Le lemme fondamental métaplectique de Jacquet et Mao.

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Submitted on 10 May 2013

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Le lemme fondamental métaplectique de Jacquet et Mao.

Viet Cuong Do

To cite this version:

Viet Cuong Do. Le lemme fondamental métaplectique de Jacquet et Mao.. Géométrie algébrique

[math.AG]. Université de Lorraine, 2012. Français. �NNT : 2012LORR0020�. �tel-01749166v2�

UFR S.T.M.I.A.

Ecole Doctorale IAE + M ´ Universit´ e Henri Poincar´ e - Nancy I D.F.D. Math´ ematiques

TH ` ESE pr´ esent´ e par

Viet Cuong Do

pour l’obtention du

Doctorat de l’Universit de Lorraine Sp´ ecialit´ e: Math´ ematiques.

Le lemme fondamental m´ etaplectique de Jacquet et Mao

soutenu le 10 mai 2012

Composition du jury :

Pierre-Henri Chaudouard Rapporteur. Professeur ` a l’universit´ e Paris 7.

Alain Genestier Directeur de th` ese. Professeur ` a l’universit´ e de Lorraine.

G´ erard Laumon Directeur de recherche CNRS - Universit´ e Paris 11.

Sergey Lysenko Professeur ` a l’universit´ e de Lorraine .

Bao Chau Ngo Rapporteur. Professeur ` a l’universit´ e de Chicago (USA).

David Renard Professeur ` a l’´ ecole Polytechnique de Paris .

Institut ´ Elie Cartan Nancy

INRIA Lorraine

Remerciements

La présente étude n’aurait pas été possible sans le bienveillant soutien de certaines personnes. Et je ne suis pas non plus capable de dire dans les mots qui conviennent, le rôle qu’elles ont pu jouer à mes côtés pour en arriver là. Cependant, je voudrais les prier d’accueillir ici tous mes sentiments de gratitude qui viennent du fond de mon cœur, en acceptant mes remerciements.

J’adresse mes plus sincères remerciements à Alain Genestier qui est m’a accompagné durant ces cinq années. Sa grande disponibilité par rapport de mes questions ainsi que l’étendue ses connaissances m’ont permis d’appréhender de belles mathématiques. Ses conseils avisés et son soutien précieux tout au long de ces années ont grandement facilité ma tâche et ont permis d’aboutir à cette mémoire. Enfin, de toutes ces qualités inestimables, que tout jeune chercheur souhaiterait découvrir chez son directeur de thèse, je lui exprime ma plus profonde gratitude.

Je tiens à exprimer aussi ma profonde gratitude à Bao Chau Ngo. Un problème posé par Ngo est à l’origine des présents travaux. Depuis, il m’a plusieurs fois suggéré des méthodes ou posé des questions, qui ont été grandement fructueuses pour mes recherches. Une très belle formule de ce travail a été obtenue lorsque j’ai eu la chance de travailler avec lui à Chicago.

C’est pour moi une grande joie que Ngo ait accepté d’être rapporteur de cette thèse. De cette attention manifeste à mon égard, je ne peux que lui témoigner ici ma très vive gratitude.

Je remercie également Pierre-Henri Chaudouard d’avoir accepté de rapporter cette thèse. Je remercie vivement Gérard Laumon, Sergey Lysenko et David Renard pour leur présence à la soutenance.

Je profite de cet instant pour remercier mes collègues, tous les membres de l’équipe Analyse et Géométrie complexes et de l’IECN, en particulier Joseph Basquin – mon co-bureau qui n’a pas épargné son temps pour m’aider.

Enfin, une énorme pensée pour ma famille, mon amie qui m’ont remonté le moral dans les

moments difficiles et les moments d’incertitude. Merci de m’avoir soutenu et de me soutenir

encore et toujours…

Table des mati` eres

1 Introduction 3

2 Int´ egrale I 15

2.1 Somme locale . . . . 15 2.2 Somme globale . . . . 16 2.3 Le cas d = (1, 2, . . . , r) . . . . 18

3 Le groupe m´ etaplectique 23

3.1 Le groupe m´ etaplectique local . . . . 23 3.1.1 La construction du groupe m´ etaplectique local (cf. [9]) 23 3.1.2 Le symbole (A|B ) (cf. [1]) . . . . 25 3.1.3 L’extension de ACK . . . . 26 3.1.4 Construction geom´ etrique du groupe m´ etaplectique . . 29 3.1.5 Fonction κ locale . . . . 41 3.2 Le groupe m´ etaplectique global . . . . 43 3.2.1 La construction du groupe m´ etaplectique S-global . . 43 3.2.2 Fonction κ globale . . . . 46

4 Int´ egrale J 49

4.1 Somme locale . . . . 49 4.2 Somme globale . . . . 51 4.3 Le cas d = (1, 2, . . . , r) . . . . 59

5 Facteur de tranfert 71

5.1 Rappels sur le symbole de Hilbert et les constantes de Weil . 71 5.2 G´ eom´ etrisation d’un calcul de Jacquet [8, paragraphe 8] . . . 71 5.3 Facteur de transfert . . . . 76 6 L’´ enonc´ e local r´ esulte de l’´ enonc´ e global 79

1

2 TABLE DES MATI ` ERES

Chapitre 1

Introduction

Soit A l’anneau des ad` eles d’un corps global et GL f

_r

( A ) le revˆ etement m´ etaplectique de GL

r

( A ) (c’est un revˆ etement ` a deux feuillets de GL

r

( A ), qui est une extension centrale par {±1}, cf [9]). Pour r = 2, Jacquet [8]

a montr´ e qu’on pouvait utiliser une formule des traces relative pour ca- ract´ eriser l’image de l’application de rel` evement automorphe de GL f

r

( A ) ` a GL

_r

( A ) comme ensemble des repr´ esentations distingu´ ees par le groupe or- thogonal. Pour r arbitraire, Mao [12] a ´ ecrit la formule des traces relative correspondante. Pour achever la caract´ erisation de l’image du rel` evement il reste entre autres un ´ enonc´ e local ` a d´ emontrer (le “lemme fondamental m´ etaplectique de Jacquet-Mao”). L’objet de ce travail est de donner une d´ emonstration de cet ´ enonc´ e dans le cas de caract´ eristique positive.

On va d’abord ´ enoncer ce lemme fondamental. Soient F un corps lo- cal non-archim´ edien, O son anneau des entiers et k son corps r´ esiduel, que l’on suppose de caract´ eristique p impaire et de cardinal q. On fixe

$ une uniformisante de F . Soit ψ : k → C

^∗

un caract` ere additif. On note Ψ(x) = ψ(res x d$) ; c’est un caract` ere additif de F dans C

^∗

. On note v(x) la valuation de l’´ el´ ement x ∈ F et |x| = q

^−v(x)

. On note N

r

le sous-groupe de GL

r

form´ e des matrices triangulaires sup´ erieures unipo- tentes, T

_r

celui form´ e des matrices diagonales et S

_r

le sous-sch´ ema de GL

_r

form´ e des matrices sym´ etriques. Soit θ : N

r

(F ) → C

^∗

le caract` ere d´ efini par θ(n) = Ψ(

¹₂

P

r

i=2

n

i−1,i

).

Le revˆ etement de Kazhdan-Patterson local est (canoniquement) scind´ e au-dessus de N

r

(F ) ainsi qu’au-dessus de GL

r

(O). On peut ´ ecrire les ´ el´ ements de GL f

r

(F ) sous la forme ˜ g = (g, z), avec g ∈ GL

r

(F) et z ∈ {±1} et la mul- tiplication est alors d´ efinie par

(g, z).(g

⁰

, z

⁰

) = (gg

⁰

, χ(g, g

⁰

)zz

⁰

),

3

4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION o` u χ est un certain cocycle, pour la description duquel on renvoie ` a Kazhdan- Patterson [9]. Ces notations ´ etant fix´ ees, le scindage σ au-dessus de N

r

(F ) est simplement d´ efini par σ(n) = (n, 1) alors que le scindage κ

^∗

au-dessus de GL

r

(O) est d´ efini par κ

^∗

(g) = (g, κ(g)) - la fonction κ : GL

r

(F) → {±1}

n’est vraiment pas facile ` a calculer et son calcul dans la situation g´ eom´ etrique qu’on envisagera est l’un des r´ esultats importants de ce travail.

