Polynômes Feuille 22

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Polynômes Feuille 22

« Comme dans pas mal d’exercices, une bonne façon de démarrer est de s’intéresser aux racines et/ou au degré. Cela débloque déjà une très très grande majorité de ce type d’exercices. »

Exercice22.1

Soitn∈N, n≥2. Grâce au polynôme(X+ 1)ⁿ−1, calculer

n−1

Y

k=1

sinkπ n .

Exercice22.2

Démontrer qu’il n’existe pas de polynômeP ∈C[X]tel que∀z∈C, P(z) =z.

Exercice22.3

On poseA(X) = X⁷−X−1etB(X) = X⁵+ 1. Démontrer queAetB sont premiers entre eux et trouver l’ensemble des couples(U, V)∈K[X]²tels queAU +BV = 1.

Exercice22.4

Quels sont les polynômes deC[X]tels que(X²+ 1)P⁰⁰−6P = 0?

Exercice22.5

Soitn∈N^∗.

1. Pour tout ϕ ∈ R, factoriser dansR[X]le polynômeP_n = X²ⁿ−2Xⁿcosϕ+ 1en produit de polynômes irréductibles.

2. FactoriserQ_n=X⁴ⁿ+ 1en produit de polynômes irréductibles deR[X].

Exercice22.6

Résoudre dansC³le système











x+y+z = 1 1

x+ 1 y +1

z = 1 x²+y²+z² =−1

Exercice22.7

Soitn∈N^∗. Calculer le reste de la division euclidienne deP =X²ⁿ+Xⁿ+X+ 1parQ= (X−1)².

Exercice22.8

Soitn∈N^∗. Montrer que(X²+X+ 1)²divise(X+ 1)⁶ⁿ⁺¹−X⁶ⁿ⁺¹−1dansR[X].

Exercice22.9

SoitP un polynôme à coefficients réels.

1. SiP est scindé dansR[X], montrer queP⁰est aussi scindé.

2. Lorsque P est scindé dansR[X], déterminer le plus petit entier ktel que toutes les racines deP^(k) soient simples.

Exercice22.10

On poseP(X) = X³ −X−1. Montrer queP est irréductible surQ[X]et montrer qu’il admet une unique racine réelle.

Quentin De Muynck Sous licencecbea

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FEUILLE XXII - POLYNÔMES

Exercice22.11

SoientP un polynôme dont les coefficients sont des entiers relatifs etn∈Z. On posem=P(n).

1. Montrer que pour tout élémentk∈Z, P(n+km)est divisible parm.

2. Montrer qu’il n’existe pas de polynôme non constantPà coefficients entiers tel que pour toutndansZ, P(n) est un nombre premier.

Exercice22.12

SoitA, B∈K[X]etp∈N^∗.

Montrer queBdiviseAsi et seulement siB(X^p)diviseA(X^p).

Exercice22.13

Déterminer les polynômes complexes dont l’application polynomiale associée est surjective puis ceux dont l’application polynomiale associée est injective.

Exercice22.14

SoientKun sous-corps deC, a∈K^∗et(n, p)∈N×N^∗.

1. Montrer que le reste de la division euclidienne deXⁿ−aⁿparX^p−a^pesta^pq(X^r−a^r), oùqetrsont les quotient et reste de la division euclidienne denparp.

Indication: DansXⁿ−aⁿ, on pourra remplacerX^ppar(X^p−a^p) +a^pet appliquer la formule du binôme de Newton.

2. Calculer le PGCD deXⁿ−aⁿetX^p−a^pen fonction du PGCD denet dep.

Exercice22.15

Polynômes cyclotomiques

Pourn >1on noteP_nl’ensemble des racines primitivesn-ièmes de l’unité :P_n=¶

e²ⁱ^kπⁿ / k∧n= 1© . On poseC₁ =X−1et∀n≥2, C_n= Y

a∈P_n

(X−a), appelé len-ième polynôme cyclotomique.

1. CalculerC2, C3, C4, C6.

2. Prouver que, pour toutn, Xⁿ−1 =Y

d|n

C_d.

3. Soit A, B deux polynômes à coefficients entiers avec B unitaire. Montrer que le quotient et le reste de la division deAparB sont aussi à coefficients entiers.

