ECE1-B 2014-2015
Feuille d’exercices n°22 : Espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels (sev) Exercice 1. (☀)
Pour chacun des espaces vectorielsE et des partiesF, dire si F est un sous espace vectoriel de E.
a. E est l’ensemble des fonctionsRdansR (=F(R,R)).
F est l’ensemble des fonctions paires.
b. E est l’ensemble des suites réelles.
F est l’ensemble des suites divergentes.
c. E est l’ensemble des suites réelles.
F est l’ensemble des suites convergentes.
d. E =F(R,R).
F est l’ensemble des fonctionsf vérifiant lim
x→+∞
f(x) x = 0.
(autrement dit, des fonctions f telles quef(x) = o
x→+∞(x)).
e. E =R[X], ensemble des polynômes.
F est l’ensemble contenant le polynôme nul et les polynômes de degré supérieur ou égal à 3.
Exercice 2. (☀☀)
SoitE un espace vectoriel, F etGdeux sous espaces vectoriels deE.
a. Démontrer que F ∩Gest un sous espace vectoriel de E.
b. On note F+G={−→u +−→v | −→u ∈F,−→v ∈G}.
Démontrer que F +Gest un sous-espace vectoriel de E.
c. Démontrer que F ∩G⊂F ⊂F +G etF∩G⊂G⊂F+G.
d. Démontrer que, de manière générale,F∪Gn’est pas un sous-espace vec- toriel de E.
(on pourra considérer F = Vect
1 0
etG= Vect
0 1
) e. Que dire de F∪Gsi F ⊂Gou G⊂F?
Sev engendré par une partie Exercice 3. (☀)
On se place dans l’espace vectoriel R3.
On considère−→u = (2,1,−3),−→v = (3,2,−1),−→s = (1,0,−5)et−→
t = (1,1,2).
Montrer queVect (−→u ,−→v) = Vect −→s ,−→
t
.
Exercice 4. (☀)
Soient−→u,−→v et−→w trois vecteurs d’un espace vectorielE.
a. Montrer que si −→w ∈Vect (−→u ,−→v) alorsVect (−→u ,−→v ,−→w) = Vect (−→u ,−→v).
b. Montrer que Vect (−→u ,−→v ,−→w) = Vect (−→u +−→v ,−→v − −→w ,−→u +−→v + 2−→w).
c. (−→u ,−→u ,−→v) est-elle libre ?
Base d’un sev Exercice 5. (☀)
On considère l’espace vectorielR4.
a. Montrer que ((1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,3),(1,0,3,3))en est une base.
b. Quelles sont les coordonnées de(1,0,0,−1)dans cette base ?
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Exercice 6. (☀☀☀)
On considère l’espace vectoriel R3[X].
a. Montrer que (1,1 +X,(1 +X)2,(1 +X)3) en est une base.
b. Quelles sont les coordonnées de X3 dans cette base ? c. Montrer que :
((X−1)(X−2)(X−3), X(X−2)(X−3), X(X−1)(X−3), X(X−1)(X−2)) est aussi une base.
d. Quelles sont les coordonnées de X3 dans cette base ?
Exercice 7. (☀☀☀) On noteE =R4[X].
SiF etG sont deux ev, on noteF +G={−→u +−→v | −→u ∈F,−→v ∈G}.
a. Montrer que l’ensemble F des polynômes pairs de E est un sous espace vectoriel de E, et en donner une base.
b. Même question avec l’ensemble Gdes polynômes impairs deE.
c. Montrer que F∩G={0} et queF+G=E.
Exercice 8. (☀)
Donner une base du sous espace vectoriel deR4formé des solutions(x, y, z, t) du système suivant.
x + 2y − t = 0
x − 3y + 9z = 0
3x − 4y − t + 18z = 0
Applications linéaires Exercice 9. (☀☀)
Montrer que les applications suivantes sont linéaires.
