L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚8 Espaces vectoriels
Exercice 98 : Pour chacun des couples d’op´erations (+, .) d´efinies surR2, d´eterminer si (R2,+, .) est un R- espace vectoriel.
1. Addition :∀(x1, y1)∈R2 ∀(x2, y2)∈R2 (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2) Multiplication par un scalaire :∀λ∈R ∀(x, y)∈R2 λ.(x, y) = (λx, y).
2. Addition :∀(x1, y1)∈R2 ∀(x2, y2)∈R2 (x1, y1) + (x2, y2) = (y1+y2, x1+x2) Multiplication par un scalaire :∀λ∈R ∀(x, y)∈R2 λ.(x, y) = (λy, λx).
2. Addition :∀(x1, y1)∈R2 ∀(x2, y2)∈R2 (x1, y1) + (x2, y2) = (x1x2, y1y2) Multiplication par un scalaire :∀λ∈R ∀(x, y)∈R2 λ.(x, y) = (x, λy).
Exercice 99 : D´eterminer si les sous-ensembles deR3 suivants sont des sous-espaces vectoriels deR3. A=
x y z
∈R3 : 2x−5y+ 9z+ 1 = 0
B=
x y z
∈R3 : x+y=z
C=
x y z
∈R3 :
x − 3y = 0
y + z = 0
D=
2a−3b a+ 2b
−a+ 3b
∈R3 : a, b∈R
E=
λ1+λ2 λ1 λ2+ 1
∈R3 : λ1, λ2∈R
F =
x y z
∈R3 : xyz= 0
Exercice 100 : D´eterminer si les sous-ensembles de F(R,R) suivants sont des sous-espaces vectoriels de F(R,R).
A=
f ∈ F(R,R) : f(x) →
x→+∞0
B={f ∈ F(R,R) : f(0) = 1}
C={f ∈ F(R,R) : f(−1) =f(1)} D={f ∈ F(R,R) : f est deux fois d´erivable surRetf00=f}
Exercice 101 : SoitF =
x y z t
∈R4 :
x − 2y + z + 2t = 0
2x + y − z + t = 0
.
1. Justifier queF est un sous-espace vectoriel deR4. 2. Donner une base deF.
Exercice 102 Soitu1=
1 0 1
, u2=
1 1
−1
, v1=
1
−1 3
, v2=
2 1 0
.
1. Montrer queu1∈Vect(v1, v2) et queu2∈Vect(v1, v2).
2. Montrer quev2∈Vect(u1, u2) et quev2∈Vect(u1, u2).
3. Que peut-on d´eduire de 1. et 2. quant `a Vect(u1, u2) et Vect(v1, v2) ?
1
Exercice 103 : Soit (E,+, .) unR-espace vectoriel. Soientu1, u2, u3∈E. Montrer que : Vect(u1, u2, u3) = Vect(u1, u1+u2, u1+u2+u3).
Exercice 104 : Montrer que B =
−1 1 1
,
1
−1 1
,
1 1
−1
est une base de R3 et d´eterminer les coor- donn´ees du vecteur (8,4,2) dans cette base.
Exercice 105
1. D´eterminer l’ensemble des r´eels k tels que la famille
1 k 2
,
−1 8 k
,
1 2 1
est une famille li´ee de vecteurs de R3.
2. Pour quelle(s) valeur(s) du param`etre r´eel λ la famille
1−λ
2 3
,
1 2−λ
3
,
1 2 3−λ
de vecteurs deR3 est-elle li´ee ?
Exercice 106 : On d´efinit les trois suites de nombres r´eellesu, v, wpar :
u= (1)n∈N ; v= (n2)n∈N ; w= (2n)n∈N.
Montrer que (u, v, w) est une famille libre du R-espace vectoriel S(N,R) des suites de nombres r´eels indic´ees parN.
Exercice 107 : SoitA= 1 1
2 2
∈ M2(R).
1. Montrer queF =
M ∈ M2(R) : M A= 0M2(R) est un sous-espace vectoriel deM2(R).
2. Donner une base deF.
3. Quelle est la dimension deF?
Exercice 108 : Soient a, b∈Ret soientu=
−1 1
−1
,v =
1 2 4
,wa =
3
−1 a
, wb =
2 3 b
quatre vecteurs deR3.
1. Calculer les rangs des familles (u, v) et (wa, wb).
2. D´etermineraetb pour que Vect(u, v) = Vect(wa, wb).
Exercice 109 : SoitE unK-espace vectoriel de dimensionn∈N∗ et soit (e1, e2, . . . , en) une base de E. Pour touti∈J1, nK, on pose :
fi=e1+e2+. . .+ei. Montrer que la famille (f1, f2, . . . , fn) est une base deE.
Exercice 110
1. Pour tout (a, b)∈R2, on d´efinit le sous-ensembleFa,b deR2 par :
Fa,b=
x y z
∈ R3 : x+ay+bz= 0
.
(a) Justifier queFa,b est un sous-espace vectoriel deR3. (b) D´eterminer une base deFa,b.
(c) Quelle est la dimension deFa,b?
2
2. Soient u1=
2
−1 2
, u2=
1 0 2
∈R3. On pose :
G= Vect(u1, u2).
(a) Justifier queGest un sous-espace vectoriel deR3. (b) Donner une base deG.
(c) Quelle est la dimension deG?
3. (a) Montrer qu’il existe un unique (a0, b0)∈R2 tel que :
u1∈Fa0,b0 et u2∈Fa0,b0.
(b) D´eduire de ce qui pr´ec`ede queG=Fa0,b0 et donner une interpr´etation g´eom´etrique de cette identit´e.