4. En déduire que, pour toutn, Cnest à coefficients entiers.

Exercice22.16

SoitKun corps dans lequel2·1_K6= 0.

1. SoitA∈K[X]tel queA(−X) =A(X).

Montrer que tous les monômes deAsont de degré pair.

2. SoitP ∈K[X].

Montrer qu’il existe un uniqueP“ ∈ K[X]tel queP“(X²) = P(X)P(−X). Déterminer le degré de P“en fonction de celui deP.

3. Montrer que, pour toutP, Q∈K[X], P Qd=P“Q.“

Exercice22.17

Trouver les polynômes deR[X]tels que

∀(x, y)∈R², P(xy) =P(x)P(y)

Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea

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Exercice22.18

Soitn∈N^∗

1. Exprimer de deux manières le polynômeL∈Rn−1[X]vérifiant∀k∈ {1, . . . , n}, L(k) =kⁿ⁻¹.

2. En déduire une expression simplifiée de

n

X

k=0

Çn+ 1 k

å

(−1)^n−kkⁿ?

Exercice22.19

DansR[X], chercher le polynôme de degré minimalPvérifiant :(X−1)⁴|(P+ 1)et(X+ 1)⁴|(P−1).

Exercice22.20

Déterminer tous les polynômesP ∈C[X]tels queP(0) = 0etP(X²+ 1) =P(X)²+ 1.

Exercice22.21

Cet exercice utilise le théorème de Lagrange.

SoitKun corps commutatif fini noté{0, a₁, . . . , aq−1}.

1. Montrer queX^q−1−1 =

q−1

Y

i=1

(X−a_i).

2. En déduire que pour tout nombre premierp, pdivise(p−1)! + 1.Ce résultat porte le nom de théorème de Wilson.

Exercice22.22

1. Trouver tous les polynômesP ∈R[X]tels que

∀k∈Z, Z k+1

k

P(t) dt=k

2. Trouver tous les polynômesP ∈R[X]tels que

∀k∈N^∗, Z k+1

k

P(t) dt= 1 k

Exercice22.23

Sipetqsont deux entiers non nuls premiers entreeux, montrer que(X−1)(X^pq−1)est divisible dansR[X]

par(X^p−1)(X^q−1).

Exercice22.24

SoitKun corps fini etf : K −→Kune application. Montrer quefest polynomiale.

Exercice22.25

1. SiP, Q∈ Q[X]sont deux polynômes irréductibles unitaires distincts deQ[X],montrer qu’ils n’ont aucune racine complexe commune.

2. SiP est un polynôme irréductible deQ[X], montrer queP n’a pas de racine complexe multiple.

Exercice22.26

Pour toutn∈N^∗, montrer queXⁿ−2est irréductible dansQ[X].

Exercice22.27

NotonsA={P ∈R[X]/∀x≥0, P(x)≥0}etB={A²+XB² /(A, B)∈R[X]²}.

1. Montrer queB ⊂ A.

2. Montrer que siP, Q∈ B, alorsP Q∈ B.

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3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour queP ∈ A, portant sur la décomposition dePen facteurs irréductibles dansR[X].

4. Montrer queA=B.

Exercice22.28

SoitP, Q ∈ C[X]deux polynômes tels que, pour toutz ∈ C, |P(z)|=|Q(z)|. Montrer qu’il existeu ∈Utel queQ=uP.

Exercice22.29

Déterminer l’ensemble des polynômesP deC[X]tels queP(X²) =P(X)P(X−1).

Exercice22.30

Soientmetndeux entiers strictement positifs.

1. Montrer qu’il existe au moins un couple(U, V)de polynômes deR[X]tel que (1) :X^mU(X) + (1−X)ⁿV(X) = 1

2. Calculer un couple(U, V)solution de (1) et vérifiant de plus,deg(U)< netdeg(V)< m.

3. Pour le couple(U, V)déterminé lors de la question précédente, montrer qu’il existe deux réelsαetβtels que (1−X)V⁰(X)−nV(X) =αX^m−1 et XU⁰(X) +mU(X) =β(1−X)ⁿ⁻¹

Exercice22.31

SoitAun anneau. Montrer queAest un corps si et seulement siA[X]est principal.

Exercice22.32

Sipest un nombre premier, montrer queZ/pZ\ {0}muni de la multiplication est un groupe cyclique.