Déterminer leur noyau et leur image.
a. u : C∞(R) −→ C∞(R)
f 7−→ f0−f b.
v : R[X] −→ R P 7−→ P(1)
Exercice 10. (☀)
Montrer que les applications suivantes ne sont pas linéaires.
a.
f : M3,1(R) −→ M2,1(R)
x y z
7−→ x2−y
y+z
b.
g : M3,1(R) −→ M2,1(R)
x y z
7−→
2xy x−z
c.
h : M3,1(R) −→ M1,1(R)
x1
x2
x3
7−→ (2x1+ 5x2−x3+ 3)
Exercice 11. (☀)
Montrer que les applications fi suivantes sont linéaires.
CalculerKerfi et en donner une base.
CalculerImfi et en donner une base.
a.
f1 : M3,1(R) −→ M2,1(R)
x1
x2
x3
7−→ 3x1+x2
x2−x3
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b.
f2 : M3,1(R) −→ M2,1(R)
x1
x2
x3
7−→
x2
x1+x2
c.
f3 : M3,1(R) → M3,1(R)
x1
x2
x3
7→
x1+x2+ 2x3
x2−x3
x1+ 3x3
d.
f4 : M3,1(R) → M3,1(R)
x1
x2
x3
7→
x1+x2
x2
x1+ 3x3
e.
f5 : M3,1(R) → M1,1(R)
x1
x2
x3
7→ (3x1+x2−x3)
f.
f6 : M3,1(R) → M1,1(R)
x1
x2
x3
7→ (3x1)
g.
f7 : M2,1(R) → M3,1(R)
x1
x2
7→
3x1+x2
x1−x2
x1+ 2x2
Exercice 12. (☀☀☀)
On noteEl’ensemble des suites bornées etf l’application deEdansEqui à une suite(un)n>0 associe la suite(vn)n>0définie par∀n∈N, vn=un+1−un. a. Démontrer queEest un sous espace vectoriel de l’espace des suites réelles.
b. Montrer que f est bien définie et est linéaire.
c. Déterminer Kerf.
d. Existe-t-il u∈E non nul tel quef(u) =u?
e. Pour tout λ∈R, déterminer les solutions de l’équationf(u) =λu.
f. Pour quels λcette équation a-t-elle des solutions non nulles ?
Exercice 13. (☀☀) On pose A=
1 −1 0 1
et f : M2(R) −→ M2(R) M 7−→ AM−M A . a. Montrer que f ∈L(M2(R)).
b. Déterminer Kerf etImf.
c. Démontrer l’égalitédim Kerf+ dim Imf = dimM2(R).
Exercice 14. (☀☀)
On pose f : R4[X] −→ R4[X]
P 7−→ P0 . a. Montrer que f ∈L(R4[X]).
b. Déterminer Kerf etImf.
c. Démontrer l’égalitédim Kerf+ dim Imf = dimR4[X].
Dans la suite, sif ∈L(E), on note f2 =f of.
Autrement dit, pour x∈E, on af2(x) =f(f(x))et pasf(x)×f(x).
Exercice 15. (☀)
Soitp∈L(R2) défini parp(x, y) = 15(4x+ 2y,2x+y).
a. Calculer KerpetImp.
b. Montrer que p2 =p.
Exercice 16. (☀☀☀)
SoitE un espace vectoriel etf ∈L(E).
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a. Montrer que Kerf ⊂Kerf2.
b. Montrer que Kerf = Kerf2⇔Kerf ∩Imf ={0E}.
c. Montrer que Imf2 ⊂Imf.
d. Montrer que Imf = Imf2 ⇔Kerf+ Imf =E.
Exercice 17. (☀☀)
SoitE un espace vectoriel etu∈L(E).
a. Montrer que si Keru= Keru2, alors Keru2= Keru3. b. Montrer que si Imu2 = Imu, alors Imu3 = Imu2.
Exercice 18. (☀)
On reprend l’application p de l’exercice14.
a. Pour tout λ∈R, déterminer les solutionsu de l’équationp(u) =λu.
b. Pour quels λcette équation a-t-elle des solutions non nulles ?
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