Le groupe N

r

(F ) agit sur S

r

(F ) par s 7→

^t

nsn et le groupe N

r

(F)×N

_r

(F ) agit sur GL

r

(F ) par g 7→ n

⁻¹

gn

⁰

. On appelle pertinentes les orbites ˙ s sous l’action de N

_r

(F ) (resp. les orbites ˙ g sous l’action de N

_r

(F ) × N

_r

(F )) telles que pour tout n appartenant au fixateur (N

_r

(F ))

_s

de s on ait θ

²

(n) = 1 (resp.

telles que pour toute couple (n, n

⁰

) appartenant au fixateur (N

r

(F )×N

_r

(F ))

g

de g on ait θ(n

⁻¹

n

⁰

) = 1). Dans cet article, on s’int´ eresse au cas o` u ces fixateurs sont triviaux, qui est en fait le cas fondamental [7]. Il existe alors un repr´ esentant dans l’orbite sous l’action de N

r

(F ) qui est une matrice diagonale t (resp. un repr´ esentant de la forme w

₀

t, o` u w

₀

est la matrice de la permutation (r, . . . , 1) et t est une matrice diagonale, dans l’orbite sous l’action de N

r

(F ) × N

r

(F )).

Pour chaque matrice diagonale t ∈ T

_r

(F ), on introduit les deux int´ egrales orbitales

I(t) = Z

Nr(F)

φ

₀

(

^t

ntn)θ

²

(n)dn et

J(t) = Z

Nr(F)×Nr(F)

f

₀

(n

⁻¹

w

₀

tn

⁰

)θ(n

⁻¹

n

⁰

)dndn

⁰

, o` u f

0

est la fonction d´ efinie par

f

₀

(g) =

( κ(g), si g ∈ GL

r

(O) 0, sinon,

et

φ

₀

(g) =

( 1, si g ∈ GL

r

(O) ∩ S

r

(F)

0, sinon, ,

les mesures de Haar de N

_r

(F ) et N

_r

(F) × N

_r

(F ) ´ etant normalis´ ees de sorte qu’elles attribuent la mesure 1 aux sous-groupes compacts ouverts form´ es des matrices ` a coefficients dans O.

Soit ζ : k

^∗

→ {±1} le caract` ere quadratique non trivial (ζ (λ) = λ

^q−12

, λ ∈ k

^∗

). On note γ(a, Ψ) la constante de Weil, qui est d´ efinie par la formule

Z

Φ

^∨

(x)Ψ 1

2 ax

²

dx = |a|

^−1/2

γ(a, Ψ) Z

Φ(x)Ψ

− 1 2 a

⁻¹

x

²

dx,

5 o` u Ψ : F → C

^∗

est un caract` ere additif, Φ est une fonction de Schwartz sur F et Φ

^∨

est sa transform´ ee de Fourier (Φ

^∨

(x) = R

Φ(y)Ψ(xy)dy).

Conjecture 1.1.1.1. (Jacquet et Mao). Soit t = diag(t

1

, . . . , t

r

), on note a

_i

= Q

i

j=1

t

_j

. On a alors t = diag(a

₁

, a

⁻¹₁

a

₂

, . . . , a

⁻¹_r−1

a

_r

) et J(t) =

( t(t)I (t) t

⁰

(t)I (t) , o` u t(t) = | Q

r−1

i=1

a

_i

|

^−1/2

ζ (−1)

^{Pj6≡r(mod2)v(aj)}

Q

j6≡r(mod2)

γ(a

_j

a

⁻¹_j−1

, Ψ) et o` u t

⁰

(t) = | Q

r−1

i=1

a

_i

|

^−1/2

ζ(−1)

^{Pj≡r(mod2)v(aj)}

Q

j≡r(mod2)

γ (a

_j

a

⁻¹_j−1

, Ψ) (en conve- nant que a

0

= 1). De plus si t(t) 6= t

⁰

(t), les deux int´ egrales I(t) et J (t) sont nulles.

Jacquet et Mao ont d´ emontr´ e leur conjecture pour GL

₂

(voir [7]) et GL

₃

(voir [12]) pour tout corps local de caract´ eristique r´ esiduelle 6= 2 (la formule de [12] µ(a, b, c) = |a|

⁻¹

|b|

^−1/2

γ(a, Ψ)γ(−c, Ψ) doit en fait ˆ etre corrig´ ee en µ(a, b, c) = |a|

⁻¹

|b|

^−1/2

γ (−a, Ψ)γ(c, Ψ), comme on le voit en la comparant avec la formule de Jacquet [7] pour GL

2

).

TH ´ EOR ` EME A. Si le corps local F est de caract´ eristique positive, alors la conjecture de Jacquet et Mao est v´ erifi´ ee.

Les m´ ethodes qui sont utilis´ ee par Jacquet et Mao dans leurs d´ emonstrat- ions pour GL

₂

et GL

₃

sont combinatoires (le calcul est d´ ej` a tr` es complexe dans le cas GL

3

) et il n’est pas clair qu’elles permettent d’obtenir l’´ enonc´ e pour tout rang r. On va donc utiliser une autre approche, en s’inspirant de la d´ emonstration g´ eom´ etrique de B. C. Ngo pour le lemme fondamental de Jacquet et Ye (voir [15]).

On va en fait d´ emontrer un ´ enonc´ e un peu plus g´ en´ eral que le th´ eor` eme A, obtenu en rempla¸ cant θ

²

(n) par θ

²_α

(n) dans la d´ efinition de l’int´ egrale I et θ(n

⁻¹

n

⁰

) par θ

_α

(n

⁻¹

)θ

_α

(n

⁰

) dans la d´ efinition de l’int´ egrale J, o` u α = (α

2

, . . . , α

r

) ∈ (k

^∗

)

^r−1

, α = (α

r

, . . . , α

2

) et θ

α

(n) = ψ ◦ h

_α

avec h

_α

= res(

¹₂

P

r

i=2

α

i

n

i−1,i

d$). On notera I (t, α), J(t, α) les int´ egrales ainsi ob- tenues ; bien sˆ ur si α = (1, . . . , 1) on retrouve bien les int´ egrales I et J ci-dessus.

Les int´ egrales orbitales I (t, α) et J (t, α) portent sur des fonctions loca-

lement constantes ` a support compact : de ce fait elles se r´ eduisent ` a des

sommes finies. Lorsque le corps F est de caract´ eristique positive, les en-

sembles d’indices de ces sommes finies s’interpr` etent naturellement comme

ensembles de points ` a valeurs dans k de vari´ et´ es alg´ ebriques d´ efinies sur ce

6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION corps (qu’on appellera respectivement X(t) et Y (t)). Plus pr´ ecis´ ement, on a :

I(t, α) = X

n∈X(t)(k)

θ

²_α

(n) et J(t, α) = X

(n,n⁰)∈Y(t)(k)

κ(w

₀^t

ntn

⁰

)θ

_α

(w

₀^t

nw

₀

)θ

_α

(n

⁰

), o` u X(t)(k) = {n ∈ N

r

(F )/N

r

(O)|

^t

ntn ∈ GL

r

(O) ∩ S

r

(F )} et o` u Y (t)(k) = {(n, n

⁰

) ∈ (N

_r

(F )/N

_r

(O))

²

|

^t

ntn

⁰

∈ GL

_r

(O)} ; pour la deuxi` eme somme, on a en fait effectu´ e le changement de variables n

⁻¹

7→ w

₀^t

nw

₀

(pour que X(t)(k) et Y (t)(k) soient non vides, il faut que a

1

, . . . , a

r−1

appartiennent

`

a O et a

_r

appartiennent ` a O

^∗

). Il reste alors ` a donner aussi aux fonctions une interpr´ etation g´ eom´ etrique.

Du cˆ ot´ e de l’int´ egrale I , on g´ eom´ etrise facilement le caract` ere ψ ` a l’aide d’un revˆ etement d’Artin-Schreier (en consid´ erant ψ comme un caract` ere ` a valeurs dans Q

`

, o` u ` est un nombre premier distinct de p = car(k)). En revanche, du cˆ ot´ e de l’int´ egrale J, il faut aussi g´ eom´ etriser la fonction κ.

