Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°22 Espaces vectoriels
Notation :La lettreKdésigneRouC.
Exercice 215
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels deK3? 1. F1:=©
(x,y,z)∈K3|x y+z=0ª 2. F2:=©
(a,a+b,a+b+c)|(a,b,c)∈K3ª 3. F3:=©
(x,y,z)∈K3|7x−5y+12z=0ª 4. F4:=©
(a, 1,b)|(a,b)∈K2ª
Exercice 216
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels deF(R,R) ? 1. F1:=©
f ∈F(R,R)|f est croissante surRª 2. F2:=©
f ∈F(R,R)|f est 2π-périodiqueª 3. D1(R,R) :=©
f ∈F(R,R)|f est dérivable surRª 4. F3:=©
f ∈f ∈F(R,R)|f est deux fois dérivable surRetf′′+f′+f =1ª 5. B(R,R) :=©
f ∈F(R,R)|f est bornée surRª 6. F4:=©
f ∈F(R,R)|f est affineª 7. F5:=©
f ∈F(R,R)|f est deux fois dérivable surRetf′′+f =0ª
Exercice 217 Soitn∈N. On pose :
Kn[X] :=©
P∈K[X]|deg(P)≤nª . Démontrer queKn[X] est un sous-espace vectoriel deK[X].
Exercice 218
Soit (E,+, .) unK-espace vectoriel. SoientF1,F2deux sous-espaces vectoriels deE. Démontrer queF1∪F2est un sous-espace vectoriel deEsi et seulement siF1⊂F2ouF2⊂F1.
Exercice 219
Soitu1:=(1, 1, 2),u2:=(2, 2, 1),v1=(1, 1, 1) etv2:=(1, 1,−1). Démontrer que les sous-espaces vectoriels Vect({u1,u2}) et Vect({v1,v2}) deR3sont égaux.
Exercice 220
Soit (E,+, .) unK-espace vectoriel.
1. Soientu1, . . . ,un des vecteurs deEet soientλ1, . . . ,λndes scalaires non nuls, oùnest un entier naturel supérieur ou égal à 2. Démontrer que :
Vect({λ1.u1, . . . ,λn.un})=Vect({u1, . . . ,un}).
2. Soientu1, . . . ,un des vecteurs deE, oùn est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Démontrer que si un∈Vect({u1, . . . ,un−1}) alors :
Vect({u1, . . . ,un−1,un})=Vect({u1, . . . ,un−1}).
3. Soientuetvdes vecteurs deE. Démontrer que Vect({2u, 3v, 4u+5v})=Vect({u,v}).
1
Exercice 221 SoitFdéfini par :
F:=
½
(x1,x2,x3,x4)∈R4
¯
¯
¯
¯
½ x1 + x3 = 0 x2 − x4 = 0
¾
et soiente1:=(1, 0, 0, 0),e2:=(0, 1, 0, 0).
1. Justifier queFetG:=Vect(e1,e2) sont des sous-espaces vectoriels deR4.
2. Démontrer queFest engendré par deux vecteurs, i.e. qu’il existe deux vecteursu1etu2deR4tels que F:=Vect(u1,u2).
3. Démontrer queF⊕G=R4.
4. Décomposer le vecteurv:=(1, 2, 3, 4)∈R4relativement à la décompositionF⊕G=R4.
Exercice 222
Soitn∈N∗. On noteSn(K) (resp.An(K)) l’ensemble des matrices de formatn×nà coefficients dansKqui sont symétriques (resp. antisymétriques). On a donc :
Sn(K) :=©
M∈Mn(K)| tM=Mª
et An(K) :=©
M∈Mn(K)|tM= −Mª . Démontrer queSn(K) etAn(K) sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires deMn(K).
Exercice 223
Soientaetbdes nombres réels tels quea<b.
1. Démontrer que :
C0([a,b],R) :=©
f ∈F([a,b],R)|f est continue sur [a,b]ª est un sous-espace vectoriel deF([a,b],R).
2. SoientF1etF2définies par :
F1:=
½
f ∈C0([a,b],R)
¯
¯
¯
¯ Zb
a f(x)d x=0
¾
et F2:=
½ ¯
¯
¯
¯
[a,b] → R
x 7→ k
¯
¯
¯
¯k∈R
¾ .
Démontrer queF1etF2sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires deC0([a,b],R).
2
