∧φ^∗₂

(A→B)^∗ = A^∗ →B^∗ (∀x.A)^∗ = ¬(¬A^∗∧ ¬B^∗) (∃x.A)^∗ = ¬∀x.¬A

Lemme

`<sub>c</sub>φ↔`_c φ^∗ Lemme

`<sub>c</sub>φ<sup>∗</sup> ↔`_i φ^∗

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Intuitionniste Classique

La technique double negation

F^∗ = ¬¬F quandF est un fait (φ₁∧φ₂)^∗ = φ^∗₁∧φ^∗₂

(A→B)^∗ = A^∗ →B^∗ (∀x.A)^∗ = ¬(¬A^∗∧ ¬B^∗) (∃x.A)^∗ = ¬∀x.¬A

Lemme

`<sub>c</sub>φ↔`_c φ^∗

Lemme

`<sub>c</sub>φ<sup>∗</sup> ↔`_i φ^∗

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Intuitionniste Classique

La technique double negation

F^∗ = ¬¬F quandF est un fait (φ₁∧φ₂)^∗ = φ^∗₁∧φ^∗₂

(A→B)^∗ = A^∗ →B^∗ (∀x.A)^∗ = ¬(¬A^∗∧ ¬B^∗) (∃x.A)^∗ = ¬∀x.¬A

Lemme

`<sub>c</sub>φ↔`_c φ^∗ Lemme

`<sub>c</sub>φ<sup>∗</sup> ↔`_i φ^∗

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Intuitionniste Classique

Directement...

On d´efinit X φpar X ∈φ:

φ JφK J¬φK

fait J¬φK

| {φ}^|

φ₁∧φ₂ Jφ₁K∩Jφ₂K JφK^| φ1∨φ2 J¬φK^| J¬φ₁K∩J¬φ₂K φ₁ →φ₂ J¬φK

|

Jφ₁K∩J¬φ₂K

∀x.ψ X ∈T

Jψ(a)K JφK^|

∃x.ψ J¬φK^| X ∈T

J¬ψ(a)K

⊥ {X :X ↓} {X}

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Intuitionniste Classique

Propri´ et´ es

Lemme (propri´et´es de l’orthogonal)

1 A⊆A^||

2 Quand A⊆B, B^| ⊆A^|.

3 JφK

| =J¬φK

4 J¬φK^|=JφK

5 JφK^|| ⊆JφK

Un corollaire de ce lemme est de v´erifier qu’effectivement la d´efinition a le sens qu’on voudrait :

Jφ→ ⊥K= (JφK∩J¬⊥K)^|=JφK

| =J¬Kφ EtJ¬¬φKest alors bien ´egal `aJφK.

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Intuitionniste Classique

Propri´ et´ es

Lemme (propri´et´es de l’orthogonal)

1 A⊆A^||

2 Quand A⊆B, B^| ⊆A^|.

3 JφK

| =J¬φK

4 J¬φK^|=JφK

5 JφK^|| ⊆JφK

Un corollaire de ce lemme est de v´erifier qu’effectivement la d´efinition a le sens qu’on voudrait :

Jφ→ ⊥K= (JφK∩J¬⊥K)^|=JφK

| =J¬Kφ

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Intuitionniste Classique

Lemme

Si X `_c φ, alors X cφ.

Th´eor`eme

Si X `_c ⊥, alors X ↓.

Th´eor`eme

Si X `_c F , alors, X ↓^F.

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SATCHMO/RE Le dual d’une th´eorie

Recherche automatique

> →a∨b

> →u∨v b→ ⊥ u→ ⊥ v→ ⊥

>

a

u

⊥ v

⊥ b

⊥

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SATCHMO/RE Le dual d’une th´eorie

SATCHMO/RE

SATCHMO, ´ecrit en Prolog, fait ce travail.

→SATCHMORE, → A-SATCHMORE, → UNSEARCHMO,

→SATCHMORE, → I-SATCHMO, → R-SATCHMO...

L’id´ee de SATCHMORE est int´eressante... il s’int´eresse aux clause de Horn pures, du typeA→ ∃¯x.B

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SATCHMO/RE

SATCHMO, ´ecrit en Prolog, fait ce travail.

→SATCHMORE,

→ A-SATCHMORE, → UNSEARCHMO,

→SATCHMORE, → I-SATCHMO, → R-SATCHMO...