Pour cela, la construction de Kazhdan-Patterson [9] n’est pas tr` es commode

`

a utiliser directement et j’ai pr´ ef´ er´ e une m´ ethode plus indirecte, consistant ` a comparer l’extension de Kazhdan-Patterson ` a celle d’Arabello-De Concini- Kac, qui est de nature plus g´ eom´ etrique.

Arbarello, De Concini et Kac associent ` a chaque g ∈ GL

_r

(F) une droite D

_g

= ( ^

gO

^r

/gO

^r

∩ O

^r

) ⊗ ( ^

O

^r

/gO

^r

∩ O

^r

)

^⊗(−1)

o` u V

V d´ esigne la puissance ext´ erieure maximale V

dimV

V d’un k-espace vectoriel V (en particulier, pour g ∈ GL

_r

(O) cette droite est canoniquement trivialis´ ee). Cette construction fournit une extension centrale GL f

⁰_r

(F ) de GL

r

(F ) par k

^∗

. On utilisera plutˆ ot la droite ∆

g

= D

_det(g)

⊗ D

_g^⊗−1

, ce qui revient ` a consid´ erer l’extension GL f

r,geo

(F ) = det

^∗

( GL f

⁰₁

(F)) − GL f

⁰_r

(F ) (la somme de Baer des extensions ´ etant ici not´ ee additivement). On construit,

`

a l’aide de la d´ ecomposition de Bruhat, une base δ(g) de ∆

_g

, ce qui fournit une section s

_geo

de GL f

_r,geo

(F ). On rappelle qu’on note ζ : k

^∗

→ {±1} le caract` ere quadratique non-trivial.

Proposition 1.1.1.2. On a χ(g

₁

, g

₂

) = ζ δ

_g1

⊗ δ

_g2

⊗ δ

^⊗−1_g1g2

, o` u χ est le 2-cocycle de Kazhdan-Patterson [9]. En particulier, l’extension de Kazhdan- Patterson s’obtient ` a partir de notre extension GL f

r,geo

(F) en la poussant par ζ

La fonction κ : GL

r

(O) → {±1} est donc ζ ◦ κ o` u κ est le quotient

triv/δ de la section triviale par la section s

_geo

. Cette construction d´ efinit un

7 morphisme κ : Y (t) → G

m

, qui induit une application κ = ζ ◦ κ : Y (t)(k) → {±1}.

Soit k une clˆ oture alg´ ebrique de k. Soient L

_ψ

le faisceau d’Artin-Schreier sur G

a

associ´ e au caract` ere ψ et L

_ζ

le faisceau de Kummer sur G

m

associ´ e au revˆ etement G

m

→ G

m

, x 7→ x

²

et ` a {±1} ⊂ Q

`

. D’apr` es la formule des traces de Grothendieck-Lefschetz, on a :

I (t, α) = Tr(Fr, RΓ

_c

(X(t) ⊗

_k

k, h

^∗_α

L

_ψ

));

J(t, α) = Tr(Fr, RΓ

_c

(Y (t) ⊗

_k

k, h

^0∗_α

L

_ψ

⊗ κ

^∗

L

_ζ

)),

o` u h

α

(resp. h

⁰_α

) sont des morphismes de X(t) et Y (t) dans G

a

(provenant du morphisme h

_α

: N

_r

(F ) → k ci-dessus).

Le th´ eor` eme A est alors une cons´ equence de l’´ enonc´ e g´ eom´ etrique sui- vant, o` u on note I(t) = RΓ

_c

(X(t) ⊗

_k

k, h

^∗_α

L

_ψ

) et J (t) = RΓ

c

(Y (t) ⊗

_k

k, h

^0∗_α

L

_ψ

⊗ κ

^∗

L

_ζ

).

TH ´ EOR ` EME A

⁰

. J (t) ' T (t) ⊗ I (t) ' T

⁰

(t) ⊗ I(t), o` u T (t) et T

⁰

(t) sont des Q

`

-espaces vectoriels de rang 1 plac´ es en degr´ e v( Q

r−1

i=1

a

i

) tels que Tr(Fr, T (t)) = t(t) et Tr(Fr, T

⁰

(t)) = t

⁰

(t).

En g´ eom´ etrisant l’argument de Jacquet [7, p. 145], on a en fait une d´ emonstration directe du th´ eor` eme A

⁰

dans le cas particulier o` u r = 2 et t = diag(t

₁

, t

₂

) avec v(t

₁

) = 1, v(t

₂

) = −1.

Proposition 1.1.1.3. Le th´ eor` eme A

⁰

est vrai dans le cas particulier ci- dessus ; de plus I (t) et J (t) sont alors des Q

`

-espaces vectoriels de rang 2 plac´ es respectivement en degr´ e 0 et 1.

Dans le cas g´ en´ eral, on ne connaˆıt pas explicitement I(t) (resp. J (t)) car la vari´ et´ e X(t) (resp. Y (t)) n’est ni lisse ni irr´ eductible et sa dimension est tr` es grande. Suivant une id´ ee due ` a B.C. Ngo [15] on va les d´ eformer pour se ramener ` a une situation plus simple.

Comme dans loc. cit., on obtient ces d´ eformations en consid´ erant plutˆ ot des sommes sur un corps global de caract´ eristique positive. Changeant de notations, on note maintenant O = k[$] l’anneau des polynˆ omes en une variable $ ` a coefficients dans k, et F son corps des fractions (dans l’´ enonc´ e local ci-dessus, on va noter plutˆ ot respectivement F

$

, O

_$

et k

$

le corps, son anneau des entiers et son corps r´ esiduel). Pour tout x ∈ F , on note sres(xd$) = P

v∈Spm(O)

Tr

_kv/k

res

v

(xd$) la somme des r´ esidus en tous ses

pˆ oles ` a distance finie (o` u k

v

est le corps r´ esiduel de v et res

v

est le r´ esidu

en v). Soit Ψ : F → Q

^∗`

le caract` ere d´ efini par Ψ(x) = ψ(sres(x d$)). Soit

8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION α = (α

2

, . . . , α

r

) ∈ G

^r−1m

. On note α := (α

r

, . . . , α

2

). Soit θ

α

: N

r

(F ) → Q

^∗_`

le caract` ere d´ efini par θ

α

(n) = Ψ(

¹₂

P

r

i=2

α

i

n

i−1,i

). Pour tout id´ eal maximal v de O, on note O

_v

la compl´ et´ e de O selon v, F

_v

son corps des fractions, et k

v

son corps r´ esiduel.

Du cˆ ot´ e de l’int´ egrale I , pour toute place v, on modifie un peu l’int´ egrale I locale en rempla¸ cant la fonction caract´ eristique de GL

_r

(O

_v

) par celle de gl

_r

(O

_v

) (cf. [15]), de sorte qu’on obtient la somme

I

_v

(t, α) = X

n∈Nr(Fv)/Nr(O_v) tntn∈S_r(O_v)

θ

²_α,v

(n),

o` u θ

_α,v

(n) = ψ(

¹₂

P

r

i=2

tr

_kv/k

res(α

_i

n

i−1,i

d$)) (quand v = $ et a

_r

∈ O

_$^∗

, on retrouve bien la somme locale I (qu’on va noter I

$

) dans l’´ enonc´ e du th´ eor` eme A ci-dessus). Ensuite, pour toute matrice diagonale t ` a coefficients dans F , on d´ efinit

I(t, α) = Y

v∈Spm(O)

I

_v

(t, α), (1.1.1.1) o` u I

_v

(t, α) = 1 sauf si v divise Q

r−1

i=1

a

_i

. Ceci se r´ eduit ` a une somme finie I (t, α) = X

n∈Nr(F)/Nr(O) tntn∈S_r(O)

θ

_α²

(n)

laquelle est non-nulle seulement si a

1

, . . . , a

r

sont des polynˆ omes. En utili- sant la mˆ eme interpr´ etation que pour la somme locale I

_$

ci-dessus, on ob- tient une donn´ ee g´ eom´ etrique (X(t), h

_α

) associ´ ee ` a I(t, α) (resp. des donn´ ees g´ eom´ etriques (X

v

(t), h

α,v

) associ´ ees ` a I

v

(t, α)) et on a l’interpr´ etation g´ eom-

´ etrique suivante de l’identit´ e (1.1.1.1) Proposition 1.1.1.4.