Exercice 111 : Soitn∈N∗. On poseP0= 1, et pour toutk∈J1, nK: Pk(X) = 1
k!X(X−1)(X−2). . .(X−(k−1)).
1. Soitk∈J1, nK. Calculer les valeursPk(0), Pk(1), Pk(2), . . . , Pk(k−1), Pk(k).
2. Montrer que la famille (P0, P1, . . . , Pn) est une base deRn[X].
Exercice 112 : Soitn∈N∗. On d´efinit le sous-ensembleF deRn[X] par : F={ P∈Rn[X] : P(1) = 0}. 1. Montrer queF est un sous-espace vectoriel deRn[X].
2. Montrer que :
F = Vect((X−1),(X−1)X,(X−1)X2, . . . ,(X−1)Xn−1).
Indication : On pourra utiliser le th´eor`eme sur la factorisation par (X −a) d’un polynˆome admettant a comme racine, apr`es l’avoir ´enonc´e avec soin.
3. D´eterminer une base deF.
4. Quelle est la dimension deF?
F Exercice 113 : On noteS(N,R) leR-espace vectoriel des suites de nombres r´eels indic´ees parN. On d´efinit les sous-ensemblesAetGdeS(N,R) par :
A={(un)n∈N∈ S(N,R) : (un)n∈N est arithm´etique} et G={(un)n∈N∈ S(N,R) : (un)n∈Nest g´eom´etrique}. 1. (a) Montrer queAest un sous-espace vectoriel deS(N,R).
(b) D´eterminer une base deA.
Indication : On pourra utiliser l’expression du terme g´en´eral d’une suite arithm´etique en fonction de son premier terme et de sa raison.
(c) Quelle est la dimension deA?
2. Montrer queGn’est pas un sous-espace vectoriel deS(N,R).
F Exercice 114 : Pour tout (A, ϕ)∈R2, on d´efinit la fonctionfA,ϕ par fA,ϕ:R→R, x7→Acos(x+ϕ).
1. Montrer que les partiesF ={fA,ϕ:A, ϕ∈R}et VectF(R,R)(cos,sin) de l’ensembleF(R,R) des fonctions deRdansRsont ´egales.
2. En d´eduire queF est un sous-espace vectoriel deF(R,R).
3. Donner une base deF.
4. Quelle est la dimension deF?
3
F Exercice 115 : SoitF ={f ∈ F(R,R) : f est d´erivable sur Ret f0=f}.
1. Montrer queF est un sous-espace vectoriel deF(R,R).
2. Montrer que Vect(exp)⊂F, o`u exp d´esigne la fonction exponentielle.
3. (a) Soitf ∈F. Justifier que la fonction
g:R→R; x7→ f(x) ex est d´efinie et d´erivable surR, puis calculer sa d´eriv´ee.
(b) Que peut-on en d´eduire quant `a Vect(exp) et F? (c) Quelle est la dimension deF?
4. D´emontrer qu’il existe une unique fonction f d´efinie et d´erivable surRtelle quef0=f et f(0) = 2. On explicitera cette fonction.
Exercice 116 : SoitE unK-espace vectoriel. Soient F et Gdeux sous-espaces vectoriels de dimension finie, non nulle.
1. Soit (f1, . . . , fp) une famille g´en´eratrice de F et soit (g1, . . . , gq) une famille g´en´eratrice de G. Montrer que la famille (f1, . . . , fp, g1, . . . , gq) obtenue en concat´enant les familles (f1, . . . , fp) et (g1, . . . , gq) est g´en´eratrice deF+G.
2. Soit (f1, . . . , fp) une base deF et soit (g1, . . . , gq) une base deG. On suppose queF et Gsont en somme directe. Montrer que la famille (f1, . . . , fp, g1, . . . , gq) est une base deF⊕G.
Exercice 117 : Soitn ∈N≥2. SoitE unK-espace vectoriel de dimension 2n−1. SoientF et Gdeux sous- espaces vectoriels deE tels que dim(F)≥net dim(G)≥n. Montrer que l’intersection deF et deG contient une droite vectorielle (i.e. un sous-espace vectoriel deE de dimension 1).
Exercice 118 : Soient F et Gles parties deR4 d´efinies par :
F =
x y z t
∈R4 : x−y+z−t= 0
et G=
x y z t
∈R4 : z=t
.
1. Justifier queF et Gsont deux sous-espaces vectoriels deR4. 2. D´eterminer des bases deF,G,F∩G.
3. En d´eduire queF+G=R4.
4. D´eterminer un suppl´ementaire deF∩GdansR4. Exercice 119 : Soient F et Gles parties deR4 d´efinies par :
F =
x y z t
∈R4 :
x + y + z + t = 0
x − y + z − t = 0
et G= Vect
1 1 1 0
,
0 1 1 1
.
1. Justifier queF et Gsont deux sous-espaces vectoriels deR4. 2. D´eterminer une base deF.
3. D´eterminer un syst`eme lin´eaire homog`ene (S) `a deux ´equations, `a quatre inconnues, `a coefficients dansR tel que Gest l’ensemble solution de (S).
4. Montrer queF⊕G=R4. 5. Soit u =
x y z t
∈ R4. D´eterminer, en fonction de x, y, z, t, sa d´ecomposition relativement `a la somme directeF⊕G.
F Exercice 120 : SoitP l’ensemble des fonctions paires deRdansRet soitI l’ensemble des fonctions impaires deRdansR.
1. Montrer queP etI sont deux sous-espaces vectoriels deF(R,R).
2. Montrer queP etI sont suppl´ementaires dans F(R,R).
4