L’id´ee de SATCHMORE est int´eressante... il s’int´eresse aux clause de Horn pures, du typeA→ ∃¯x.B

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SATCHMO/RE Le dual d’une th´eorie

SATCHMO/RE

SATCHMO, ´ecrit en Prolog, fait ce travail.

→SATCHMORE, → A-SATCHMORE,

→ UNSEARCHMO,

→SATCHMORE, → I-SATCHMO, → R-SATCHMO...

L’id´ee de SATCHMORE est int´eressante... il s’int´eresse aux clause de Horn pures, du typeA→ ∃¯x.B

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SATCHMO/RE Le dual d’une th´eorie

SATCHMO/RE

SATCHMO, ´ecrit en Prolog, fait ce travail.

→SATCHMORE, → A-SATCHMORE, → UNSEARCHMO,

→SATCHMORE, → I-SATCHMO, → R-SATCHMO...

L’id´ee de SATCHMORE est int´eressante... il s’int´eresse aux clause de Horn pures, du typeA→ ∃¯x.B

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SATCHMO/RE Le dual d’une th´eorie

SATCHMO/RE

SATCHMO, ´ecrit en Prolog, fait ce travail.

→SATCHMORE, → A-SATCHMORE, → UNSEARCHMO,

→SATCHMORE,

→ I-SATCHMO, → R-SATCHMO...

L’id´ee de SATCHMORE est int´eressante... il s’int´eresse aux clause de Horn pures, du typeA→ ∃¯x.B

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SATCHMO/RE Le dual d’une th´eorie

SATCHMO/RE

SATCHMO, ´ecrit en Prolog, fait ce travail.

→SATCHMORE, → A-SATCHMORE, → UNSEARCHMO,

→SATCHMORE, → I-SATCHMO,

→ R-SATCHMO...

L’id´ee de SATCHMORE est int´eressante... il s’int´eresse aux clause de Horn pures, du typeA→ ∃¯x.B

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SATCHMO/RE Le dual d’une th´eorie

SATCHMO/RE

SATCHMO, ´ecrit en Prolog, fait ce travail.

→SATCHMORE, → A-SATCHMORE, → UNSEARCHMO,

→SATCHMORE, → I-SATCHMO, → R-SATCHMO...

L’id´ee de SATCHMORE est int´eressante... il s’int´eresse aux clause de Horn pures, du typeA→ ∃¯x.B

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SATCHMO/RE Le dual d’une th´eorie

SATCHMO/RE

SATCHMO, ´ecrit en Prolog, fait ce travail.

→SATCHMORE, → A-SATCHMORE, → UNSEARCHMO,

→SATCHMORE, → I-SATCHMO, → R-SATCHMO...

L’id´ee de SATCHMORE est int´eressante... il s’int´eresse aux clause de Horn pures, du typeA→ ∃¯x.B

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SATCHMO/RE Le dual d’une th´eorie

Le dual d’une th´ eorie

Soit une th´eorie :

a∧b → e∨f c → e∨(m∧n) si l’on a eue, c’est qu’on a eua∧b, ouc.

Tr`es logiquement, on ´ecrite (a∧b)∨c.

e (a∧b)∨c

f a∧b

m∧n c

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SATCHMO/RE Le dual d’une th´eorie

Le dual d’une th´ eorie

Soit une th´eorie :

a∧b → e∨f c → e∨(m∧n) si l’on a eue, c’est qu’on a eua∧b, ouc.

Tr`es logiquement, on ´ecrite (a∧b)∨c. e (a∧b)∨c

f a∧b

m∧n c

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SATCHMO/RE Le dual d’une th´eorie

On se rend compte ici de 2 choses.

Lemme

Dans le cas avec param`etres (pas de variables), le dual d’une th´eorie g´eom´etrique est g´eom´etrique.

Lemme

Dans le cas avec param`etres, le dual du dual d’une th´eorie est la th´eorie.

Est-ce que ¸ca sert vraiment ?..

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SATCHMO/RE Le dual d’une th´eorie

On se rend compte ici de 2 choses.

Lemme

Dans le cas avec param`etres (pas de variables), le dual d’une th´eorie g´eom´etrique est g´eom´etrique.

Lemme

Dans le cas avec param`etres, le dual du dual d’une th´eorie est la th´eorie.

Est-ce que ¸ca sert vraiment ?..

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Conclusion & questions