RΓ

_c

(X(t) ⊗

_k

k, h

^∗_α

L

_ψ

) = O

λ∈supp(t)

RΓ

_c

(X

_v

(t) ⊗

_k

k, h

^∗_α,v

L

_ψ

),

o` u supp(t) est l’ensemble des racines de Q

r−1

i=1

a

_i

dans k.

Du cˆ ot´ e de l’int´ egrale J , le probl` eme qui se pr´ esente lorsqu’on tente

d’adapter la d´ emarche utilis´ ee pour l’int´ egrale I ci-dessus est que la fonc-

tion κ

_loc

n’est d´ efinie que sur le sous-groupe compact maximal standard

9 de GL

r,loc

. Pour contourner ce probl` eme, on consid` ere (en remarquant que

t

N

r

(F

v

)tN

r

(F

v

) ∩ gl

_r

(O

_v

) =

^t

N

r

(F

v

)tN

r

(F

v

) ∩ GL

r

(O

_v

) quand a

r

∈ O

^∗_v

)

J

_v

(t, α) =



 

  P

n,n⁰∈N_r(Fv)/Nr(O_v) tntn∈gl_r(O_v)

κ

v

(w

0t

ntn

⁰

)θ

α,v

(w

0t

nw

0

)θ

α,v

(n

⁰

) si v 6 |a

_r

, P

n,n⁰∈N_r(Fv)/Nr(O_v) tntn∈gl_r(O_v)

θ

_α,v

(w

₀^t

nw

₀

)θ

_α,v

(n

⁰

) si v|a

_r

, o` u κ

v

: GL

r

(O

_v

) → {±1} provient du scindage au-dessus de GL

r

(O

_v

) du revˆ etement de Kazhdan-Patterson local en v (quand v = $ et a

_r

∈ O

_$^∗

, on retrouve bien la somme locale J (not´ ee dor´ enavant J

_$

) qui figure dans l’´ enonc´ e du th´ eor` eme A ci-dessus). Pour toute matrice diagonale t ` a coeffi- cients dans F, la somme globale en t est en fait d´ efinie par

J(t, α) = Y

v∈Spm(O)

J

v

(t, α), (1.1.1.2) o` u J

v

(t, α) = 1 sauf si v divise Q

r−1

i=1

a

i

.

En adaptant la g´ eom´ etrisation de la somme local J

_$

, on obtient des donn´ ees g´ eom´ etriques associ´ ees ` a J

v

(t, α) qui sont (Y

v

(t), h

⁰_α,v

, κ

_v

) quand v - a

r

(dans ce cas, on a que κ

v

= ζ ◦ κ

_v

) et (Y

v

(t), h

⁰_α,v

) quand v|a

_r

. Il reste ` a interpr´ eter g´ eom´ etriquement la somme globale J (t, α). Pour cela, on introduit la vari´ et´ e Y (t) dont l’ensemble de k points est

Y (t)(k) = {(n, n

⁰

) ∈ (N

r

(F )/N

r

(O))

²

|

^t

ntn ∈ gl

_r

(O)}.

Cette vari´ et´ e est munie d’un morphisme vers G

a

d´ efini par h

⁰_α

(n, n

⁰

) = 1

2

r

X

i=2

α

i

sres((n

i−1,i

+ n

⁰_i−1,i

)d$).

La fonction κ = Q

v.ar

κ

v

est interpr´ et´ ee ` a l’aide du point de vue g´ eom´ etrique sur l’extension m´ etaplectique ´ evoqu´ e ci-dessus. Plus pr´ ecis´ ement, en asso- ciant ` a chaque g ∈ G

r

(F ) la droite D

_det(g)

(a

⁻¹_r

)⊗D

_g

(a

⁻¹_r

)

^⊗−1

, o` u D

g

(a

⁻¹_r

) :=

( V

O[a

⁻¹_r

]

^r

/O[a

⁻¹_r

]

^r

∩ gO[a

⁻¹_r

]

^r

)

^∗

⊗ (gO[a

⁻¹_r

]

^r

/O[a

⁻¹_r

]

^r

∩ gO[a

⁻¹_r

]

^r

), on ob- tient une extension centrale GL f

r,geo

(F ) de GL

r

(F ) par k

^∗

. ` A l’aide de la d´ ecomposition de Bruhat, on d´ efinit une section s

_geo

de cette extension, de sorte qu’on d´ efinit une fonction κ globale analogue ` a celle introduite ci-dessus (cette fonction est le produit des fonctions κ

_v

locales, i.e κ = Q

v.ar

N

_kv/k

κ

_v

). De cette mani` ere, on obtient le morphisme κ : Y (t) → G

m

(comme

^t

N

r

(F )tN

r

(F ) ∩ gl

_r

(O) ⊂

^t

N

r

(F )tN

r

(F ) ∩ GL

r

(O[a

⁻¹_r

])).

En utilisant la formule des traces de Grothendieck et Leftschetz, on ob-

tient l’interpr´ etation suivante de l’identit´ e 1.1.1.2

10 CHAPITRE 1. INTRODUCTION Proposition 1.1.1.5.

RΓ

c

(Y (t) ⊗

_k

k, h

^0∗_α

L

_ψ

⊗ κ

^∗

L

_ζ

) = O

λ∈supp(t)

RΓ

c

(Y

v

(t) ⊗

_k

k, h

^0∗_α,v

L

_ψ

⊗ κ

^∗_v

L

_ζ

),

o` u supp(t) est l’ensemble des racines de Q

r−1

i=1

a

i

dans k.

Soient Q

_di

la vari´ et´ e affine sur k des polynˆ omes unitaires de degr´ e d

_i

et V

d

= {(a

₁

, . . . , a

r

) ∈ Q

r

i=1

Q

di

|pgcd( Q

r−1

i=1

a

i

, a

r

) = 1} avec d = (d

1

, . . . , d

r

) (la raison pour laquelle on consid` ere cet ouvert est que les sommes lo- cales en les places divisant a

_r

y sont triviales, du cˆ ot´ e de l’int´ egrale I comme du cˆ ot´ e de l’int´ egrale J). Soit t = diag(a

1

, a

2

/a

1

, . . . , a

r

/a

r−1

) tel que (a

1

, . . . , a

r

) ∈ V

_d

et α = (α

2

, . . . , α

r

) ∈ (k

^∗

)

^r−1

. Le couple (X(t), h

α

) et le triple (Y (t), h

⁰_α

, κ) se mettent en familles de sorte qu’on obtient des vari´ et´ es X

d

et Y

d

de type fini sur k munies de morphismes f

_d^X

: X

d

× G

^r−1m

→ V

_d

× G

^r−1m

, f

_d^Y

: Y

_d

× G

^r−1m

→ V

_d

× G

^r−1m

, h

_d

: X

_d

× G

^r−1m

→ G

a

, h

⁰_d

: Y

d

× G

^r−1m

→ G

a

et κ

_d

: Y

d

× G

^r−1m

→ G

m

tels que X(t) et RΓ

c

(X(t), h

^∗_α

L

_ψ

) (resp. Y (t) et RΓ

c

(Y (t), h

^0∗_α

L

_ψ

⊗ κ

^∗

L

_ζ

)) sont respectivement les fibres en t de f

_d^X

et de Rf

_d,!^X

h

^∗_d

L

_ψ

(resp. de f

_d^Y

et de Rf

_d,!^Y

(h

^0∗_d

L

_ψ

⊗ κ

^∗_d

L

_ζ

)).

Les fibres de I

_d

= Rf

_d,!^X

h

^∗_d

L

_ψ

(resp. J

_d

= Rf

_d,!^Y

(h

^0∗_d

L

_ψ

⊗ κ

^∗_d

L

_ζ

) au-dessus des points (t, α) tels que le polynˆ ome Q

r

i=1

a

_i

n’a pas de racine multiples se factorisent en produits tensoriels des complexes locaux “simples” consid´ er´ es dans la proposition 1.1.1.3, lesquels sont des Q

`

-espaces vectoriels de rang 2 plac´ ee en degr´ e 0 (resp. en degr´ e 1). De plus, les points (t, α) de cette esp` ece forment un ouvert U

d

de Q

r

i=1

Q

i

× ( G

m

)

^r−1

, et les restrictions de I

_d

et J

_d

` a cet ouvert sont des syst` emes locaux de rang 2

^deg(Qri=1ai)

plac´ es respectivement en degr´ e 0 et deg( Q

r

i=1

a

i

). Les deux restrictions sont reli´ ees par un syst` eme local T

_d

de rang 1, plac´ e en degr´ e deg( Q

r

i=1

a

_i

) au-dessus de U

d

, g´ eom´ etriquement constant et provenant d’un certain caract` ere τ de Gal

_k/k

.

Proposition 1.1.1.6. Pour d = (d

₁

, . . . , d

_r

), T

_d

est g´ eom´ etriquement constant et est d´ efini par le caract` ere τ de Gal

_k/k

:

τ (Fr

_q

) =

(−1)^Pri=1diq^Pri=1di/2ζ(−1)^{Ps−1i=0d2i+1}γ∞($,Ψ∞)^{−Ps−1i=1p(d2i−d2i+1)}sir= 2s, (−1)^Pri=1diq^Pri=1di/2ζ(−1)^Psi=1d2iγ∞($,Ψ∞)^{−Psi=1p(d2i−d2i−1)}sir= 2s+ 1,

o` u p(x) =

( 1 si x est impair

0 si x est pair.

11 La formule de τ vient du fait que le produit des constantes de Weil en toutes les places du corps global F est trivial [16]. ` A l’aide du th´ eor` eme de Chebotarev, le syst` eme local T

_d

est g´ eom´ etriquement constant et se prolonge alors de mani` ere ´ evidente ` a V

d

× G

^r−1m

.

Dans le cas o` u d = (1, 2, . . . , r), d’apr` es [15], on trouve des pr´ esentations simples pour (X

_d

, h

_d

) et pour (Y

_d

, h

⁰_d

, κ

_d

) (voir les propositions 2.3.1.2 et 4.3.1.1) qui vont nous simplifier les calculs. On obtient alors le th´ eor` eme suivant (qui peut ˆ etre consid´ er´ e comme un analogue global du lemme fon- damental de Jacquet-Mao) :

TH ´ EOR ` EME B. Pour d = (1, 2, . . . , r), J

_d

= T

_d

⊗ I

_d

. Les deux membres de cette ´ egalit´ e sont, ` a d´ ecalage pr` es, des faisceaux pervers isomorphes au prolongement interm´ ediaire de leur restriction ` a U

_d

.

Ce th´ eor` eme r´ esulte imm´ ediatement du suivant :

Th´ eor` eme 1.1.1.7. 1. Le complexe de faisceaux I

_d

[

^r(r+1)₂

+ r − 1] est un faisceau pervers, prolongement interm´ ediaire de sa restriction ` a l’ouvert U

_d

.

2. Le complexe de faisceaux J

_d

[r

²

+r−1] est un faisceau pervers, prolonge- ment interm´ ediaire de sa restriction ` a l’ouvert U

_d

.

Le point (1) du th´ eor` eme 1.1.1.7 s’obtient assez facilement par l’argu- ment de [15, “le pas de r´ ecurence”, p.515] en rempla¸ cant GL

i

par le groupe orthogonal associ´ e ` a la forme quadratique (x

₁

, . . . , x

_i

) 7→ P

i

j=1

x

²_j

. En re- vanche, on ne peut pas adapter directement l’argument de loc. cit. pour d´ emontrer le point (2) car la fonction κ

_d

n’est pas invariante sous l’action de GL

r−1

. Le th´ eor` eme suivant est le point crucial pour r´ esoudre cette dif- ficult´ e (en remarquant que Y

d

' {y + $Id

r

, y ∈ gl

_r

|pgcd( Q

r−1

i=1

a

i

(y), a

r

(y))

= 1}, o` u a

i

(y) = det(s

i

(y) + $Id

i

), et o` u s

i

(y) est la sous-matrice de y constitu´ ee des i premi` eres lignes et des i premi` eres colonnes, cf. 2.3.1.2 et 4.3.1.1).

Th´ eor` eme 1.1.1.8. κ

_d

(w

0

(y + $Id

r

)) est en fait un polynˆ ome en les coeffi- cients de la matrice y. De plus on a : κ

_d

(w

₀

(y + $Id

_r

))κ

_d

(w

₀^t

(y + $Id

_r

)) = (−1)

^{Pr−1i=1(i+i(i+1))}

result(a

r−1

(y), a

_r

(y)).

La d´ emonstration de ce th´ eor` eme repose sur l’interpr´ etation g´ eom´ etrique de l’extension de Kazhdan-Patterson ´ evoqu´ ee ci-dessus. Ce th´ eor` eme im- plique que κ(y) = κ

_d

(w

₀

(y + $Id

_r

)) est alors un produit de facteurs irr´ educ- tibles de result(a

r−1

(y), a

r

(y)). En faisant agit g ∈ GL

r−1

par

y 7→ diag(g, 1)

⁻¹

y diag(g, 1),

12 CHAPITRE 1. INTRODUCTION g transforme alors κ en la multipliant par une puissance de det(g) (pour l’argument d´ etaill´ e, on renvoie ` a la d´ emonstration de la perversit´ e de J

_d

` a la fin du chapitre 4) ; l’extension G

r−1

de GL

r−1

obtenue en extrayant une racine carr´ ee de det(g) laisse alors invariant le faisceau κ

^∗

L

_ζ

et l’argument de loc. cit. s’adapte alors en rempla¸ cant GL

i

par l’extension G

i

(le plongement G

_i

, → G

_i+1

est fourni aussi par g 7→ diag(g, 1) puisque les deux ont mˆ eme d´ eterminant).

On verra ensuite comment d´ eduire le th´ eor` eme A

⁰

du th´ eor` eme B. Les complexes locaux obtenus par les factorisations de la proposition 1.1.1.5 sont d’autant plus compliqu´ es que les multiplicit´ es des racines du polynˆ ome Q

r−1

i=1

a

i

sont grandes. D’apr` es B.C. Ngo [15], tous les complexes locaux peuvent ˆ etre obtenu en consid´ erant seulement I

_d

et J

_d

, o` u d = (1, 2, . . . , r) quitte ` a remplacer r par r + r

⁰

pour r

⁰

assez grand. Plus pr´ ecis´ ement on consid` ere la situation suivante (pour simplifier les notations, d´ esormais on va supprimer l’indice d) :

Soit t

⁰

∈ T

_s

(F

_$

). D’apr` es B.C. Ngo [15, prop 3.5.1, p. 505], pour r assez grand, il existe t

^◦

= diag(a

^◦₁

, a

^◦₂

/a

^◦₁

, . . . , a

^◦_r

/a

^◦_r−1

), avec (a

^◦₁

, . . . , a

^◦_r

) ∈ V

(1,2,...,r)

(k) tel que I

_$

(t

^◦

) ' I

_$

(t

⁰

) et J

_$

(t

^◦

) ' J

_$

(t

⁰

). On a a

^◦_i

= a

^0◦_i

a

^00◦_i

, o` u a

^0◦_i

est ` a racines simples diff´ erentes de 0 et o` u a

^00◦_i

sont des puissances de

$. Soient alors d

⁰

= (deg(a

^0◦_i

))

i

et d

⁰⁰

= (deg(a

^00◦_i

))

i

. On fait varier (a

⁰_i

)

i

et (a

⁰⁰_i

)

_i

en introduisant l’ouvert (V

_d⁰

× V

_d⁰⁰

)

^dist

de V

_d⁰

× V

_d⁰⁰

au-dessus duquel pgcd( Q

r

i=1

a

⁰_i

, Q

r

i=1

a

⁰⁰_i

) = 1 et les a

⁰_i

sont ` a racines simples. On a alors un morphisme ´ etale µ : (V

_d⁰

× V

_d⁰⁰

)

^dist

→ V

d

.

Pour (t

⁰

, t

⁰⁰

) = (diag(a

⁰₁

, a

⁰₂

/a

⁰₁

, . . . , a

⁰_r

/a

⁰_r−1

), diag(a

⁰⁰₁

, a

⁰⁰₂

/a

⁰⁰₁

, . . . , a

⁰⁰_r

/a

⁰⁰_r−1

)) o` u ((a

⁰_i

)

_i

, (a

⁰⁰_i

)

_i

) ∈ (V

_d⁰

× V

_d⁰⁰

)

^dist

, on g´ en´ eralise les sommes globales I et J ci-dessus en introduisant

X

₁

(t

⁰

, t

⁰⁰

) = Y

w|a⁰₁...a⁰_r−1

Res

_kw/k

X

_w

(t) et X

₂

(t

⁰

, t

⁰⁰

) = Y

w|a⁰⁰₁...a⁰⁰_r−1

Res

_kw/k

X

_w

(t) (Y

1

(t

⁰

, t

⁰⁰

) et Y

2

(t

⁰

, t

⁰⁰

) sont d´ efinies par des formules analogues). Celles-ci se mettent en familles quand d

⁰

et d

⁰⁰

sont fix´ ees. On d´ efinit de cette mani` ere des complexes I

₁

, I

₂

, J

₁

et J

₂

v´ erifiant µ

^∗

I = I

₁

⊗

^L

I

₂

et µ

^∗

J = J

₁

⊗

^L

J

₂

. En fait I

₁

et J

₁

sont des syst` emes locaux. De plus, en utilisant la formule du produit des constantes de Weil, on d´ efinit un syst` eme local T

₁

(ce syst` eme local n’est plus g´ eom´ etriquement constant) tel que J

₁

= T

₁

⊗ I

₁

; on pose T

₂

= T ⊗ T

₁^⊗−1

.

A l’aide du th´ ` eor` eme B et des propri´ et´ es des faisceaux pervers et du

prolongement interm´ ediaire, on obtient que I

₂

et J

₂

sont pervers et pro-

longement interm´ ediaire de leur restriction ` a l’ouvert µ

^∗

U

_d

. De plus, on a

J

_2|µ∗Ud

= T

_2|µ∗Ud

⊗ I

₂

|µ

^∗

U

_d

, de sorte qu’on a J

₂

= T

₂

⊗ I

₂

.

13 En sp´ ecialisant en t = t

^◦

on obtient alors le th´ eor` eme A

⁰

.

Voici maintenant le plan d´ etaill´ e de ce travail. La section 2 contient la d´ efinition de la somme locale I

_$

(t, α) et de la somme globale I(t, α) pour tout α ∈ (k

^∗

)

^r−1

. On d´ emontre que la somme globale est le produit des sommes locales

I(t, α) = Y

v∈Spm(O)

I

_v

(t, α).

On expose l’interpr´ etation g´ eom´ etrique de la somme locale et de la somme globale et exprime g´ eom´ etriquement la formule de produit ci-dessus. On construit aussi le complexe Rf

_d,!^X

h

^∗_d

L

_ψ

et on d´ emontre qu’il est pervers quand d = (1, 2 . . . , r) (voir le point (1) du th´ eor` eme 1.1.1.7).

Dans la section 3, on rappelle la d´ efinition du groupe m´ etaplectique local de Kazhdan-Patterson. L’extension de ACK et son scindage au-dessus N

_r

(F

_$

) et au-dessus de GL

_r

(O

_$

) sont introduits en 3.1.2 . La construction g´ eom´ etrique du groupe m´ etaplectique ` a l’aide de l’extension de ACK figure dans 3.2.3. On exprime la fonction κ locale g´ eom´ etriquement dans 3.1.4. Le 3.2 contient la d´ efinition du groupe m´ etaplectique global et de la fonction κ globale. On montre dans 3.2.2 que le fonction κ globale est un produit de fonctions κ locales.

La section 4 contient la d´ efinition de la somme locale J

_$

(t, α) et de la somme globale J (t, α) pour tout α ∈ (k

^∗

)

^r−1

. On d´ emontre que la somme globale est le produit des sommes locales

J(t, α) = Y

v∈Spm(O)

J

_v

(t, α).

On expose l’interpr´ etation g´ eom´ etrique de la somme locale et de la somme globale et exprime g´ eom´ etriquement la formule de produit ci-dessus. On construit aussi le complexe Rf

_d,!^Y

(h

^0∗_d

L

_ψ

⊗κ

^∗_d

L

_ζ

). La sous-section 4.3 contient l’´ etude de ce complexe dans le cas particulier o` u d = (1, 2, . . . , r). Dans cette sous-section figure le calcul de la fonction κ dans ce cas particu- lier, ainsi que la formule cruciale κ

_d

(w

₀

(y + $Id

_r

))κ

_d

(w

₀^t

(y + $Id

_r

)) = (−1)

^{Pr−1i=1(i+i(i+1))}

rest(a

r

(y), a

r−1

(y)). La perversit´ e de Rf

_d,!^Y

(h

^0∗_d

L

_ψ

⊗ κ

^∗_d

L

_ζ

) est montr´ ee ` a la fin de la section 4.

Dans la section 5, on donne la formule du facteur de transfert ; dans la

section 6, on d´ eduit l’´ enonc´ e local de l’´ enonc´ e global (dans cette introduction

on a d´ ej` a donn´ e une id´ ee de leur contenu).

14 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Chapitre 2

Int´ egrale I

2.1 Somme locale

Soit k un corps fini de caract´ eristique p et ` a q ´ el´ ements. On fixe un caract` ere additif non trivial ψ : k → Q

∗

`

, o` u ` est un nombre premier diff´ erent de p et o` u Q

`

est une clˆ oture alg´ ebrique de Q

`

. On note O

_$

= k[[$]] l’anneau des s´ eries formelles en une ind´ etermin´ ee $ et ` a coefficients dans k, F

$

= k(($)) son corps des fractions. On notera Ψ le caract` ere de F

$

d´ efini par Ψ(x) = ψ(res(xd$)).

Pour tout α = (α

2

, . . . , α

r

) ∈ (k

^∗

)

^r−1

, on note θ

α

: N

r

(F

$

) → Q

^∗_`

le caract` ere d´ efini par θ

α

(n) = Ψ( P

r

i=2

α

i

n

i−1,i

). Sa restriction ` a N

r

(O

_$

)

´

etant triviale, il induit une fonction θ

_α

sur N

_r

(F

_$

)/N

_r

(O

_$

) ` a valeurs dans Q

^∗`

.

Pour chaque t = diag(a

1

, a

2

/a

1

, . . . , a

r

/a

r−1

) ∈ T

r

(F

$

), on consid` ere l’ensemble fini (cf. [15, proposition 1.1.2])

X

_$

(t)(k) = {n ∈ N

_r

(F

_$

)/N

_r

(O

_$

)|

^t

ntn ∈ S

_r

(O

_$

)}.

L’int´ egrale orbitale I de Jacquet-Mao peut s’´ ecrire (cf. [15, p. 484]) I

_$

(t, α) = X

n∈X_$(t)(k)

θ

_α

(n).

L’ensemble X

$

(t)(k) est de mani` ere naturelle l’ensemble des points ` a valeurs dans k d’une vari´ et´ e alg´ ebrique X

$

(t) de type fini sur k. Cette vari´ et´ e est munie d’un morphisme h

_α

: X

_$

(t) → G

a

d´ efini par h

_α

(n) = res( P

r

i=2

α

i

n

i−1,i

d$).

Soit k une clˆ oture alg´ ebrique de k. On note X

$

(t) = X

$

(t) ⊗

_k

k. Soient L

_ψ

le faisceau d’Artin-Schreier sur G

a

associ´ e au caract` ere ψ. D’apr` es la

15

16 CHAPITRE 2. INT ´ EGRALE I formule des traces de Grothendieck-Lefschetz, on a :

I

_$

(t, α) = Tr(Fr, RΓ

_c

(X

_$

(t), h

^∗_α

L

_ψ

)).

2.2 Somme globale

Dans le cas g´ en´ eral, on ne connaˆıt pas explicitement RΓ

_c

(X

_$

(t), h

^∗_α

L

_ψ

) car la vari´ et´ e X

$

(t) est trop compliqu´ ee.

D’apr` es Ngo Bao Chau, on va introduire une somme sur un corps global qui permettra de se ramener par d´ eformation ` a une situation plus simple.

Soient O = k[$] l’anneau des polynˆ omes en une variable $ ` a coefficients dans k et F son corps des fractions. Pour tout x ∈ F , on note sres(xd$) la somme des r´ esidus en tous ses pˆ oles ` a distance finie (c.` a.d. en les points de A

¹

= Spec(O)). On notera Ψ le caract` ere de F d´ efini par Ψ(x) = ψ(sres(xd$)). Pour tout α = (α

₂

, . . . , α

_r

) ∈ (k

^∗

)

^r−1

, on note θ

_α

: N

_r

(F ) → Q

^∗`

le caract` ere d´ efini par θ

_α

(n) = Ψ( P

r

i=2

α

_i

n

i−1,i

). Sa restriction ` a N

_r

(O)

´ etant triviale, il induit une fonction θ

_α

sur N

_r

(F )/N

_r

(O) ` a valeurs dans Q

^∗`

. Pour tous t ∈ T

_r

(F ) et α ∈ (k

^∗

)

^r−1

, on construit un couple (X(t), h

_α

) de mani` ere analogue ` a [15, proposition 3.1.1] o` u X(t) est une vari´ et´ e de type fini sur k dont l’ensemble des k-points est

X(t)(k) = {n ∈ N

r

(F )/N

r

(O)|

^t

ntn ∈ S

r

(O)}, munie d’un morphisme h

α

(n) = P

r

i=2

α

i

sres(n

i−1,i

d$). L’int´ egrale orbitale I globale est alors :

I(t, α) = X

n∈X(t)(k)

θ

α

(n).

Pour toute place v, on note O

_v

le compl´ et´ e de O en v, F

v

son corps des fractions, et k

_v

son corps r´ esiduel. On note n

_v

l’image de n dans N

_r

(F

_v

)/N

_r

(O

_v

).

Pour t = diag(a

₁

,

^a_a²

1

, . . . ,

_a^ar

r−1

) ∈ T

_r

(F

_v

), on introduit la vari´ et´ e de type fini dont l’ensemble de k points est

X

_v

(t)(k) = {n ∈ N

_r

(F

_v

)/N

_r

(O

_v

)|

^t

ntn ∈ S

_r

(O

_v

)}.

Cette vari´ et´ e est munie d’un morphisme h

_α,v

(n) = P

r

i=2

α

_i

tr

_kv/k

(res(n

i−1,i

)).

Lorsque v = $ et t ∈ T

_r

(F

_$

) on retrouve bien le couple (X

_$

(t), h

_α,$

).

L’int´ egrale orbitale I de Jacquet-Mao en la place v est : I

_v

(t, α) = X

nv∈Xv(t)(k)

θ

_α

(n

_v

),

2.2. SOMME GLOBALE 17 o` u θ

α

(n

v

) = ψ( P

r

i=2

α

i

tr

_kv/k

(res(n

i−1,i

))).

On note supp(t) = Spm(O/ Q

r−1 i=1

a

i

).

Lemme 2.2.1.1. Si v 6∈ supp(t), alors I

v

(t, α) = 1.

D´ emonstration. D’apr` es [15, corollaire 1.1.5], X

_v

(t)(k) est r´ eduit ` a l’´ el´ ement n = Id

_r

(car a

_i

∈ O

^∗_v

∀i ∈ {1, . . . , r − 1}), de sorte qu’on a I

_v

(t, α) = 1.

La somme globale est reli´ ee aux sommes locales par la formule de produit suivante (cf. [15, proposition 1.3.2])

I(t, α) = Y

v∈supp(t)

I

v

(t, α). (2.2.1.1) On ajoute une barre pour indiquer le changement de corps de k ` a k. On peut d´ efinir les couples (X(t), h

α

) et (X

v

(t), h

α,v

), o` u v ∈ Spm(O). On note encore supp(t) = Spm(O/ Q

r−1

i=1

a

i

O).On a alors la forme cohomologique suivante de 2.2.1.1 (cf. [15, corollaire 3.2.3]) :

RΓ

c

(X(t), h

^∗_α

L

_ψ

) = O

v∈supp(t)

RΓ

c

(X

v

(t), h

^∗_α,v

L

_ψ

).

Supposons t = diag(a

₁

,

^a_a²

1

, . . . ,

_a^ar

r−1

), o` u les a

_i

sont des polynˆ ome uni- taires dont on fixera les degr´ es d

_i

= deg(a

_i

). Soient Q

_di

, la vari´ et´ e affine sur k des polynˆ omes unitaires de degr´ e d

i

et Q

d

= Q

r

i=1

Q

di

avec d = (d

1

, . . . , d

r

).

Le couple (X(t), h

_α

) se mettent en famille de sorte qu’on obtient une vari´ et´ e X

_d

de type fini sur k munie de deux morphismes f

_d^X

: X

_d

× G

^r−1_m

→ Q

_d

× G

^r−1_m

et h

_d

: X

_d

× G

^r−1m

→ G

a

tels que X(t) et RΓ

_c

(X(t), h

^∗_α

L

_ψ

) sont respecti- vement les fibres en (t, α) ∈ (Q

_d

× G

^r−1m

)(k) de f

_d^X

et de Rf

_d,!^X

h

^∗_d

L

_ψ

. Plus pr´ ecis´ ement :

Lemme 2.2.1.2. (cf. [15, proposition 3.3.1])

1. Pour tout d ∈ N

^r

le foncteur X

_d

qui associe ` a toute k-alg` ebre R l’en- semble

X

_d

(R) = {g ∈ S

r

(O ⊗

_k

R)| det(g

i

) ∈ Q

_di

(R)}/N

_r

(O ⊗

_k

R), o` u g

_i

est la sous-matrice de g faite des i-premi` eres lignes et des i- premi` eres colonnes de g, est repr´ esent´ e par une vari´ et´ e affine de type fini sur k, qu’on note aussi X

_d

. Soit

f

_d^X

: X

d

× G

^r−1m

→ Q

d

× G

^r−1m

le morphisme d´ efini par f

_d^X

(g, α) = ((a

_i

)

1≤i≤r

, α) o` u a

_i

= det(g

_i

).

18 CHAPITRE 2. INT ´ EGRALE I 2. Pour tout i avec 2 ≤ i ≤ r, l’application h

i

: S

r

(O⊗

_k

R)×(R

^∗

)

^r−1

→ R

d´ efinie par

h

_i

= res









 a

⁻¹_i−1











(g

_i,1

, . . . , g

i,i−1

)a

i−1

g

_i−1⁻¹









 0

.. . 0 α

i





























 ,

o` u a

i

g

⁻¹_i

est la matrice des cofacteurs de g

i

, lesquels sont dans O

_R

:=

O ⊗

_k

R et o` u res(a

⁻¹_i−1

b) est le coefficient de $

^di−1−1

dans l’expression polynomiale en la variable $ du reste de la division euclidienne de b par a

i−1

(cette division euclidienne a un sens puisque le coefficient dominant de a

i−1

est ´ egal ` a 1), induit un morphisme h

_i

: X

_d

× G

^r−1m

→ G

a

.

3. Soit h

_d

= P

r

i=2

h

_i

. Alors pour tous t ∈ Q

_d

(k) et α ∈ G

^r−1m

, le couple (X(t), h

_α

) est isomorphe ` a la fibre (f

_d^X

)

⁻¹

(t, α) munie de la restriction de h

_d

` a cette fibre.

2.3 Le cas d = (1, 2, . . . , r)

Soit U

_d

l’ouvert de Q

r

i=1

Q

_i

× ( G

m

)

^r−1

form´ e des couples (t, α) tels que le polynˆ ome Q

r

i=1

a

i

n’ait pas de racines multiples.

Th´ eor` eme 2.3.1.1. Pour d = (1, 2, . . . , r) le complexe de faisceaux

Rf

_d,!^X

h

^∗_d

L

_ψ

[

^r(r+1)₂

+ r −1] est un faisceau pervers, prolongement interm´ ediaire de sa restriction ` a l’ouvert U

_d

.

On rappelle que S

r

d´ esigne l’espace affine des matrices sym´ etriques de taille r.

Proposition 2.3.1.2. (cf. [15, proposition 4.2.1]) Pour d = (1, 2, . . . , r) le triplet (X

_d

, f

_d^X

, h

_d

) est isomorphe au triplet (S

_r

, f

^X

, h) o` u le morphisme f

^X

: S

_r

× G

^r−1m

→ Q

r

i=1

Q

_i

× G

^r−1m

est d´ efini par f

^X

(x, α) = (a

₁

(x), . . . , a

_r

(x), α),

o` u a

_i

(x) = det(s

_i

(x)+$Id

_i

), s

_i

(x) ´ etant la sous-matrice faite des i premi` eres lignes et des i premi` eres colonnes de x, et o` u le morphisme h : S

r

× G

^r−1m

→ G

a

est d´ efini par

h(x, α) =

r

X

i=2

α

i

x

i−1,i

.

2.3. LE CAS D = (1, 2, . . . , R) 19 D´ emonstration. Soit R une k-alg` ebre. On note O

_R

:= O ⊗

_k

R = R[$].

On montre d’abord que l’on peut r´ eduire toute matrice g ∈ S

r

(O

_R

) dont le d´ eterminant de la sous-matrice s

_i

(g) est un polynˆ ome unitaire de degr´ e i ` a une matrice de la forme x+$Id

r

, avec x une matrice sym´ etrique ` a coefficients dans R, par r´ ecurrence sur r. L’assertion est ´ evidente pour r = 1. D’apr` es l’hypoth` ese de r´ ecurrence, on peut supposer que s

r−1

(g) = x

r−1

+ $Id

r−1

(` a l’aide de l’action du groupe N

r−1

, qu’on voit comme le sous-groupe de N

r

form´ e des matrices unipotentes dont les coefficients non diagonaux de la r-i` eme colonne sont nuls). On ´ ecrit

g =

s

r−1

(g) y

t

y z

,

o` u y est un vecteur colonne appartenant ` a O

_R^r−1

et z un ´ el´ ement de O

_R

. Comme pour toute matrice x ` a coefficient dans R le R-module O

_R^r

se d´ ecompose en une somme directe R

^r

⊕(x +$Id

_r

)O

_R^r

, (cf. [15, lemme 4.1.2]) il existe un unique vecteur v tel que y + s

r−1

(g)v ∈ R

^r−1

. En consid` erant la matrice u

_r

=

Id

r−1

v

0 1

on a alors

^t

u

_r

gu

_r

= x + $Id

_r

, o` u x est une matrice sym´ etrique ` a coefficients dans R. De plus, si x + $Id

_r

=

^t

ntn, on a n´ ecessairement sres(n

i−1,i

) = x

i−1,i

.

Soit S

_i

la vari´ et´ e affine des matrices sym´ etriques de taille i. On d´ efinit les vari´ et´ es R

i

en posant R

r

= Spec(k) et R

i−1

= R

i

× Q

i

× G

m

. Soit f

_i^X

: G

m

× S

i

× R

i

→ S

i−1

× R

i−1

le morphisme d´ efini par f

_i^X

(α

i

, x

i

, r

i

) = (s

i−1

(x

_i

), r

i−1

), o` u r

i−1

= (r

_i

, ∆

_i

(x

_i

), α

_i

). Soit h

_i

: G

m

× S

_i

× R

_i

→ G

a

le morphisme d´ efini par h

i

(α

i

, x

i

, r

i

) = α

i

x

i−1,i

. Soit pr

_i

: G

m

× S

i

× R

i

→ S

i

× R

i

la projection ´ evidente. On d´ efinit les complexes I

_i

sur S

i

× R

i

en posant I

_r

= Q

`

[

^r(r+1)₂

] et I

_i−1

= Rf

_i,!^X

(I

_i

⊗ h

^∗_i

L

_ψ

) (voir loc. cit.). On a un isomorphisme S

1

×R

₁

' Q

_d

× G

^r−1m

pour lequel I

₁

' Rf

_d,!^X

h

^∗_d

L

_ψ

[

^r(r+1)₂

+r−1].

On note O

_i

le groupe orthogonal de degr´ e i de la forme quadratique q(x

1

, . . . , x

i

) = P

i

j=1

x

²_j

. Ce groupe agit dans G

m

× S

i

× R

i

par l’action ad- jointe sur S

i

et par l’action triviale sur les autres facteurs. On identifiera le groupe O

i−1

au sous-groupe diag(O

i−1

, 1) de O

_i

de sorte que O

i−1

agit aussi sur G

m

×S

_i

×R

_i

par l’action induite. Comme l’action adjointe laisse invariant le polynˆ ome caract´ eristique, le morphisme f

_i^X

est O

i−1

-´ equivariant. Le mor- phisme h

_i

n’est pas O

i−1

-´ equivariant mais est n´ eanmoins O

i−2

-´ equivariant.

Le th´ eor` eme 2.3.1.1 r´ esulte alors de la proposition suivante

Proposition 2.3.1.3. (cf. [15, proposition 5.2.2]) Soient U

i

et U

i−1

les

images r´ eciproques de U

_d

dans S

_i

× R

_i

et dans S

i−1

× R

i−1

. Si I est un

20 CHAPITRE 2. INT ´ EGRALE I faisceau pervers sur S

i

× R

i

, O

i−1

-´ equivariant et isomorphe au prolonge- ment interm´ ediaire ` a restriction ` a l’ouvert U

i

, alors

I

⁰

= Rf

_i,!^X

(I ⊗ h

^∗_i

L

_ψ

)[1]

est aussi un faisceau pervers sur S

i−1

× R

i−1

, O

i−2

-´ equivariant et isomorphe au prolongement interm´ ediaire de sa restriction ` a l’ouvert U

i−1

.

D´ emonstration. Les morphismes qui interviennent dans la formation de I

⁰

sont tous O

i−2

-´ equivariants donc I

⁰

l’est aussi.

On utilise la transformation de Fourier-Deligne ([11]) pour d´ emontrer la perversit´ e et le prolongement interm´ ediaire. Soit E = S

_i

× Q

_i

× R

_i

. Il est clair que E × G

m

' S

i−1

× R

i−1

. Soient V le fibr´ e trivial E × A

ⁱ⁻¹

et V

^∨

son fibr´ e dual. On note ι : S

_i

× R

_i

→ V l’immersion ferm´ ee d´ efinie par ι(x

i

, r

i

) = (x

i−1

, a

i

(x

i

), r

i

, y), o` u x

i

est de la forme

_x

i−1 y

ty ∗

. On note : E × G

m

→ V

^∨

l’immersion ferm´ e d´ efinie par (e, α

_i

) = (e,

^t

(0, . . . , 0, α

_i

)).

On v´ erifie que I

⁰

=

^∗

F

_ψ

(ι

∗

I)[2 − i] (cf. [15, proposition 5.3.2]), o` u F

_ψ

est la transformation de Fourier-Deligne. Puisque I est un faisceau pervers et ι est une immersion ferm´ ee, ι

∗

I est un faisceau pervers. D’apr` es [11], F

_ψ

(ι

∗

I) en est un aussi. L’action de O

i−1

sur S

i

× R

i

s’´ etend ` a V de la mani` ere suivante :

π(g, (x

i−1

, a

i

, r

i

), y) = ((

^t

gx

i−1

g, a

i

, r

i

),

^t

gy).

Cela induit donc une action sur V

^∨

ˇ

π(g, (x

i−1

, a

i

, r

i

), y) = (( ˇ

^t

gx

i−1

g, a

i

, r

i

),

^t

g y). ˇ

Par rapport ` a cette action, F

_ψ

(ι

∗

I ) est O

i−1

-´ equivariant. On va utiliser le lemme suivant

Lemme 2.3.1.4. (cf. [15, lemme 5.4.3]) Le morphisme compos´ e O

i−1

× E × G

m



// O

i−1

× V

^{∨ πˇ}

^// V

^∨

est un morphisme lisse de dimension relative

ⁱ⁽ⁱ⁻¹⁾₂

+ 1 − (i − 1).

D´ emonstration du lemme. On note Z l’image de l’immersion localement ferm´ ee dans V

^∨

. Le morphisme compos´ e s’´ ecrit donc :

O

i−1

× Z →

^πˇ

V

^∨

.